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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Quantum operations

Quantum operations are formulated in terms of the quantum state or density operator description of a quantum mechanical system. Rigorously, a quantum operation is a linear, completely positive and trace-nondecreasing map from the set of quantum states of one system into that of another.

To define quantum operations, we recall from Definition 1.8 .2 that $₹(\mathbb{H})$ is the $\mathrm{Ba}$ nach space of trace-class operators $\mathbf{T}$ on the complex Hilbert space $\mathbb{H}$ under the tracenorm $|\mathbf{T}|_1$ defined by $|\mathbf{T}|_1:=\operatorname{tr}[|\mathbf{T}|]=\operatorname{tr}\left[\sqrt{\mathbf{T}^* \mathbf{T}}\right]$.
A linear map $\Phi: \mathcal{T}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathcal{T}\left(\mathrm{H}_B\right)$ is said to be trace nonincreasing if
$$
\operatorname{tr}[\Phi(\rho)] \leq \operatorname{tr}[\rho], \quad \forall \rho \in \widetilde{T}\left(\mathbb{H}_A\right)
$$
and $\Phi: \mathfrak{T}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \tau\left(\mathbb{H}_B\right)$ is said to be trace preserving if
$$
\operatorname{tr}[\Phi(\rho)]=\operatorname{tr}[\rho], \quad \forall \rho \in \widetilde{T}\left(\mathbb{H}_A\right)
$$

Definition 5.1.1. A linear completely positive trace-nonincreasing map
$$
\Phi: \mathcal{S}\left(\mathbb{H}A\right) \rightarrow \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_B\right) $$ is called a quantum operation from system $A$ to system $B$. Definition 5.1.2. A linear completely positive trace-nonincreasing map $$ \Phi: \tau{+}\left(\mathbb{H}A\right) \rightarrow \tau{+}\left(\mathbb{H}_B\right)
$$
is called an extended quantum operation from system $A$ to system $B$.
The collection of quantum operations from $A$ to $B$ will be denoted by $\mathfrak{Q Q}(A, B)$ and the collection of extended quantum operations from system $A$ to system $B$ will be denoted by $\operatorname{EQO}(A, B)$. When $\mathbb{H}_A=\mathbb{H}_B, \mathfrak{Q O}(A, B)$ and $\mathfrak{E Q O}(A, B)$ will be written as $\mathfrak{Q O}(A)$ and $\mathfrak{E Q O}(A)$, respectively.

Trace-preserving and trace-nonincreasing positive linear maps between $\tau_{+}\left(\mathbb{H}A\right)$ and $\widetilde{T}{+}\left(\mathbb{H}_B\right)$ can be considered noncommutative analogs of Markov and sub-Markov maps in the classical probability theory.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Quantum channels

Roughly speaking, a quantum channel is a specific type of map from one quantum system to another, which will be described mathematically in Schrodinger and Heisenberg pictures in the next two subsections. In the Schrodinger picture, the quantum channels will be presented as being the resulting transformation of a quantum state of $\mathrm{H}_A$ after a contact and an evolution with some environment to a quantum state of $\mathbb{H}_B$. As usual, for all quantum evolutions there is a dual picture, an Heisenberg picture, where the evolution is seen from the point of view of observables instead of states.

To explore the relationship between the Shrodinger picture and Heisenberg picture of a quantum system represented by a separable Hilbert space $\mathbb{H}$, consider the Banach spaces of trace-class operators $\mathfrak{T}(\mathbb{H})$ under trace-norm $|\cdot|_1$ and the Banach space of bounded linear operators $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ under the operator norm $|\cdot|_{\infty}$. It has been shown in Proposition 2.3.14 that $\mathfrak{T}(\mathbb{H})$ is a predual of $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ via the bilinear relation $\langle\langle\cdot \cdot\rangle\rangle: \mathfrak{B}(\mathbb{H}) \times \mathfrak{I}(\mathbb{H}) \rightarrow \mathbb{C}$ defined by
$$
\langle\langle\mathbf{a}, \mathbf{T}\rangle\rangle=\operatorname{tr}[\mathbf{a} \mathbf{T}], \quad \forall \mathbf{a} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H}) \text { and } \forall \mathbf{T} \in \Im(\mathbb{H})
$$
In other words, $\mathfrak{T}^*(\mathbb{H})$, the topological dual of $\mathfrak{T}(\mathbb{H})$, equals $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$. Moreover, for any $\mathbf{T} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H})$, its operator norm $|\mathbf{T}|_{\infty}$ is related to its trace-class norm $|\mathbf{T}|_1$ via the following relation: $$
|\mathbf{T}|_{\infty}=\sup {|\rho|_1 \leq 1}|\mathbf{T} \rho|_1 . $$ In particular, if $\mathbf{T}$ is such that $|\mathbf{T}|_1=1$, then $|\mathbf{T}|{\infty}=|\mathbf{T}|_1=1$.

