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When studying a statistical model, it is often useful to try to understand the model that contains a constant but no nontrivial predictors, then try to understand the model with a constant and one nontrivial predictor, then the model with a constant and two nontrivial predictors, and then the general model with many predictors. In this text, most of the models are such that $Y$ is independent of $\boldsymbol{x}$ given $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}$, written
$$
Y \Perp \boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta} .
$$
Then $w_i=\boldsymbol{x}_i^T \hat{\boldsymbol{\beta}}$ is a scalar, and trying to understand the model in terms of $\boldsymbol{x}_i^T \hat{\boldsymbol{\beta}}$ is about as easy as trying to understand the model in terms of one nontrivial predictor. In particular, the response plot of $\boldsymbol{x}_i^T \hat{\boldsymbol{\beta}}$ versus $Y_i$ is essential.

For MLR, the two main benefits of studying the MLR model with one nontrivial predictor $X$ are that the data can be plotted in a scatterplot of $X_i$ versus $Y_i$ and that the OLS estimators can be computed by hand with the aid of a calculator if $n$ is small.

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Simple Linear Regression

The simple linear regression (SLR) model is
$$
Y_i=\beta_1+\beta_2 X_i+e_i=\alpha+\beta X_i+e_i
$$
where the $e_i$ are iid with $E\left(e_i\right)=0$ and $\operatorname{VAR}\left(e_i\right)=\sigma^2$ for $i=1, \ldots, n$. The $Y_i$ and $e_i$ are random variables while the $X_i$ are treated as known constants. The parameters $\beta_1, \beta_2$, and $\sigma^2$ are unknown constants that need to be estimated. (If the $X_i$ are random variables, then the model is conditional on the $X_i$ ‘s provided that the errors $e_i$ are independent of the $X_i$. Hence the $X_i$ ‘s are still treated as constants.)

The SLR model is a special case of the MLR model with $p=2, x_{i, 1} \equiv 1$, and $x_{i, 2}=X_i$. The normal SLR model adds the assumption that the $e_i$ are iid $\mathrm{N}\left(0, \sigma^2\right)$. That is, the error distribution is normal with zero mean and constant variance $\sigma^2$. The response variable $Y$ is the variable that you want to predict while the predictor variable $X$ is the variable used to predict the response. For SLR, $E\left(Y_i\right)=\beta_1+\beta_2 X_i$ and the line $E(Y)=\beta_1+\beta_2 X$ is the regression function. $\operatorname{VAR}\left(Y_i\right)=\sigma^2$.

For SLR, the least squares estimators $\hat{\beta}1$ and $\hat{\beta}_2$ minimize the least squares criterion $Q\left(\eta_1, \eta_2\right)=\sum{i=1}^n\left(Y_i-\eta_1-\eta_2 X_i\right)^2$. For a fixed $\eta_1$ and $\eta_2$, $Q$ is the sum of the squared vertical deviations from the line $Y=\eta_1+\eta_2 X$. The least squares (OLS) line is $\hat{Y}=\hat{\beta}1+\hat{\beta}_2 X$ where the slope $$ \hat{\beta}_2 \equiv \hat{\beta}=\frac{\sum{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)\left(Y_i-\bar{Y}\right)}{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2}
$$
and the intercept $\hat{\beta}1 \equiv \hat{\alpha}=\bar{Y}-\hat{\beta}_2 \bar{X}$. By the chain rule, $$ \frac{\partial Q}{\partial \eta_1}=-2 \sum{i=1}^n\left(Y_i-\eta_1-\eta_2 X_i\right)
$$

线性回归代考

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在研究统计模型时,尝试理解包含一个常数但不包含非平凡预测变量的模型,然后尝试 理解包含一个常数和一个非平凡预测变量的模型,然后是包含一个常数和两个非平凡预 测变量的模型,通常很有用,然后是具有许多预测变量的通用模型。在本文中,大多数 模型都是这样的 $Y$ 独立于 $\boldsymbol{x}$ 给予 $\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}$ ,写
$$
Y \backslash \operatorname{Perp} \boldsymbol{x} \mid \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{\beta}
$$
然后 $w_i=\boldsymbol{x}_i^T \hat{\boldsymbol{\beta}}$ 是一个标量,并试图从以下方面理解模型 $\boldsymbol{x}_i^T \hat{\boldsymbol{\beta}}$ 就像尝试根据一个非平 凡的预测变量来理解模型一样简单。特别是,响应图 $\boldsymbol{x}_i^T \hat{\boldsymbol{\beta}}$ 相对 $Y_i$ 是必不可少的。
对于 MLR,使用一个非平凡预测变量研究 MLR 模型的两个主要好处 $X$ 是数据可以绘制 成散点图 $X_i$ 相对 $Y_i$ 如果满足以下条件,则可以借助计算器手动计算 OLS 估计量 $n$ 是 小。

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简单线性回归 (SLR) 模型是
$$
Y_i=\beta_1+\beta_2 X_i+e_i=\alpha+\beta X_i+e_i
$$
在哪里 $e_i$ 与 $E\left(e_i\right)=0$ 和 $\operatorname{VAR}\left(e_i\right)=\sigma^2$ 为了 $i=1, \ldots, n$. 这 $Y_i$ 和 $e_i$ 是随机变量,而 $X_i$ 被视为已知常数。参数 $\beta_1, \beta_2$ ,和 $\sigma^2$ 是需要估计的末知常数。(如果 $X_i$ 是随机变 量,则模型以 $X_i$ 的前提是错误 $e_i$ 独立于 $X_i$. 因此 $X_i$ 仍然被视为常量。)

SLR 模型是 MLR 模型的特例 $p=2, x_{i, 1} \equiv 1$ , 和 $x_{i, 2}=X_i$. 正常的 SLR 模型添加了以 下假设 $e_i$ 是同龄人 $N\left(0, \sigma^2\right)$. 也就是说,误差分布是均值为零且方差恒定的正态分布 $\sigma^2$ . 响应变量 $Y$ 是您要预测的变量,而预测变量 $X$ 是用于预测响应的变量。对于单反, $E\left(Y_i\right)=\beta_1+\beta_2 X_i$ 和线 $E(Y)=\beta_1+\beta_2 X$ 是回归函数。 $\operatorname{VAR}\left(Y_i\right)=\sigma^2$.
对于 SLR,最小二乘估计量 $\hat{\beta} 1$ 和 $\hat{\beta}2$ 最小化最小二乘准则 $Q\left(\eta_1, \eta_2\right)=\sum i=1^n\left(Y_i-\eta_1-\eta_2 X_i\right)^2$. 对于一个固定的 $\eta_1$ 和 $\eta_2 , Q$ 是直线垂直偏 差的平方和 $Y=\eta_1+\eta_2 X$. 最小二乘 $(O L S)$ 线是 $\hat{Y}=\hat{\beta} 1+\hat{\beta}_2 X$ 斜坡在哪里 $$ \hat{\beta}_2 \equiv \hat{\beta}=\frac{\sum i=1^n\left(X_i-\bar{X}\right)\left(Y_i-\bar{Y}\right)}{\sum{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2}
$$
和拦截 $\hat{\beta} 1 \equiv \hat{\alpha}=\bar{Y}-\hat{\beta}_2 \bar{X}$. 根据链式法则,
$$
\frac{\partial Q}{\partial \eta_1}=-2 \sum i=1^n\left(Y_i-\eta_1-\eta_2 X_i\right)
$$

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