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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Stinespring representation

Let $\mathcal{A}$ be a $C^$-algebra of bounded linear operators (but not necessarily on any specifically known complex Hilbert space). Recall from GNS representation of $\mathcal{A}$ (see Definition 2.5.1 and Proposition 2.5.2) that if there exists a ${ }^$-homomorphism $\pi: \mathcal{A} \rightarrow \mathbb{K}$ and a vector $\zeta \in \mathbb{K}$ such that $\pi(\mathcal{A}) \zeta$ spans $\mathbb{K}$ (i. e., $\operatorname{span}{\pi(\mathbf{a}) \zeta \mid \mathbf{a} \in \mathcal{A}}=\mathbb{K}$ ), then the pair ( $\pi, \mathbb{K}$ ) is called a $G N S$ representation of $\mathcal{A}$ on $\mathbb{K}$ and the vector $\zeta \in \mathbb{K}$ is called a cyclic vector.

The following result due to Stinespring [167] gives a representation of completely positive maps. Although the result holds true for any $C^*$-algebra of bounded linear operators $\mathcal{A}$ on $\mathbb{H}$, however, for representation simplicity of the material, we assume that $\mathcal{A}=\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ below.

Theorem 4.3.1 (Stinespring [167]). A linear map $\mathrm{Y}: \mathfrak{B}(\mathbb{H}) \rightarrow \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ is completely positive if and only if it has the form

$$
Y(\mathbf{a})=\mathbf{V}^* \pi(\mathbf{a}) \mathbf{V}, \quad \forall \mathbf{a} \in \mathcal{A}
$$
where $(\pi, \mathbb{K})$ is a GNS representation of $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ on $\mathbb{K}$ for some Hilbert space $\mathbb{K}$, and $\mathbf{V}$ is a bounded linear operator from $\mathbb{H}$ to $\mathbb{K}$. If the map $\mathrm{Y}$ is normal, then the representation $\pi$ can be chosen to be normal.

Proof. $(\Leftarrow)$ We first assume that $Y$ be a linear map of the form (4.7) and let $\left[\mathbf{a}{i j}\right]{i, j=1}^n$ be a positive matrix in $\mathfrak{B}(\mathbb{H}) \otimes \mathcal{M}n$. For all vectors $\left(u_j\right){j=1}^n$ in $\mathbb{H}$, we have then
$$
\begin{aligned}
\sum_{1 \leq i, j \leq n}\left\langle u_i, \mathrm{Y}\left(\mathbf{a}{i j}\right) u_j\right\rangle{\mathbf{H}} & =\sum_{1 \leq i, j \leq n}\left\langle u_i, \mathbf{V}^* \pi\left(\mathbf{a}{i j}\right) \mathbf{V} u_j\right\rangle{\mathrm{H}} \
& =\sum_{1 \leq i, j \leq n}\left\langle\mathbf{V} u_i, \pi\left(\mathbf{a}{i j}\right) \mathbf{V} u_j\right\rangle{\mathrm{H}} \geq 0
\end{aligned}
$$
because $\pi: \mathfrak{B}(\mathbb{H}) \rightarrow \mathfrak{B}(\mathbb{K})$ is a *-homomorphism and, therefore, is completely positive by Proposition 4.1.2. This shows that the map $Y: \mathfrak{B}(\mathbb{H}) \rightarrow \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ is completely positive by Proposition 4.1.6.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Kraus representation

In this section, we explore and prove the Kraus version of the Stinespring theorem (see Kraus [98]). Kraus representation provides a characterization of $\sigma$-weakly continuous (i. e., normal) completely positive maps.

The presentation of Kraus representation in this section is largely based on the lecture note by Attal [3].

