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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|The Erlang Loss Model
This model is one of the most important models from queueing theory. It can be described as follows. Consider a multiserver model where customer arrivals follow a Poisson process with arrival rate $\lambda$. The service station has no waiting room. There are $c$ identical servers, where $c \geq 1$. An arriving customer who finds all servers busy leaves and has no influence on the system. A customer who arrives when not all servers are busy is immediately served by one of the free servers. The customers’ service times are independent of one another and have a common exponential distribution with expected value $1 / \mu$. An important performance measure for the model is the fraction of customers whose demand is lost. This queueing model is called the Erlang loss model (or the $M / G / c / c$ queue) and was first considered by the Danish engineer A. K. Erlang in the early years of telephony (early 20th century). The Erlang distribution is also named after him. In Erlang’s situation, the service station was a telephone exchange with $c$ telephone lines (the servers), where a new incoming call (the customer) was lost if all lines were busy. Although the Erlang loss model is relatively old, it is still current and even now still has applications to various problems (see also the exercises).
To analyze the Erlang loss model, we define
$$
X(t)=\text { number of busy servers at time } t .
$$
The stochastic process ${X(t), t \geq 0}$ is a continuous-time Markov chain with state space $I={0,1, \ldots, c}$. The transition rate diagram is given in Figure 8.6.
The transition rate $q_{i, i-1}=i \mu$ requires some explanation. Suppose that at a given time $t$, the process is in state $i$. The probability that the process transitions to state $i-1$ during the coming interval $(t, t+\Delta t)$ is equal to the probability that one of the $i$ busy servers finishes during the interval $(t, t+\Delta t)$. For $\ell=1, \ldots, i$, define $A_{\ell}$ as the event that the $\ell$ th server finishes during the coming interval $(t, t+\Delta t)$. Based on the failure rate representation of the exponential distribution, we have $\mathbb{P}\left(A_{\ell}\right)=\mu \Delta t+o(\Delta t)$ for $\ell=1, \ldots, i$. The probability that two or more servers finish during the interval $(t, t+\Delta t)$ is of order $(\Delta t)^2$ and therefore $o(\Delta t)$. This gives
$$
\mathbb{P}\left(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_i\right)=\sum_{\ell=1}^i \mathbb{P}\left(A_{\ell}\right)+o(\Delta t)=i \mu \Delta t+o(\Delta t),
$$
that is, $q_{i, i-1}=i \mu$.
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Recursive Calculation of the Equilibrium Probabilities
In both the single-server queue and the Erlang loss model, it is possible to calculate the equilibrium probabilities recursively. This is no coincidence. In general, for a continuous-time Markov chain, the equilibrium distribution can be calculated recursively if the state space $I$ is given by $I={0,1, \ldots, N}$ for some $N \leq \infty$ and if for every $i \in I$, the transition rates $q_{i j}$ satisfy
$$
q_{i j}=0 \quad \text { for } j \leq i-2
$$
In the continuous-time Markov chain formulation of many queueing systems, these conditions hold. Here is a probabilistic derivation of the recursive relation for the equilibrium probabilities. For every subset $A$ of states with $A \neq I$, the long-run average number of transitions per unit of time from inside $A$ to outside $A$ is equal to the average number of transitions per unit of time from outside $A$ to inside $A$. In other words,
rate out of $A=$ rate into $A$.
Now, choose $A$ well, namely equal to $A={i, i+1, \ldots, N}$ for a fixed $i$ with $i \neq 0$ so that $A \neq I$. The process can only leave the set of states $A$ through state $i$, which happens at a rate of $q_{i, i-1}$. From a state $k \notin A$, the process is pulled into the set of states $A$ at a rate of $\sum_{\ell \geq i} q_{k \ell}$. This therefore leads to the recursive relation
$$
\pi_i q_{i, i-1}=\sum_{k=0}^{i-1} \pi_k\left(\sum_{\ell \geq i} q_{k \ell}\right) \quad \text { for } i=1,2, \ldots, N .
$$
Because the balance equations uniquely determine the equilibrium probabilities up to a multiplicative constant, we can formulate the following simple algorithm:
Algorithm 8.1.
Step 1. Let $\bar{\pi}0:=1$. Step 2. Successively calculate $\bar{\pi}_1, \bar{\pi}_2, \ldots, \bar{\pi}_N$ from the recursive relation (8.13). Step 3. Normalize by setting $\pi_i:=\bar{\pi}_i /\left(\sum{k=0}^N \bar{\pi}_k\right)$ for $i=0,1, \ldots, N$.
