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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Product Integration and Fubini’s Theorem
In this section, let $\left(\Omega^{\prime}, L^{\prime}, I^{\prime}\right)$ and $\left(\Omega^{\prime \prime}, L^{\prime \prime}, I^{\prime \prime}\right)$ be two arbitrary but fixed complete integration spaces. Let $\Omega \equiv \Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$ denote the product set. We will construct the product integration space and embed the given integration spaces in it. The definitions and results can easily be generalized to more than two given integration spaces.
Definition 4.10.1. Direct product of functions. Let $X^{\prime}, X^{\prime \prime}$ be arbitrary members of $L^{\prime}, L^{\prime \prime}$, respectively. Define the function $X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}: \Omega \rightarrow R$ by $\operatorname{domain}\left(X^{\prime} \otimes\right.$ $\left.X^{\prime \prime}\right) \equiv \operatorname{domain}\left(X^{\prime}\right) \times \operatorname{domain}\left(X^{\prime \prime}\right)$ and by $\left(X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}\right)\left(\omega^{\prime}, \omega^{\prime \prime}\right) \equiv X^{\prime}\left(\omega^{\prime}\right) X^{\prime \prime}\left(\omega^{\prime \prime}\right)$ for each $\omega \in \Omega$. The function $X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}$ is then called the direct product of the functions $X^{\prime}$ and $X^{\prime \prime}$. When the risk of confusion is low, we will write $X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}$ and $X^{\prime} X^{\prime \prime}$ interchangeably.
Definition 4.10.2. Simple functions. Let $n, m \geq 1$ be arbitrary. Let $X_1^{\prime}, \ldots, X_n^{\prime} \in$ $L^{\prime}$ be mutually exclusive indicators, and let $X_1^{\prime \prime}, \ldots, X_m^{\prime \prime} \in L^{\prime \prime}$ be mutually exclusive indicators. For each $i=1, \ldots, n$ and $j=1, \ldots, m$, let $c_{i, j} \in R$ be arbitrary. Then the real-valued function
$$
X=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m c_{i, j} X_i^{\prime} X_j^{\prime \prime}
$$
is called a simple function relative to $L^{\prime}, L^{\prime \prime}$. Let $L_0$ denote the set of simple functions on $\Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$. Two simple functions are said to be equal if they have the same domain and the same values on the common domain. In other words, equality in $L_0$ is the set-theoretic equality:
$$
I(X)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m c_{i, j} I^{\prime}\left(X_i^{\prime}\right) I^{\prime \prime}\left(X_j^{\prime \prime}\right)
$$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Random Variable
Definition 5.1.1. Probability space and r.v.’s. Henceforth, unless otherwise specified, $(\Omega, L, E)$ will denote a probability integration space, i.e., a complete integration space in which the constant function 1 is integrable with $E 1=1$. Then $(\Omega, L, E)$ will simply be called a probability space. The integration $E$ will be called an expectation, and the integral $E X$ of each $X \in L$ will be called the expected value of $X$.
A measurable function $X$ on $(\Omega, L, E)$ with values in a complete metric space $(S, d)$ is called a random variable, or r.v. for abbreviation. Two r.v.’s are considered equal if they have equal values on a full subset of $\Omega$. A real-valued measurable function $X$ on $(\Omega, L, E)$ is then called a real random variable, or r.r.v. for abbreviation. An integrable real-valued function $X$ is called an integrable real random variable, its integral $E X$ called its expected value.
A measurable set is sometimes called an event. It is then integrable because $1_A \leq 1$, and its measure $\mu(A)$ is called its probability and denoted by $P(A)$ or $P A$. The function $P$ on the set of measurable sets is called the probability function corresponding to the expectation $E$. Sometimes we will write $E(A)$ for $P(A)$. The set $\Omega$ is called the sample space, and a point $\omega \in \Omega$ is called a sample or an outcome. If an outcome $\omega$ belongs to an event $A$, the event $A$ is said to occur for $\omega$, and $\omega$ is said to realize $A$.
The terms “almost surely,” “almost sure,” and the abbreviation “a.s.” will stand for “almost everywhere” or its abbreviation “a.e.” Henceforth, unless otherwise specified, equality of r.v.’s and equality of events will mean a.s. equality, and the term “complement” for events will stand for “measure-theoretic complement.” If $X$ is an integrable r.r.v. and $A, B, \ldots$ are events, we will sometimes write $E(X ; A, B, \ldots)$ for $E X 1_{A B \ldots}$.
Let $X \in L$ be arbitrary. We will sometimes use the more suggestive notation
$$
\int E(d \omega) X(\omega) \equiv E X
$$
where $\omega$ is a dummy variable. For example, if $Y \in L \otimes L \otimes L$, we can define a function $Z \in L \otimes L$ by the formula
$$
Z\left(\omega_1, \omega_3\right) \equiv \int E\left(d \omega_2\right) Y\left(\omega_1, \omega_2, \omega_3\right) \equiv E Y\left(\omega_1, \cdot, \omega_3\right)
$$
for each $\left(\omega_1, \omega_3\right) \in \Omega^2$ for which the right-hand side is defined.
