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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Probability Density Function and Distribution Function
In this section, we discuss two simple and useful methods to construct distributions on a locally compact metric space $(S, d)$. The first starts with one integration $I$ on $(S, d)$ in the sense of Definition 4.2 .1 , where the full set $S$ need not be integrable. Then, for each nonnegative integrable function $g$ with integral 1 , we can construct a distribution on $(S, d)$ using $g$ as a density function. A second method is for the special case where $(S, d)=(R, d)$ is the real line, equipped with the Euclidean metric. Let $F$ be an arbitrary distribution function on $R$, in the sense of Definition 4.1 .1 , such that $F(t) \rightarrow 0$ as $t \rightarrow-\infty$, and $F(t) \rightarrow 1$ as $t \rightarrow \infty$. Then the Riemann-Stieljes integral corresponding to $F$ constitutes a distribution on $(R, d)$.
Definition 5.4.1. Probability density function. Let $I$ be an integration on a locally compact metric space $(S, d)$ in the sense of Definition 4.2.1. Let $(S, \Lambda, I)$ denote the completion of the integration space $(S, C(S), I)$. Let $g \in \Lambda$ be an arbitrary nonnegative integrable function with $I g=1$. Define
$$
I_g f \equiv I g f
$$
for each $f \in C(S, d)$. According to the following lemmas, the function $I_g$ is a probability distribution on $(S, d)$, in the sense of Definition 5.2.1.
In such a case, $g$ will be called a probability density function, or $p . d . f$. for short, relative to the integration $I$, and the completion $\left(S, \Lambda_g, I_g\right)$ of $\left(S, C(S, d), I_g\right)$ will be called the probability space generated by the p.d.f. $g$.
Suppose, in addition, that $X$ is an arbitrary r.v. on some probability space $(\Omega, L, E)$ with values in $S$ such that $E_X=I_g$, where $E_X$ is the distribution induced on the metric space $(S, d)$ by the r.v. $X$, in the sense of Definition 5.2.3. Then the r.v. $X$ is said to have the p.d.f. $g$ relative to $I$.
Frequently used p.d.f.’s are defined on $(S, \Lambda, I) \equiv\left(R^n, \Lambda, \int \cdot d x\right)$, the $n$-dimensional Euclidean space equipped with the Lebesgue integral, and on $(S, \Lambda, I) \equiv({1,2, \ldots}, \Lambda, I)$ with the counting measure $I$ defined by $I f \equiv$ $\sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ for each $f \in C(S)$.
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Skorokhod Representation
In this section, let $(S, d)$ be a locally compact metric space with an arbitrary but fixed reference point $x_{\circ} \in S$. Let
$$
\left(\Theta_0, L_0, I\right) \equiv\left([0,1], L_0, \int \cdot d x\right)
$$
denote the Lebesgue integration space based on the unit interval $[0,1]$, and let $\mu$ be the corresponding Lebesgue measure. Then we will call $I$ the uniform distribution on $[0,1]$.
Given two distributions $E$ and $E^{\prime}$ on the locally compact metric space $(S, d)$, we saw in Proposition 5.2.5 that they are equal to the distributions induced by some $S$-valued r.v.’s $X$ and $X^{\prime}$, respectively. The underlying probability spaces on which $X$ and $X^{\prime}$ are defined can, in general, be different. Therefore functions of both $X$ and $X^{\prime}$, such as $d\left(X, X^{\prime}\right)$, and their associated probabilities are, up to this point, undefined. Additional conditions on joint probabilities are needed to construct one common probability space on which both $X$ and $X^{\prime}$ are defined.
One such condition is independence, to be made precise in a later section, where the observed value of $X$ has no effect whatsoever on the probabilities related to $X^{\prime}$.
In some other situations, it is desirable, instead, to have models where $X=X^{\prime}$ if $E=E^{\prime}$, and more generally where $d\left(X, X^{\prime}\right)$ is small when $E$ is close to $E^{\prime}$. In this section, we construct the Skorokhod representation, which, to each distribution $E$ on $S$, assigns a unique r.v. $X: \Theta_0 \rightarrow S$ that induces $E$. In the context of applications to random fields, theorem 3.1.1 of [Skorokhod 1956] introduced this representation and proves that it is continuous relative to weak convergence of $E$ and a.u. convergence of $X$. We will prove this result for applications in Chapter 6.
In addition, we will prove that, when restricted to a tight subset of distributions, the Skorokhod representation is uniformly continuous relative to the distribution metric $\rho_{D i s t, \xi}$ on the space of distributions $E$, and the metric $\rho_{P r o b}$ on the space of r.v.’s $X: \Theta_0 \rightarrow S$. The metrics $\rho_{\text {Dist }, \xi}$ and $\rho_{\text {Prob }}$ were introduced in Definition 5.3.4 and in Proposition 5.1.11, respectively.
The Skorokhod representation is a generalization of the quantile mapping, which to each P.D.F. $F$ assigns the r.r.v. $Y \equiv F^{-1}: \Theta_0 \rightarrow R$ on the probability space $\Theta_0$, where $Y$ can be shown to induce the P.D.F. $F$.