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|The Erlang Loss Model
该模型是排队论中最重要的模型之一。可以描述如下。考虑一个多服务器模型，其中客 户到达遵循具有到达率的泊松过程 $\lambda$. 服务站没有等候室。有 $c$ 相同的服务器，其中 $c \geq 1$. 发现所有服务器都忙的到达客户离开并且对系统没有影响。当并非所有服务器都 忙时到达的客户将立即由其中一台免费服务器提供服务。客户的服务时间相互独立，服 从具有期望值的公共指数分布 $1 / \mu$. 该模型的一个重要性能指标是失去需求的客户比 例。这种排队模型称为 Erlang 损失模型（或 $M / G / c / c$ 队列) ，丹麦工程师 AK Erlang 在电话技术的早期 (20 世纪初) 首先考虑了这一点。Erlang 发行版也以他的名字命 名。在 Erlang 的情况下，服务站是电话交换机 $c$ 电话线 (服务器)，如果所有线路都 忙，新的来电 (客户) 就会丟失。尽管 Erlang 损失模型相对较旧，但它仍然是最新 的，甚至现在仍然适用于各种问题（另请参见练习）。 为了分析 Erlang 损失模型，我们定义
$$
X(t)=\text { number of busy servers at time } t
$$
随机过程 $X(t), t \geq 0$ 是具有状态空间的连续时间马尔可夫链 $I=0,1, \ldots, c$. 转换率图 如图 8.6 所小。
转换率 $q_{i, i-1}=i \mu$ 需要一些解释。假设在给定时间 $t$ ，进程处于状态 $i$. 进程转换到状态 的概率 $i-1$ 在接下来的时间里 $(t, t+\Delta t)$ 等于其中之一的概率 $i$ 繁忙的服务器在间隔期 间完成 $(t, t+\Delta t)$. 为了 $\ell=1, \ldots, i$ ， 定义 $A_{\ell}$ 作为事件 $\ell$ 第一个服务器在即将到来的 时间间隔内完成 $(t, t+\Delta t)$. 基于指数分布的故障率表示，我们有 $\mathbb{P}\left(A_{\ell}\right)=\mu \Delta t+o(\Delta t)$ 为了 $\ell=1, \ldots, i$. 两个或多个服务器在间隔期间完成的概率 $(t, t+\Delta t)$ 是有序的 $(\Delta t)^2$ 因此 $o(\Delta t)$. 这给
$$
\mathbb{P}\left(A_1 \cup A_2 \cup \ldots \cup A_i\right)=\sum_{\ell=1}^i \mathbb{P}\left(A_{\ell}\right)+o(\Delta t)=i \mu \Delta t+o(\Delta t),
$$那是， $q_{i, i-1}=i \mu$.
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Recursive Calculation of the Equilibrium Probabilities
在单服务器队列和 Erlang 损失模型中，可以递归地计算均衡概率。这并非巧合。通 常，对于连续时间马尔可夫链，如果状态空间 $I$ 是 (谁) 给的 $I=0,1, \ldots, N$ 对于一些 $N \leq \infty$ 如果对于每个 $i \in I$, 转换率 $q_{i j}$ 满足
$$
q_{i j}=0 \quad \text { for } j \leq i-2
$$
在许多排队系统的连续时间马尔可夫链公式中，这些条件成立。这是平衡概率的递归关 系的概率推导。对于每个子集 $A$ 州与 $A \neq I$ ，从内部每单位时间的长期平均转换次数 $A$ 到外面 $A$ 等于每单位时间来自外部的平均转换次数 $A$ 到里面 $A$. 换句话说，
率出 $A=$ 率成 $A$.
现在，选译 $A$ 嗯，即等于 $A=i, i+1, \ldots, N$ 对于一个固定的柇 $i \neq 0$ 以便 $A \neq I$. 进 程只能离开状态集 $A$ 通过状态 $i$, 这发生在 $q_{i, i-1}$. 来自一个州 $k \notin A$ ，进程被拉入状态集 $A 以 \sum_{\ell \geq i} q_{k \ell}$. 因此，这导致递归关系
$$
\pi_i q_{i, i-1}=\sum_{k=0}^{i-1} \pi_k\left(\sum_{\ell \geq i} q_{k \ell}\right) \quad \text { for } i=1,2, \ldots, N .
$$
因为平衡方程唯一地确定了乘法常数的平衡概率，所以我们可以制定以下简单算法:
算法 8.1。
步骤 1. 让 $\bar{\pi} 0:=1$. Step 2. 依次计算 $\overline{1}_1, \bar{\pi}_2, \ldots, \bar{\pi}_N$ 从递归关系 (8.13) 。步骤 3 . 通过 设置归一化 $\pi_i:=\bar{\pi}_i /\left(\sum k=0^N \bar{\pi}_k\right)$ 为了 $i=0,1, \ldots, N$.
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