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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Wiener ProcessesA

Our understanding of Brownian motion was developed by Einstein, Smoluchowski, and Norbert Wiener. It was Wiener who put it all on a rigorous foundation. For this reason we often refer to Wiener processes. The first property of Wiener processes is that it is an independent increments process: that is, for $a<b<c$ the random variables $\boldsymbol{W}c-\boldsymbol{W}_b$ and $\boldsymbol{W}_b-\boldsymbol{W}_a$ are independent. The second property is translation invariance: $\boldsymbol{W}_b-\boldsymbol{W}_a$ has the same distribution as $\boldsymbol{W}{b-a}-\boldsymbol{W}_0$. The third property is that $\boldsymbol{W}_b-\boldsymbol{W}_a$ has finite variance. Because of the independent increments property and finite variance,
$$
\begin{aligned}
\operatorname{Var}\left[\boldsymbol{W}_c-\boldsymbol{W}_a\right] & =\operatorname{Var}\left[\left(\boldsymbol{W}_c-\boldsymbol{W}_b\right)+\left(\boldsymbol{W}_b-\boldsymbol{W}_a\right)\right] \
& =\operatorname{Var}\left[\boldsymbol{W}_c-\boldsymbol{W}_b\right]+\operatorname{Var}\left[\boldsymbol{W}_b-\boldsymbol{W}_a\right]
\end{aligned}
$$
Combined with translation invariance, we see that $\operatorname{Var}\left[\boldsymbol{W}_c-\boldsymbol{W}_a\right]$ must be proportional to $c-a$. The final property is that $\mathbb{V a r}\left[\boldsymbol{W}_1-\boldsymbol{W}_0\right]=I$. Then $\mathbb{V a r}\left[\boldsymbol{W}_c-\right.$ $\left.\boldsymbol{W}_a\right]=(c-a) I$. It is a standard Wiener process if, in addition, $\boldsymbol{W}_0=\mathbf{0}$ with probability one.

The Central Limit Theorem (Theorem 7.4) implies that each $\boldsymbol{W}_t$ and difference $\boldsymbol{W}_b-\boldsymbol{W}_a$ must be normally distributed.

We can create approximate Wiener processes by selecting a time-step $h>0$, and then take $\boldsymbol{W}{h, t}$ to be the linear interpolant over $t$ of $\boldsymbol{W}{h, k h}, k=0,1,2, \ldots$ with $\boldsymbol{W}{h, 0}=\mathbf{0}$ and $\boldsymbol{W}{h,(k+1) h}=\boldsymbol{W}{h, k h}+\sqrt{h} \boldsymbol{Z}_k^{(h)}$ where $\boldsymbol{Z}_k^{(h)} \sim \operatorname{Normal}(\mathbf{0}, I)$ is an independent increment. The trouble with this approach is that we cannot take meaningful limits as $h \downarrow 0$ : unless we have some relationship between $\boldsymbol{Z}_k^{(h)}$ and $\boldsymbol{Z}{2 k}^{(h / 2)}$, for example, we cannot expect the $\boldsymbol{W}_{h, t}$ to converge as $h \downarrow 0$.

To see how to create a convergent sequence $\boldsymbol{W}_{h, k h}$, we focus on the scalar case. The vector case can be dealt with by treating each component independently.

Start with the values $W_{1,0}=0$ and $W_{1,1} \sim \operatorname{Normal}(0,1)$ and “fill in” the values between $t=0$ and $t=1$. For $h=1 / 2$ we set $W_{1 / 2,0}=W_{1,0}$ and $W_{1 / 2,1}=W_{1,1}$. However, we need to determine a value $W_{1 / 2,1 / 2}$ so that $W_{1 / 2,1 / 2}-W_{1 / 2,0}$ and $W_{1 / 2,1}-W_{1 / 2,1 / 2}$ are independent and are both distributed as $\operatorname{Normal}(0,1 / 2)$. We generate an independent normally distributed sample $U_1^{(1 / 2)} \sim \operatorname{Normal}(0,1 / 4)$ and set $W_{1 / 2,1 / 2}=\frac{1}{2}\left(W_{0,0}+W_{1,1}\right)+U_1^{(1 / 2)}$. We chose $U_1^{(1 / 2)}$ to have variance $1 / 4$ so that the variances add properly:
$$
\frac{1}{2}=\operatorname{Var}\left[W_{1 / 2,1 / 2}\right]=\operatorname{Var}\left[\frac{1}{2}\left(W_{0,0}+W_{1,1}\right)\right]+\operatorname{Var}\left[U_1^{(1 / 2)}\right]=\frac{1}{4}+\operatorname{Var}\left[U_1^{(1 / 2)}\right]
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Itô Stochastic Differential Equations