概率论代考
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Probability Density Function and Distribution Function
在本节中，我们将讨论在局部紧凑度量空间上构造分布的两种简单而有用的方法 $(S, d)$. 第一个从一个集成开始 $I$ 在 $(S, d)$ 在定义 4.2 .1 的意义上，完整的集合 $S$ 不必是可积的。 然后，对于每个非负可积函数 $g$ 使用积分 1 ，我们可以构造一个分布 $(S, d)$ 使用 $g$ 作为密 度函数。第二种方法适用于特殊情况 $(S, d)=(R, d)$ 是实线，配备欧几里得度量。让 $F$ 是一个任意分布函数 $R$, 在定义 4.1 .1 的意义上，使得 $F(t) \rightarrow 0$ 作为 $t \rightarrow-\infty$ ，和 $F(t) \rightarrow 1$ 作为 $t \rightarrow \infty$. 那么对应的黎曼-斯蒂尔耶斯积分 $F$ 构成分布 $(R, d)$.
定义 5.4.1。概率密度函数。让 $I$ 是局部紧度量空间上的积分 $(S, d)$ 在定义 4.2.1 的意义 上。让 $(S, \Lambda, I)$ 表示积分空间的完成 $(S, C(S), I)$. 让 $g \in \Lambda$ 是一个任意的非负可积函数 $I g=1$. 定义
$$
I_g f \equiv I g f
$$
每个 $f \in C(S, d)$. 根据以下引理，函数 $I_g$ 是概率分布 $(S, d)$ ， 在定义 5.2.1 的意义上。
在这种情况下， $g$ 将被称为概率密度函数，或 $p . d . f$. 简而言之，相对于集成 $I$ ，和完成 $\left(S, \Lambda_g, I_g\right)$ 的 $\left(S, C(S, d), I_g\right)$ 将称为 $\mathrm{pdf}$ 生成的概率空间 $g$.
此外，假设 $X$ 是某个概率空间上的任意 $\operatorname{rv}(\Omega, L, E)$ 值在 $S$ 这样 $E_X=I_g$ ， 在哪里 $E_X$ 是度量空间上的分布 $(S, d)$ 由房车 $X$, 在定义 5.2.3 的意义上。然后房车 $X$ 据说有 $\mathrm{pdf} g$ 关 系到 $I$.
经常使用的 pdf 定义在 $(S, \Lambda, I) \equiv\left(R^n, \Lambda, \int \cdot d x\right)$ ， 这 $n$ 维欧几里德空间配备了勒贝 格积分，等等 $(S, \Lambda, I) \equiv(1,2, \ldots, \Lambda, I)$ 与计数措施 $I$ 被定义为 $I f \equiv \sum_{n=1}^{\infty} f(n)$ 每个 $f \in C(S)$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Skorokhod Representation
在本节中，让 $(S, d)$ 是具有任意但固定参考点的局部紧凑度量空间 $x_0 \in S$. 让
$$
\left(\Theta_0, L_0, I\right) \equiv\left([0,1], L_0, \int \cdot d x\right)
$$
表示基于单位区间的勒贝格积分空间 $[0,1]$ ，然后让 $\mu$ 是相应的勒贝格测度。然后我们 会打电话 $I$ 上的均匀分布 $[0,1]$.
给定两个分布 $E$ 和 $E^{\prime}$ 在局部紧度量空间 $(S, d)$ ，我们在命题 5.2.5 中看到它们等于由一 些 $S$ – 有价值的房车 $X$ 和 $X^{\prime}$ ， 分别。潜在的概率空间 $X$ 和 $X^{\prime}$ 通常，被定义的可以是不 同的。因此两者的功能 $X$ 和 $X^{\prime}$ ， 例如 $d\left(X, X^{\prime}\right)$ ，到目前为止，它们的相关概率是末定 义的。需要关于联合概率的附加条件来构建一个公共概率空间，在该空间上两者 $X$ 和 $X^{\prime}$ 被定义。
一个这样的条件是独立性，将在后面的部分中进行精确说明，其中观察到的值 $X$ 对相关 的概率没有任何影响 $X^{\prime}$.
相反，在其他一些情况下，最好有模型 $X=X^{\prime}$ 如果 $E=E^{\prime}$ ，更一般地，在哪里 $d\left(X, X^{\prime}\right)$ 小的时候 $E$ 接近 $E^{\prime}$. 在本节中，我们构建了 Skorokhod 表示，它对每个分布 $E$ 在 $S$ ， 分配一个唯一的房车 $X: \Theta_0 \rightarrow S$ 导致 $E$. 在随机场应用的背景下， [Skorokhod 1956] 的定理 3.1.1 引入了这种表示，并证明它相对于弱收敛是连续的 $E$ 和 au 收敛 $X$. 我们将在第 6 章的应用中证明这个结果。
此外，我们将证明，当限制在分布的紧子集时，Skorokhod 表示相对于分布度量是一致 连续的 $\rho_{D i s t, \xi}$ 关于分布空间 $E$, 和度量 $\rho_{P r o b}$ 在房车的空间 $X: \Theta_0 \rightarrow S$. 指标 $\rho_{\text {Dist , }}$ 和 $\rho_{\text {Prob }}$ 分别在定义 5.3.4 和命题 5.1.11 中引入。
Skorokhod 表示是分位数映射的推广，它对每个 PDF $F^{\text {分配 } r v} Y \equiv F^{-1}: \Theta_0 \rightarrow R$ 在 概率空间 $\Theta_0$ ， 在哪里 $Y$ 可以显示诱导 PDF $F$.
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