Recall that a map $Y$ on a von Neumann algebra $\mathcal{A}$ is said to be normal if $\Upsilon\left(\vee_a \mathbf{a}\alpha\right)=$ $\vee\alpha Y\left(\mathbf{a}\alpha\right)$ for all increasing net $\left(\mathbf{a}\alpha\right){\alpha \in L}$ that is bounded above where $\vee\alpha(\cdot)$ denotes the least upper bound.
We first need the following preliminary result.
Lemma 4.4.1. Let $\pi$ be a normal representation of $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ on a separable Hilbert space $\mathbb{K}$. Then there exists a direct sum decomposition of $\mathbb{K}$,
$$
\mathbb{K}=\bigoplus_{n=1}^{+\infty} \mathbb{K}n, $$ where the subspaces $\mathbb{K}_n$ are invariant under $\pi$ (i.e., $\pi\left(\mathbb{K}_n\right) \subset \mathbb{K}_n$ ) and $\left.\pi\right|{\mathrm{K}n}$, the restriction of $\pi$ to each $\mathbb{K}_n$, is unitarily equivalent to the standard representation of $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$. Proof. If $\phi$ is a unit vector in $\mathbb{H}$, then the projection $\mathbf{P}=\pi\left(|\phi\rangle{\mathrm{H}}\langle\phi|\right)$ is nonzero. This is because if $\mathbf{U}n$ are unitary operators in $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ such that $\phi_n=\mathbf{U}_n \phi$ form a maximal orthonormal set in $\mathbb{H}$ and if $\mathbf{P}=\mathbf{0}$ then $$ \pi\left(\left|\phi_n\right\rangle{\mathrm{H}}\left\langle\phi_n\right|\right)=\pi\left(\mathbf{U}_n\right) \mathbf{P} \pi\left(\mathbf{U}_n\right)=\mathbf{0}
$$
and, by normality of $\pi$,$$
\pi(\mathbf{I})=\sum_n \pi\left(\left|\phi_n\right\rangle_{\mathrm{H}}\left\langle\phi_n\right|\right)=\mathbf{0}
$$
instead of being equal to $\mathrm{I}$ as it should be. Therefore, $\mathbf{P} \neq \mathbf{0}$. If $\psi$ is a unit vector in $\mathbb{K}$ such that $\mathbf{P} \psi=\psi$, then
$$
\begin{aligned}
\langle\psi, \pi(\mathbf{X}) \psi\rangle_{\mathrm{K}} & =\langle\mathbf{P} \psi, \pi(\mathbf{X}) \mathbf{P} \psi\rangle_{\mathrm{K}}=\left\langle\psi, \pi\left(|\phi\rangle_{\mathbf{H}}\langle\phi|\mathbf{X}| \phi\rangle_{\mathrm{H}}\langle\phi|\right) \psi\right\rangle_{\mathbb{K}} \
& =\langle\phi, \mathbf{X} \phi\rangle_{\mathbb{H}},\left\langle\psi, \pi\left(|\phi\rangle_{\mathbb{H}}\langle\phi|\right) \psi\right\rangle_{\mathrm{K}}=\langle\phi, \mathbf{X} \phi\rangle_{\mathbb{H}} .
\end{aligned}
$$

信息论代考

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Stinespring representation

让 $\mathcal{A}$ 是一个 $C^{\wedge}$ – 有界线性算子的代数(但不一定在任何特别已知的复 Hilbert 空间 上)。回忆一下 GNS 的表示 $\mathcal{A}$ (参见定义 2.5.1 和命题 2.5.2) 如果存在 {}$^{\wedge}$-同态 $\pi: \mathcal{A} \rightarrow \mathbb{K}$ 和一个向量 $\zeta \in \mathbb{K}$ 这样 $\pi(\mathcal{A}) \zeta$ 跨越 $\mathbb{K}$ (IE, $\operatorname{span} \pi(\mathbf{a}) \zeta \mid \mathbf{a} \in \mathcal{A}=\mathbb{K}$ ), 然 后对 $(\pi, \mathbb{K})$ 称为 $G N S$ 表示 $\mathcal{A}$ 在 $\mathbb{K}$ 和向量 $\zeta \in \mathbb{K}$ 称为循环向量。
由于 Stinespring [167],以下结果给出了完全正映射的表示。尽管结果对任何情况都成 立 $C^$-有界线性算子的代数 $\mathcal{A}$ 在 $\mathbb{H}$ ,但是,为了简化材料的表示,我们假设 $\mathcal{A}=\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ 以下。 定理 4.3.1 (Stinespring [167])。线性地图Y : $\mathfrak{B}(\mathbb{H}) \rightarrow \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ 是完全正的当且仅当它 有形式 $$ Y(\mathbf{a})=\mathbf{V}^ \pi(\mathbf{a}) \mathbf{V}, \quad \forall \mathbf{a} \in \mathcal{A}
$$
在哪里 $(\pi, \mathbb{K})$ 是 $G N S$ 表示 $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ 在 $\mathbb{K}$ 对于一些希尔伯特空间 $\mathbb{K} ,$ 和 $\mathbf{V}$ 是一个有界线性 算子 $\mathbb{H}$ 到 $\mathbb{K}$. 如果地图Y是正常的,那么表示 $\pi$ 可以选择正常。
证明。 $(\Leftarrow)$ 我们首先假设 $Y$ 是形如 (4.7) 的线性映射,令 $[\mathbf{a} i j] i, j=1^n$ 是一个正矩阵 $\mathfrak{B}(\mathbb{H}) \otimes \mathcal{M} n$. 对于所有向量 $\left(u_j\right) j=1^n$ 在 $\mathbb{H}$ ,那么我们有
$$
\sum_{1 \leq i, j \leq n}\left\langle u_i, \mathrm{Y}(\mathbf{a} i j) u_j\right\rangle \mathbf{H}=\sum_{1 \leq i, j \leq n}\left\langle u_i, \mathbf{V}^* \pi(\mathbf{a} i j) \mathbf{V} u_j\right\rangle \mathbf{H} \quad=\sum_{1 \leq i, j \leq n}\left\langle\mathbf{V} u_i, \pi(\mathbf{a} i j)\right.
$$
因为 $\pi: \mathfrak{B}(\mathbb{H}) \rightarrow \mathfrak{B}(\mathbb{K})$ 是一个*-同态,因此根据命题 4.1.2 是完全正的。这表明地图 $Y: \mathfrak{B}(\mathbb{H}) \rightarrow \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ 由命题 4.1.6 完全肯定。

