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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|The No Intercept MLR Model

The no intercept $M L R$ model, also known as regression through the origin, is still $\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{e}$, but there is no intercept in the model, so $\boldsymbol{X}$ does not contain a column of ones $\mathbf{1}$. Hence the intercept term $\beta_1=\beta_1(1)$ is replaced by $\beta_1 x_{i 1}$. Software gives output for this model if the “no intercept” or “intercept $=F$ ” option is selected. For the no intercept model, the assumption $E(\boldsymbol{e})=\mathbf{0}$ is important, and this assumption is rather strong.

Many of the usual MLR results still hold: $\widehat{\boldsymbol{\beta}}{O L S}=\left(\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{Y}$, the vector of predicted fitted values $\widehat{\boldsymbol{Y}}=\boldsymbol{X} \hat{\boldsymbol{\beta}}{O L S}=\boldsymbol{H} \boldsymbol{Y}$ where the hat matrix $\boldsymbol{H}=\boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^T$ provided the inverse exists, and the vector of residuals is $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{Y}-\widehat{\boldsymbol{Y}}$. The response plot and residual plot are made in the same way and should be made before performing inference.

The main difference in the output is the ANOVA table. The ANOVA $F$ test in Section 2.4 tests $H o: \beta_2=\cdots=\beta_p=0$. The test in this section tests $H o: \beta_1=\cdots=\beta_p=0 \equiv H_o: \boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}$. The following definition and test follows Guttman (1982, p. 147) closely.

Definition 2.25. Assume that $\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+e$ where the $e_i$ are iid. Assume that it is desired to test $H o: \boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}$ versus $H_A: \boldsymbol{\beta} \neq \mathbf{0}$.
a) The uncorrected total sum of squares
$$
S S T=\sum_{i=1}^n Y_i^2 .
$$
b) The model sum of squares
$$
S S M=\sum_{i=1}^n \hat{Y}i^2 . $$ c) The residual sum of squares or error sum of squares is $$ S S E=\sum{i=1}^n\left(Y_i-\hat{Y}i\right)^2=\sum{i=1}^n r_i^2 .
$$

统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Lack of Fit Tests

Then $M S P E=S S P E /(n-c)$ is an unbiased estimator of $\sigma^2$ when model (2.29) holds, regardless of the form of $m$. The PE in SSPE stands for “pure error.”

Now $S S L F=S S E-S S P E=\sum_{j=1}^c n_j\left(\bar{Y}_j-\hat{Y}_j\right)^2$. Notice that $\bar{Y}_j$ is an unbiased estimator of $m\left(\boldsymbol{x}_j\right)$ while $\hat{Y}_j$ is an estimator of $m$ if the MLR model is appropriate: $m\left(\boldsymbol{x}_j\right)=\boldsymbol{x}_j^T \boldsymbol{\beta}$. Hence SSLF and MSLF can be very large if the MLR model is not appropriate.

The 4 step lack of fit test is i) Ho: no evidence of MLR lack of fit, $H_A$ : there is lack of fit for the MLR model.
ii) $F_{L F}=M S L F / M S P E$.
iii) The pval $=P\left(F_{c-p, n-c}>F_{L F}\right)$.
iv) Reject Ho if pval $\leq \delta$ and state the $H_A$ claim that there is lack of fit. Otherwise, fail to reject Ho and state that there is not enough evidence to conclude that there is MLR lack of fit.

Although the lack of fit test seems clever, examining the response plot and residual plot is a much more effective method for examining whether or not the MLR model fits the data well provided that $n \geq 10 p$. A graphical version of the lack of fit test would compute the $\bar{Y}_j$ and see whether they scatter about the identity line in the response plot. When there are no replicates, the range of $\hat{Y}$ could be divided into several narrow nonoverlapping intervals called slices. Then the mean $\bar{Y}_j$ of each slice could be computed and a step function with step height $\bar{Y}_j$ at the $j$ th slice could be plotted. If the step function follows the identity line, then there is no evidence of lack of fit. However, it is easier to check whether the $Y_i$ are scattered about the identity line. Examining the residual plot is useful because it magnifies deviations from the identity line that may be difficult to see until the linear trend is removed. The lack of fit test may be sensitive to the assumption that the errors are iid $N\left(0, \sigma^2\right)$.

