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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The Fubini numbers count chains of subsets

Let us fix a set $S$ of $n$ elements. We say that a sequence
$$
U_1 \subset U_2 \subset \cdots \subset U_k
$$
of subsets of $S$ is a chain if $U_i \subset U_{i+1}$ and $U_i \neq U_{i+1}$ for all possible $i$ s. The length of the chain (6.4) is defined to be $k$.

Let a chain be called full if $U_1=\emptyset$ and $U_k=S$. We are going to see that the number of all the full chains on an $n$ element set $S$ is the $n$-th Fubini number.

Indeed, $U_1=\emptyset$, and we would like to choose an $U_2$, as the next element of the chain. If the chain is of length two, we choose $U_2$ to be $S$. If it is longer, then we have to choose a non-empty proper subset of $S$. If the chain is of length three, we must choose $U_3=S$. Otherwise, we have to fix the proper subset $U_3$ of $S$ such that it is disjoint from $U_2$. We continue the process in this manner until eventually we reach $U_k=S$. Obviously, $U_2 \backslash U_1\left(=U_1\right), U_3 \backslash$ $U_2, \ldots, U_k \backslash U_{k-1}$ form a partition of $S$. In the case of chains, the order in which we have chosen our chain elements (blocks) matters, since, for example, the two chains
$$
\emptyset \subset{1,2} \subset{1,2,3,4}=S
$$
and
$$
\emptyset \subset{3,4} \subset{1,2,3,4}=S
$$
are different (even if the corresponding partitions, 1,2|3,4 and $3,4 \mid 1,2$, are the same). For this reason, the number of chains of length $k$ for a set of $n$ elements is $k !\left{\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right}$. Summing over $k$, we get the number of all the possible full chains for an $n$ element set, and this is the number $F_n$.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The generating function of the Fubini numbers

In order to find the exponential generating function of the Fubini numbers, we use (6.1). Summing over $n$ after multiplying with $\frac{x^n}{n !}$ we get that
$$
\sum_{n=0}^{\infty} F_n \frac{x^n}{n !}=\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^n k !\left{\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right}\right) \frac{x^n}{n !}
$$

Here $k$ can run from 0 to infinity, so that we can interchange the sums:
$$
\begin{gathered}
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=1}^n k !\left{\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right}\right) \frac{x^n}{n !}=\sum_{k=0}^{\infty} k !\left(\sum_{n=0}^{\infty}\left{\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right} \frac{x^n}{n !}\right)=\sum_{k=0}^{\infty} k ! \frac{\left(e^x-1\right)^k}{k !}= \
\sum_{k=0}^{\infty}\left(e^x-1\right)^k=\frac{1}{1-\left(e^x-1\right)} .
\end{gathered}
$$
The last sum is a simple geometric series (see (2.2)). The exponential generating function is therefore
$$
\sum_{n=0}^{\infty} F_n \frac{x^n}{n !}=\frac{1}{2-e^x}
$$
This results in a nice infinite sum representation for the Fubini numbers, which can be considered as the analogue of the Dobiński formula (2.17). Rewriting the generating function:
$$
\begin{gathered}
\frac{1}{2-e^x}=\frac{1}{2} \frac{1}{1-\frac{e^x}{2}}=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{e^x}{2}\right)^k=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^{k x}}{2^k}= \
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{k+1}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{k^n x^n}{n !}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^n}{2^{k+1}} .
\end{gathered}
$$
Comparing the coefficients,
$$
F_n=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^n}{2^{k+1}} .
$$
As the Fubini numbers are also called ordered Bell numbers, we may call this nice result an ordered Dobiniski formula.

组合学代写

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The Fubini numbers count chains of subsets

让我们固定一组 $S$ 的 $n$ 元素。我们说一个序列
$$
U_1 \subset U_2 \subset \cdots \subset U_k
$$
的子集 $S$ 是一条链如果 $U_i \subset U_{i+1}$ 和 $U_i \neq U_{i+1}$ 对于所有可能的 $i$ 秒。链 (6.4) 的长度定 义为 $k$.
如果链称为满链 $U_1=\emptyset$ 和 $U_k=S$. 我们将看到一个链上所有完整链的数量 $n$ 元素集 $S$ 是 个n-th 富比尼数。
的确, $U_1=\emptyset ,$ 我们想选择一个 $U_2$ ,作为链的下一个元素。如果链的长度为二,我们 选择 $U_2$ 成为 $S$. 如果它更长,那么我们必须选择一个非空的适当子集 $S$. 如果链的长度为 三,我们必须选择 $U_3=S$. 否则,我们必须修复适当的子集 $U_3$ 的 $S$ 这样它就与 $U_2$. 我们 以这种方式继续这个过程,直到最终我们到达 $U_k=S$. 明显地, $U_2 \backslash U_1\left(=U_1\right), U_3 \backslash$ $U_2, \ldots, U_k \backslash U_{k-1}$ 形成一个分区 $S$. 在链的情况下,我们选择链元素 (块) 的顺序很重 要,因为,例如,两条链
$$
\emptyset \subset 1,2 \subset 1,2,3,4=S
$$

$$
\emptyset \subset 3,4 \subset 1,2,3,4=S
$$
是不同的(即使相应的分区, $1,2 \mid 3,4$ 和 $3,4 \mid 1,2$ ,是相同的)。出于这个原因,长度 链的数量 $k$ 对于一组 $n$ 元素是 $k ! \backslash$ !left{\begin{array}{l}n } \backslash k \backslash e n d { a r r a y } \backslash r i g h t } \text { . 总结结束 } k \text { ,我 } 们得到所有可能的完整链的数量 $n$ 元素集,这是数字 $F_n$.

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The generating function of the Fubini numbers

为了找到富比尼数的指数生成函数,我们使用 (6.1) 。总结结束 $n$ 乘以之后 $\frac{x^n}{n !}$ 我们明
白了
$\lfloor\text { sum_{n }=0}^{\wedge}{$ infty $} _F_{-} n \backslash$ frac $\left{x^{\wedge} n\right}{n !}=\backslash$ sum_{n=0 $}^{\wedge}{$ infty $} \backslash$ left $\left(\right.$ sum_${k=1}^{\wedge} n k ! \backslash$ left: $\backslash$ begin ${$ array $\left.} \mid\right} n$
这里 $k$ 可以从 0 运行到无穷大,这样我们就可以互换总和:
最后的和是一个简单的几何级数(见 (2.2) )。因此指数生成函数是
$$
\sum_{n=0}^{\infty} F_n \frac{x^n}{n !}=\frac{1}{2-e^x}
$$
这导致了 Fubini 数的一个很好的无限和表示,它可以被认为是 Dobiński 公式 (2.17) 的 类比。重写生成函数:
$$
\frac{1}{2-e^x}=\frac{1}{2} \frac{1}{1-\frac{e^x}{2}}=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{e^x}{2}\right)^k=\frac{1}{2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{e^{k x}}{2^k}=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{k+1}} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{k^n x^n}{n !}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}
$$
比较系数,
$$
F_n=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{k^n}{2^{k+1}}
$$
由于 Fubini 数也称为有序 Bell 数,我们可以将这个不错的结果称为有序 Dobiniski 公式。

数学代写|组合学代写Combinatorics代考

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