Interpreting an ordinary differential equation (ODE)
$$
\frac{d x}{d t}=f(t, x(t)), \quad x\left(t_0\right)=x_0
$$
can be done in terms of integrals:
$$
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x}0+\int{t_0}^t \boldsymbol{f}(s, \boldsymbol{x}(s)) d s \quad \text { for all } t \geq t_0 .
$$
Interpreting the stochastic differential equation (SDE)
$$
d \boldsymbol{X}t=\boldsymbol{f}\left(t, \boldsymbol{X}_t\right) d t+\sigma\left(t, \boldsymbol{X}_t\right) d \boldsymbol{W}_t $$ in the sense of Itô in terms of integrals $$ \boldsymbol{X}_t=\boldsymbol{X}{t_0}+\int_{t_0}^t\left[\boldsymbol{f}\left(s, \boldsymbol{X}s\right) d s+\sigma\left(s, \boldsymbol{X}_s\right) d \boldsymbol{W}_s\right] $$ is a more difficult task as we need to interpret the integral $\int{t_0}^t \sigma\left(s, \boldsymbol{X}_s\right) d \boldsymbol{W}_s$ which involves products of random quantities. A summary of Itô calculus is [191].

A specific example we can consider is $\int_0^t W_s d W_s$. If we used standard methods from calculus, a change of variable $u(s)=\frac{1}{2} W_s^2$ would give $d u=W_s d W_s$ and so $\int_0^t W_s d W_s=\left.\frac{1}{2} W_s^2\right|{s=0} ^{s=t}=\frac{1}{2} W_t^2$. Note that its expectation is $\frac{1}{2} t$. On the other hand, if we approximate the integral by the sum $$ \sum{k=0}^{n-1} W_{h k}\left(W_{h(k+1)}-W_{h k}\right)
$$
where $t=n h$ we get a random quantity whose expectation is zero: $W_{h(k+1)}-$ $W_{h k}$ is independent of $W_{h k}=W_{h k}-W_0$ by the independent increments property, so $\mathbb{E}\left[W_{h k}\left(W_{h(k+1)}-W_{h k}\right)\right]=\mathbb{E}\left[W_{h k}\right] \mathbb{E}\left[W_{h(k+1)}-W_{h k}\right]=0$. Taking the limit as $h \rightarrow 0$ gives $\mathbb{E}\left[\int_0^t W_s d W_s\right]=0$, not $\frac{1}{2} t$

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Wiener ProcessesA

我们对布朗运动的理解是由爱因斯坦、Smoluchowski 和 Norbert Wiener 发展起来的。 是维纳将这一切建立在严格的基础上。出于这个原因,我们经常提到维纳过程。Wiener 过程的第一个属性是它是一个独立的增量过程: 也就是说, 对于 $a<b<c$ 随机变量 $\boldsymbol{W} c-\boldsymbol{W}b$ 和 $\boldsymbol{W}_b-\boldsymbol{W}_a$ 是独立的。第二个属性是平移不变性: $\boldsymbol{W}_b-\boldsymbol{W}_a$ 具有与相同 的分布 $\boldsymbol{W} b-a-\boldsymbol{W}_0$. 第三个属性是 $\boldsymbol{W}_b-\boldsymbol{W}_a$ 具有有限方差。由于独立增量性质和 有限方差, $$ \operatorname{Var}\left[\boldsymbol{W}_c-\boldsymbol{W}_a\right]=\operatorname{Var}\left[\left(\boldsymbol{W}_c-\boldsymbol{W}_b\right)+\left(\boldsymbol{W}_b-\boldsymbol{W}_a\right)\right]=\operatorname{Var}\left[\boldsymbol{W}_c-\boldsymbol{W}_b\right]+\operatorname{Var}\left[\boldsymbol{W}_b\right. $$ 结合平移不变性,我们看到 $\operatorname{Var}\left[\boldsymbol{W}_c-\boldsymbol{W}_a\right]$ 必须成正比 $c-a$. 最后的属性是 $\operatorname{Var}\left[\boldsymbol{W}_1-\boldsymbol{W}_0\right]=I$. 然后 $\operatorname{Var}\left[\boldsymbol{W}_c-\boldsymbol{W}_a\right]=(c-a) I$. 这是一个标准的 Wiener 过 程,如果,此外, $\boldsymbol{W}_0=0$ 概率为 1 。 中心极限定理 (定理 7.4) 意味着每个 $\boldsymbol{W}_t$ 和区别 $\boldsymbol{W}_b-\boldsymbol{W}_a$ 必须呈正态分布。 我们可以通过选择一个时间步来创建近似维纳过程 $h>0$, 然后取 $\boldsymbol{W} h, t$, 是线生揷值 $t$ 的 $\boldsymbol{W} h, k h, k=0,1,2, \ldots$ 和 $\boldsymbol{W} h, 0=\mathbf{0}$ 和 $\boldsymbol{W} h,(k+1) h=\boldsymbol{W} h, k h+\sqrt{h} \boldsymbol{Z}_k^{(h)}$ 在哪 里 $\boldsymbol{Z}_k^{(h)} \sim \operatorname{Normal}(\mathbf{0}, I)$ 是一个独立的增量。这种方法的问题在于我们不能将有意义的 限制作为 $h \downarrow 0$ : 除非我们之间有某种关系 $\boldsymbol{Z}_k^{(h)}$ 和 $\boldsymbol{Z} 2 k^{(h / 2)}$ ,例如,我们不能期望 $\boldsymbol{W}{h, t}$ 收玫为 $h \downarrow 0$.
查看如何创建收敛序列 $\boldsymbol{W}{h, k h}$ ,我们专注于标量情况。可以通过独立处理每个组件来处理矢量情况。 从价值观开始 $W{1,0}=0$ 和 $W_{1,1} \sim \operatorname{Normal}(0,1)$ 并“填写”之间的值 $t=0$ 和 $t=1$. 为了 $h=1 / 2$ 我们设置 $W_{1 / 2,0}=W_{1,0}$ 和 $W_{1 / 2,1}=W_{1,1}$. 但是,我们需要确定一个值 $W_{1 / 2,1 / 2}$ 以便 $W_{1 / 2,1 / 2}-W_{1 / 2,0}$ 和 $W_{1 / 2,1}-W_{1 / 2,1 / 2}$ 是独立的,并且都分布为 $\operatorname{Normal}(0,1 / 2)$. 我们生成一个独立的正态分布样本 $U_1^{(1 / 2)} \sim \operatorname{Normal}(0,1 / 4)$ 并设置 $W_{1 / 2,1 / 2}=\frac{1}{2}\left(W_{0,0}+W_{1,1}\right)+U_1^{(1 / 2)}$. 我们选择了 $U_1^{(1 / 2)}$ 有方差 $1 / 4$ 以便方差正确添 加:
$$
\frac{1}{2}=\operatorname{Var}\left[W_{1 / 2,1 / 2}\right]=\operatorname{Var}\left[\frac{1}{2}\left(W_{0,0}+W_{1,1}\right)\right]+\operatorname{Var}\left[U_1^{(1 / 2)}\right]=\frac{1}{4}+\operatorname{Var}\left[U_1^{(1 / 2)}\right]
$$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Itô Stochastic Differential Equations