线性回归代考

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无拦截 $M L R$ 模型,也称为通过原点的回归,仍然是 $\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{e}$ ,但模型中没有截 距,所以 $\boldsymbol{X}$ 不包含一列 $\mathbf{1}$. 因此截距项 $\beta_1=\beta_1(1)$ 被替换为 $\beta_1 x_{i 1}$. 如果“无拦截”或“拦 截”,软件会为该模型提供输出 $=F^{\prime \prime}$ 选项被选中。对于无拦截模型,假设 $E(\boldsymbol{e})=\mathbf{0}$ 很 重要,而且这个假设相当强。
许多常见的 MLR 结果仍然成立: $\widehat{\boldsymbol{\beta}} O L S=\left(\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^T \boldsymbol{Y}$, 预测拟合值的向量 $\widehat{\boldsymbol{Y}}=\boldsymbol{X} \hat{\boldsymbol{\beta}} O L S=\boldsymbol{H} \boldsymbol{Y}$ 帽子矩阵在哪里 $\boldsymbol{H}=\boldsymbol{X}\left(\boldsymbol{X}^T \boldsymbol{X}\right)^{-1} \boldsymbol{X}^T$ 假设逆存在,残差向 量是 $\boldsymbol{r}=\boldsymbol{Y}-\widehat{\boldsymbol{Y}}$. 响应图和残差图的制作方法相同,应该在进行推理之前制作。
输出的主要区别在于方差分析表。方差分析 $F 2.4$ 节测试中的测试
$H o: \beta_2=\cdots=\beta_p=0$. 本节测试测试 $H o: \beta_1=\cdots=\beta_p=0 \equiv H_o: \boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}$. 以 下定义和测试紧跟 Guttman (1982, p. 147)。
定义 2.25。假使,假设 $\boldsymbol{Y}=\boldsymbol{X} \boldsymbol{\beta}+e$ 在哪里 $e_i$ 是同源的。假设需要测试 $H o: \boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}$ 相 对 $H_A: \boldsymbol{\beta} \neq \mathbf{0}$.
a) 末修正的总平方和
$$
S S T=\sum_{i=1}^n Y_i^2
$$
b) 模型平方和
$$
S S M=\sum_{i=1}^n \hat{Y} i^2
$$
c) 残差平方和或误差平方和为
$$
S S E=\sum i=1^n\left(Y_i-\hat{Y} i\right)^2=\sum i=1^n r_i^2
$$

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然后 $M S P E=S S P E /(n-c)$ 是一个无偏估计量 $\sigma^2$ 当模型 (2.29) 成立时,无论形式 如何 $m$. SSPE 中的 PE 代表“纯错误”。
现在 $S S L F=S S E-S S P E=\sum_{j=1}^c n_j\left(\bar{Y}j-\hat{Y}_j\right)^2$. 请注意 $\bar{Y}_j$ 是一个无偏估计 量 $m\left(\boldsymbol{x}_j\right)$ 尽管 $\hat{Y}_j$ 是一个估计量 $m$ 如果 MLR 模型合适: $m\left(\boldsymbol{x}_j\right)=\boldsymbol{x}_j^T \boldsymbol{\beta}$. 因此,如果 $M L R$ 模型不合适,SSLF 和 MSLF 可能会非常大。 4 步失拟测试是 i) Ho:没有 MLR 失拟的证据, $H_A$ :不适合 MLR 模型。 二) $F{L F}=M S L F / M S P E$.
iii) $\mathrm{pval}=P\left(F_{c-p, n-c}>F_{L F}\right)$.
iv) 如果 pval 则拒绝 $H 0 \leq \delta$ 并说明 $H_A$ 声称不合适。否则,不佢绝 Ho 并声明没有足够 的证据得出 MLR 失拟的结论。
尽管缺乏拟合检验看起来很聪明,但检查响应图和残差图是检查 MLR 模型是否很好地 拟合数据的更有效方法, 前提是 $n \geq 10 p$. 失拟检验的图形版本将计算 $\bar{Y}_j$ 并查看它们是 否散布在响应图中的标识线附近。当没有重复时,范围 $\hat{Y}$ 可以分成几个窄的不重呾的间 隔,称为切片。然后是平均值 $\bar{Y}_j$ 可以计算每个切片的和具有阶跃高度的阶跃函数 $\bar{Y}_j$ 在 $j$ 可以绘制第切片。如果阶跃函数遵循恒等线,则没有失拟的证据。但是,更容易检查是 否 $Y_i$ 散落在身份线上。检查残差图很有用,因为它放大了与标呮线的偏差,在删除线性 趋势之前可能很难看到这些偏差。失拟检验可能对错误是独立同分布的假设很敏感 $N\left(0, \sigma^2\right)$

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