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Kraus representation

在本节中,我们探索并证明了 Stinespring 定理的 Kraus 版本 (参见 Kraus [98])。克劳 斯表示提供了一个表征 $\sigma$-弱连续(即正常)完全正映射。
本节中 Kraus 表示的介绍主要基于 Attal [3] 的讲义。
回想一下地图 $Y$ 在冯诺依曼代数上 $\mathcal{A}$ 据说是正常的,如果 $\Upsilon\left(\vee_a \mathbf{a} \alpha\right)=\vee \alpha Y(\mathbf{a} \alpha)$ 对于 所有增加的净 $(\mathbf{a} \alpha) \alpha \in L$ 那是有界的 $\vee \alpha(\cdot)$ 表示最小上限。
我们首先需要以下初步结果。
引理 4.4.1。让 $\pi$ 是一个正常的代表 $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ 在可分离的希尔伯特空间上 $\mathbb{K}$. 然后存在直和 分解 $\mathbb{K}$,
$$
\mathbb{K}=\bigoplus_{n=1}^{+\infty} \mathbb{K} n,
$$
子空间在哪里 $\mathbb{K}n$ 在以下是不变的 $\pi\left(\mathrm{IE}, \pi\left(\mathbb{K}_n\right) \subset \mathbb{K}_n\right)$ 和 $\pi \mid \mathrm{K} n$, 的限制 $\pi$ 每一个 $\mathbb{K}_n$ ,统一等同于标准表示法 $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$. 证明。如果 $\phi$ 是一个单位向量萁,那么投影 $\mathbf{P}=\pi(|\phi\rangle \mathbf{H}\langle\phi|)$ 是非零的。这是因为如果 $\mathbf{U} n$ 是么正运算符 $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ 这样 $\phi_n=\mathbf{U}_n \phi$ 形 成最大正交集 $\mathbb{H}$ 而如果 $\mathbf{P}=\mathbf{0}$ 然后 $$ \pi\left(\left|\phi_n\right\rangle \mathrm{H}\left\langle\phi_n\right|\right)=\pi\left(\mathbf{U}_n\right) \mathbf{P} \pi\left(\mathbf{U}_n\right)=\mathbf{0} $$ 并且,按常态 $\pi$ , $$ \pi(\mathbf{I})=\sum_n \pi\left(\left|\phi_n\right\rangle{\mathrm{H}}\left\langle\phi_n\right|\right)=\mathbf{0}
$$
而不是等于应该如此。所以, $\mathbf{P} \neq \mathbf{0}$. 如果 $\psi$ 是一个单位向量 $\mathbb{K}$ 这样 $\mathbf{P} \psi=\psi$ ,然后
$$
\langle\psi, \pi(\mathbf{X}) \psi\rangle_{\mathrm{K}}=\langle\mathbf{P} \psi, \pi(\mathbf{X}) \mathbf{P} \psi\rangle_{\mathrm{K}}=\left\langle\psi, \pi\left(|\phi\rangle_{\mathbf{H}}\langle\phi|\mathbf{X}| \phi\rangle_{\mathrm{H}}\langle\phi|\right) \psi\right\rangle_{\mathbb{K}} \quad=\langle\phi, \mathbf{X} \phi\rangle_{\mathbb{H}}
$$

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