解释常微分方程 (ODE)
$$
\frac{d x}{d t}=f(t, x(t)), \quad x\left(t_0\right)=x_0
$$
可以用积分来完成:
$$
\boldsymbol{x}(t)=\boldsymbol{x} 0+\int t_0{ }^t \boldsymbol{f}(s, \boldsymbol{x}(s)) d s \quad \text { for all } t \geq t_0 .
$$
解读随机微分方程 (SDE)
$$
d \boldsymbol{X} t=\boldsymbol{f}\left(t, \boldsymbol{X}t\right) d t+\sigma\left(t, \boldsymbol{X}_t\right) d \boldsymbol{W}_t $$ 在伊藤意义上的积分 $$ \boldsymbol{X}_t=\boldsymbol{X} t_0+\int{t_0}^t\left[\boldsymbol{f}(s, \boldsymbol{X} s) d s+\sigma\left(s, \boldsymbol{X}s\right) d \boldsymbol{W}_s\right] $$ 是一项更困难的任务,因为我们需要解释积分 $\int t_0{ }^t \sigma\left(s, \boldsymbol{X}_s\right) d \boldsymbol{W}_s$ 其中涉及随机数量 的产品。Itô 微积分的总结是 [191]。 我们可以考虑的一个具体例子是 $\int_0^t W_s d W_s$. 如果我们使用微积分的标准方法,变量的 变化 $u(s)=\frac{1}{2} W_s^2$ 会给 $d u=W_s d W_s$ 所以 $\int_0^t W_s d W_s=\frac{1}{2} W_s^2 \mid s=0^{s=t}=\frac{1}{2} W_t^2$. 请注意,它的期望是 $\frac{1}{2} t$. 另一方面,如果我们用总和来近似积分 $$ \sum k=0^{n-1} W{h k}\left(W_{h(k+1)}-W_{h k}\right)
$$在哪里 $t=n h$ 我们得到一个随机数量,其期望为零: $W_{h(k+1)}-W_{h k}$ 独立于 $W_{h k}=W_{h k}-W_0$ 由独立增量属性,所以 $\mathbb{E}\left[W_{h k}\left(W_{h(k+1)}-W_{h k}\right)\right]=\mathbb{E}\left[W_{h k}\right] \mathbb{E}\left[W_{h(k+1)}-W_{h k}\right]=0$. 取极限为 $h \rightarrow 0$ 给 $\mathbb{E}\left[\int_0^t W_s d W_s\right]=0$ , 不是 $\frac{1}{2} t$

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考

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