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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The definition of the Fubini numbers
The number of partitions of an $n$ element set is given by the $n$th Bell number. If the elements in the block are ordered, we get the $L_n$ numbers the horizontal sums of the Lah numbers. If, in turn, the order of the blocks is taken into account, we arrive at another counting sequence: that of the Fubini numbers. In this chapter we study this sequence; it will turn out that it is connected also to some interesting counting problems regarding permutations.
Without taking the order of the blocks into account, the partitions
$$
1,5|2,3| 4,6
$$
and
$$
2,3|1,5| 4,6
$$
are identical. In this chapter we do distinguish them and make the following definition.
Definition 6.1.1. Let $F_n$ denote the number of all the partitions of an $n$ set such that we take the order of the blocks in the individual partitions into account. $F_n$ is the $n$th ordered partition number, or $n$th Fubini ${ }^1$ number. The Fubini numbers are also called ordered Bell numbers ${ }^2$.
Going back to our very first example in the book, we saw that four elements have 15 partitions:
$$
\begin{gathered}
1|2| 3 \mid 4 \
1|2| 3,4, \quad 1|3| 2,4, \quad 1|4| 2,3, \quad 2|3| 1,4, \quad 2|4| 1,3, \quad 3|4| 1,2 \
1|2,3,4, \quad 2| 1,2,4, \quad 3|1,2,4, \quad 4| 1,2,3, \quad 1,2|3,4, \quad 1,3| 2,4, \quad 1,4 \mid 2,3 \
1,2,3,4
\end{gathered}
$$
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Two more interpretations of the Fubini numbers
There are other ways we can look at the ordered partitions. We give here some examples.
Surjective functions
Going back to p. 17 , we see there that the number of surjective functions from an $n$-set to a $k$-set is $k !\left{\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right}$. Summing over $k$, we infer that the Fubini numbers count all the surjective functions on an $n$-set onto some set (of cardinality necessarily between one and $n$ ).
Another interpretation comes if we consider a competition of $n$ people where draws (or ties) are allowed. The $n$th Fubini number $F_n$ gives the number of the possible outputs in such a competition. This is so because an ordered $k$ partition on $n$ people can be considered as an output of a competition where the $n$ people (better to say, their indices) in the same blocks are classified equal (draws).
This interpretation offers a recursive formula for the Fubini numbers. To enumerate all the outputs of our competition, we can choose $k$ competitors from $n$, and these go to the first position. This can be done in $\left(\begin{array}{l}n \ k\end{array}\right)$ ways. Then the remaining $n-k$ competitors can be considered as competitors of a new competition for the second, third,… position. They can be classified in $F_{n-k}$ ways. Summing over $k$, put these into a formula:
$$
F_n=\sum_{k=1}^n\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right) F_{n-k}
$$
组合学代写
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The definition of the Fubini numbers
分区数 $n$ 元素集由 $n$th 钟号。如果块中的元素是有序的，我们得到 $L_n$ 对 Lah 数的水平和 进行编号。如果反过来考虑块的顺序，我们会得到另一个计数序列: 富比尼数的序列。 在本章中，我们研究这个序列；事实证明，它也与一些有关排列的有趣计数问题有关。 在不考虑块的顺序的情况下，分区
$$
1,5|2,3| 4,6
$$
和
$$
2,3|1,5| 4,6
$$
是相同的。本章我们对它们进行区分，并作出如下定义。
定义 6.1.1。让 $F_n$ 表示一个分区的所有分区数 $n$ 设置以便我们考虑各个分区中块的顺
回到书中的第一个例子，我们看到四个元素有 15 个分区:
$$
1|2| 3|41| 2|3,4, \quad 1| 3|2,4, \quad 1| 4|2,3, \quad 2| 3|1,4, \quad 2| 4|1,3, \quad 3| 4|1,21| 2,3,4,
$$
数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Two more interpretations of the Fubini numbers
我们可以通过其他方式查看有序分区。我们在这里举一些例子。
满射函数
回到 $\mathrm{p} 。 17$ ，我们在那里看到满射函数的数量 $n$-设置为 $k$-设置是 的所有满射函数 $n$-set 到一些集合上 (基数必然介于 1 和 $n$ ).
如果我们考虑竞争， 就会出现另一种解释 $n$ 允许平局 (或平局) 的人。这 $n$th 富比尼数 $F_n$ 给出在这种竞争中可能的输出数量. 这是因为一个命令 $k$ 分区上 $n$ 人们可以被认为是竞 争的输出 $n$ 同一街区的人 (更确切地说，他们的指数) 被归类为相等 (平局)。
这种解释为富比尼数提供了一个递归公式。要枚举我们竞争的所有输出，我们可以选择 $k$ 竞争对手来自 $n$, 这些都排在第一位。这可以在 $(n k)$ 方法。然后剩下的 $n-k$ 竞争对 手可以被视为第二，第三，…..位置的新竞争的竞争对手。它们可以分类为 $F_{n-k}$ 方法。 总结结束 $k$ ，将这些代入公式:
$$
F_n=\sum_{k=1}^n(n k) F_{n-k}
$$
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