概率论代考
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Product Integration and Fubini’s Theorem
在本节中，让 $\left(\Omega^{\prime}, L^{\prime}, I^{\prime}\right)$ 和 $\left(\Omega^{\prime \prime}, L^{\prime \prime}, I^{\prime \prime}\right)$ 是两个任意但固定的完备积分空间。让 $\Omega \equiv \Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$ 表示产品集。我们将构建产品集成空间并将给定的集成空间嵌入其中。 定义和结果可以很容易地推广到两个以上的给定积分空间。
定义 4.10.1。函数的直接乘积。让 $X^{\prime}, X^{\prime \prime}$ 是任意成员 $L^{\prime}, L^{\prime \prime}$ ，分别。定义函数 $X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}: \Omega \rightarrow R$ 经过domain $\left(X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}\right) \equiv \operatorname{domain}\left(X^{\prime}\right) \times \operatorname{domain}\left(X^{\prime \prime}\right)$ 并通过 $\left(X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}\right)\left(\omega^{\prime}, \omega^{\prime \prime}\right) \equiv X^{\prime}\left(\omega^{\prime}\right) X^{\prime \prime}\left(\omega^{\prime \prime}\right)$ 每个 $\omega \in \Omega$. 功能 $X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}$ 然后称为函数的直 积 $X^{\prime}$ 和 $X^{\prime \prime}$. 当混淆的风险很低时，我们会写 $X^{\prime} \otimes X^{\prime \prime}$ 和 $X^{\prime} X^{\prime \prime}$ 可互换地。
定义 4.10.2。简单的功能。让 $n, m \geq 1$ 是任意的。让 $X_1^{\prime}, \ldots, X_n^{\prime} \in L^{\prime}$ 是相互排斥的 指标，让 $X_1^{\prime \prime}, \ldots, X_m^{\prime \prime} \in L^{\prime \prime}$ 互斥指标。对于每个 $i=1, \ldots, n$ 和 $j=1, \ldots, m$ ， 让 $c_{i, j} \in R$ 是任意的。那么实值函数
$$
X=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m c_{i, j} X_i^{\prime} X_j^{\prime \prime}
$$
被称为相对于的简单函数 $L^{\prime}, L^{\prime \prime}$. 让 $L_0$ 表示上的一组简单函数 $\Omega^{\prime} \times \Omega^{\prime \prime}$. 如果两个简单 函数具有相同的域并且在公共域上具有相同的值，则称它们相等。换句话说，平等 $L_0$ 是集合论等式:
$$
I(X)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m c_{i, j} I^{\prime}\left(X_i^{\prime}\right) I^{\prime \prime}\left(X_j^{\prime \prime}\right)
$$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Random Variable
定义 5.1.1。概率空间和 rv。此后，除非另有说明， $(\Omega, L, E)$ 将表示一个概率积分空 间，即一个完整的积分空间，其中常数函数 1 可与 $E 1=1$. 然后 $(\Omega, L, E)$ 将简称为概 率空间。一体化 $E$ 将被称为期望，积分 $E X$ 每个 $X \in L$ 将被称为期望值 $X$.
可测量的函数 $X$ 在 $(\Omega, L, E)$ 具有完整度量空间中的值 $(S, d)$ 称为随机变量，简称 $\mathrm{v}$ 。如 果两个 rv 在 $\Omega$. 实值可测函数 $X$ 在 $(\Omega, L, E)$ 则称为实随机变量，简称 $r v$ 。可积实值函 数 $X$ 称为可积实随机变量，其积分 $E X$ 称为它的期望值。
可测量的集合有时称为事件。那么它是可积的，因为 $1_A \leq 1$ ，及其测度 $\mu(A)$ 称为它的 概率并表示为 $P(A)$ 或者 $P A$. 功能 $P$ 在可测集的集合上称为期望对应的概率函数 $E$. 有时 我们会写 $E(A)$ 为了 $P(A)$. 套装 $\Omega$ 称为样本空间，一个点 $\omega \in \Omega$ 称为样本或结果。如果 一个结果 $\omega$ 属于一个事件 $A$ ， 事件 $A$ 据说发生在 $\omega$ ，和 $\omega$ 据说实现 $A$.
术语”几乎肯定”、”几乎肯定”和缩写”as”将代表“几乎无处不在”或其缩写“ae”从今以后， 除非另有说明，rv 的相等性和事件的相等将表示相等，并且事件的“补充”一词将代表 “测量理论补充”。如果 $X$ 是一个可积的 rv 并且 $A, B, \ldots$ 是事件，我们有时会写 $E(X ; A, B, \ldots)$ 为了 $E X 1_{A B \ldots}$.
让 $X \in L$ 是任意的。我们有时会使用更具暗示性的符号
$$
\int E(d \omega) X(\omega) \equiv E X
$$
在哪里 $\omega$ 是虚拟变量。例如，如果 $Y \in L \otimes L \otimes L$ ，我们可以定义一个函数 $Z \in L \otimes L$ 通过公式
$$
Z\left(\omega_1, \omega_3\right) \equiv \int E\left(d \omega_2\right) Y\left(\omega_1, \omega_2, \omega_3\right) \equiv E Y\left(\omega_1, \cdot, \omega_3\right)
$$
每个 $\left(\omega_1, \omega_3\right) \in \Omega^2$ 为此定义了右侧。
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