信息论代考

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Quantum operations

量子运算是根据量子力学系统的量子态或密度算子描述来制定的。严格地说,量子操作 是从一个系统的量子态集到另一个系统的量子态集的线性、完全正的和迹非递減的映 射。
为了定义量子运算,我们回顾定义 $1.8 .2 ₹(\mathbb{H})$ 是个 $\mathrm{Ba}$ 跟踪类运算符的 nach 空间 $\mathbf{T}$ 在复 Hilbert 空间上 $\mathbb{H}$ 在跟踪规范下 $|\mathbf{T}|_1$ 被定义为 $|\mathbf{T}|_1:=\operatorname{tr}[|\mathbf{T}|]=\operatorname{tr}\left[\sqrt{\mathbf{T}^* \mathbf{T}}\right]$. 线性地图 $\Phi: \mathcal{T}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \mathcal{T}\left(\mathrm{H}_B\right)$ 如果
$$
\operatorname{tr}[\Phi(\rho)] \leq \operatorname{tr}[\rho], \quad \forall \rho \in \widetilde{T}\left(\mathbb{H}_A\right)
$$
和 $\Phi: \mathfrak{T}\left(\mathbb{H}_A\right) \rightarrow \tau\left(\mathbb{H}_B\right)$ 据说可以保留痕迹,如果
$$
\operatorname{tr}[\Phi(\rho)]=\operatorname{tr}[\rho], \quad \forall \rho \in \widetilde{T}\left(\mathbb{H}_A\right)
$$
定义 5.1.1。线性完全正迹非增映射
$$
\Phi: \mathcal{S}(\mathbb{H} A) \rightarrow \mathcal{S}\left(\mathbb{H}_B\right)
$$
被称为来自系统的量子操作 $A$ 到系统 $B$. 定义 5.1.2。线性完全正迹非增映射
$$
\Phi: \tau+(\mathbb{H} A) \rightarrow \tau+\left(\mathbb{H}_B\right)
$$
被称为系统的扩展量子操作 $A$ 到系统 $B$.
量子运算的集合来自 $A$ 到 $B$ 将被表示为 $\mathfrak{Q Q}(A, B)$ 以及从系统中收集扩展的量子操作 $A$ 到系统 $B$ 将被表示为 $\mathrm{EQO}(A, B)$. 什么时候 $\mathbb{H}_A=\mathbb{H}_B, \mathfrak{Q O}(A, B)$ 和 $\mathfrak{Q} \mathfrak{O}(A, B)$ 将 被写成Q@ $(A)$ 和 $\mathfrak{Q O}(A)$ ,分别。

Trace-preserving 和 trace-nonincreasing 之间的正线性映射 $\tau_{+}(\mathbb{H} A)$ 和 $\widetilde{T}+\left(\mathbb{H}_B\right)$ 可以 被认为是经典概率论中马尔可夫和子马尔可夫映射的非交换类比。

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Quantum channels

粗略地说,量子通道是从一个量子系统到另一个量子系统的一种特定类型的映射,这将 在接下来的两小节中用薛定遌和海森堡的图片进行数学描述。在薛定遌的图片中,量子 通道将被呈现为量子态的最终转换 $\mathrm{H}A$ 在与某些环境接触并进化到量子态之后 $\mathbb{H}_B$. 像往 常一样,对于所有的量子演化,都有一个对偶图,一个海森堡图,其中演化是从可观察 物的角度而不是状态的角度来看的。 探讨可分离希尔伯特空间表示的量子系统的薛定谔图与海森堡图之间的关系 $\mathbb{H}$ ,考虑迹 类算子的 Banach 空间 $\mathfrak{T}(\mathbb{H})$ 迹范数下 ||$_1$ 和有界线性算子的 Banach 空间 $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ 在运营 商规范下 $|\cdot|{\infty}$. 命题 2.3 .14 表明’ $(\mathbb{H})$ 是 $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$ 通过双线性关系
$\langle\langle\cdot \cdot\rangle\rangle: \mathfrak{B}(\mathbb{H}) \times \mathfrak{I}(\mathbb{H}) \rightarrow \mathbb{C}$ 被定义为
$$
\langle\langle\mathbf{a}, \mathbf{T}\rangle\rangle=\operatorname{tr}[\mathbf{a} \mathbf{T}], \quad \forall \mathbf{a} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H}) \text { and } \forall \mathbf{T} \in \mathfrak{I}(\mathbb{H})
$$
换句话说, $\mathfrak{T}^*(\mathbb{H})$ ,的拓扑对偶 $\mathfrak{T}(\mathbb{H})$ , 等于 $\mathfrak{B}(\mathbb{H})$. 此外,对于任何 $\mathbf{T} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ ,它的 算子范数 $|\mathbf{T}|{\infty}$ 与其迹类范数有关 $|\mathbf{T}|_1$ 通过以下关系: $$ |\mathbf{T}|{\infty}=\sup |\rho|_1 \leq 1|\mathbf{T} \rho|_1
$$
特别是,如果 $\mathbf{T}$ 是这样的 $|\mathbf{T}|_1=1$ ,然后 $|\mathbf{T}| \infty=|\mathbf{T}|_1=1$.

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