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统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Building an MLR Model
Building a multiple linear regression (MLR) model from data is one of the most challenging regression problems. The “final full model” will have response variable $Y=t(Z)$, a constant $x_1$, and predictor variables $x_2=$ $t_2\left(w_2, \ldots, w_r\right), \ldots, x_p=t_p\left(w_2, \ldots, w_r\right)$ where the initial data consists of $Z, w_2, \ldots, w_r$. Choosing $t, t_2, \ldots, t_p$ so that the final full model is a useful MLR approximation to the data can be difficult.
Model building is an iterative process. Given the problem and data but no model, the model building process can often be aided by graphs that help visualize the relationships between the different variables in the data. Then a statistical model can be proposed. This model can be fit and inference performed. Then diagnostics from the fit can be used to check the assumptions of the model. If the assumptions are not met, then an alternative model can be selected. The fit from the new model is obtained, and the cycle is repeated. This chapter provides some tools for building a good full model.
Warning: Researchers often have a single data set and tend to expect statistics to provide far more information from the single data set than is reasonable. MLR is an extremely useful tool, but MLR is at its best when the final full model is known before collecting and examining the data. However, it is very common for researchers to build their final full model by using the iterative process until the final model “fits the data well.” Researchers should not expect that all or even many of their research questions can be answered from such a full model. If the final MLR full model is built from a single data set in order to fit that data set well, then typically inference from that model will not be valid. The model may be useful for describing the data, but may perform very poorly for prediction of a future response. The model may suggest that some predictors are much more important than others, but a model that is chosen prior to collecting and examining the data is generally much more useful for prediction and inference. A single data set is a great place to start an analysis, but can be a terrible way to end the analysis.
统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Predictor Transformations
As a general rule, inferring about the distribution of $Y \mid \boldsymbol{X}$ from a lower dimensional plot should be avoided when there are strong nonlinearities among the predictors.
Cook and Weisberg (1999b, p. 34)
Predictor transformations are used to remove gross nonlinearities in the predictors, and this technique is often very useful. Power transformations are particularly effective, and the techniques of this section are often useful for general regression problems, not just for multiple linear regression. A power transformation has the form $x=t_\lambda(w)=w^\lambda$ for $\lambda \neq 0$ and $x=t_0(w)=$ $\log (w)$ for $\lambda=0$. Often $\lambda \in \Lambda_L$ where
$$
\Lambda_L={-1,-1 / 2,-1 / 3,0,1 / 3,1 / 2,1}
$$
is called the ladder of powers. Often when a power transformation is needed, a transformation that goes “down the ladder,” e.g. from $\lambda=1$ to $\lambda=0$ will be useful. If the transformation goes too far down the ladder, e.g. if $\lambda=0$ is selected when $\lambda=1 / 2$ is needed, then it will be necessary to go back “up the ladder.” Additional powers such as \pm 2 and \pm 3 can always be added.
Definition 3.1. A scatterplot of $x$ versus $Y$ is used to visualize the conditional distribution of $Y \mid x$. A scatterplot matrix is an array of scatterplots. It is used to examine the marginal relationships of the predictors and response.
In this section we will only make a scatterplot matrix of the predictors. Often nine or ten variables can be placed in a scatterplot matrix. The names of the variables appear on the diagonal of the scatterplot matrix. The software Arc gives two numbers, the minimum and maximum of the variable, along with the name of the variable. The $R$ software labels the values of each variable in two places, see Example 3.2 below. Let one of the variables be $W$. All of the marginal plots above and below $W$ have $W$ on the horizontal axis. All of the marginal plots to the left and the right of $W$ have $W$ on the vertical axis.
线性回归代考
统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Building an MLR Model
从数据构建多元线性回归 (MLR) 模型是最具挑战性的回归问题之一。”最终完整模型”将 具有响应变量 $Y=t(Z)$, 一个常数 $x_1$ 和预测变量 $x_2=$
$t_2\left(w_2, \ldots, w_r\right), \ldots, x_p=t_p\left(w_2, \ldots, w_r\right)$ 其中初始数据包括 $Z, w_2, \ldots, w_r$. 选择 $t, t_2, \ldots, t_p$ 因此，最终的完整模型是对数据有用的 MLR 近似值可能很困难。
模型构建是一个迭代过程。给定问题和数据但没有模型，模型构建过程通常可以借助有 助于可视化数据中不同变量之间关系的图表。然后可以提出一个统计模型。该模型可以 拟合并执行推理。然后可以使用拟合诊断来检查模型的假设。如果不满足假设，则可以 选择替代模型。获得新模型的拟合，并重复循环。本章提供了一些用于构建良好完整模 型的工具。
警告: 研究人员通常只有一个数据集，并且倾向于期望统计数据从单个数据集中提供比 合理更多的信息。MLR 是一个非常有用的工具，但是当在收集和检查数据之前已知最 终的完整模型时，MLR 处于最佳状态。然而，研究人员通常会使用迭代过程来构建最 终的完整模型，直到最终模型“很好地拟合数据“研究人员不应期望他们的所有甚至许 多研究问题都可以从这样一个完整的模型中得到解答。如果最终的 MLR 完整模型是从 单个数据集构建的以便很好地拟合该数据集，那么通常从该模型进行的推断将无效。该 模型对于描述数据可能很有用，但对于预测末来响应可能表现很差。该模型可能表明某 些预测变量比其他预测变量重要得多，但在收集和检查数据之前选择的模型通常对预测 和推理更有用。单个数据集是开始分析的好地方，但可能是结束分析的糟糕方式。
统计代写|线性回归分析代写linear regression analysis代考|Predictor Transformations
作为一般规则，推断分布 $Y \mid \boldsymbol{X}$ 当预测变量之间存在很强的非线性时，应避免使用较低 维度的图。
Cook 和 Weisberg (1999b, p. 34)
预测器变换用于消除预测器中的总非线性，这种技术通常非常有用。幂变换特别有效， 本节的技术通常对一般回归问题很有用，而不仅仅是多元线性回归。幂变换具有以下形 式 $x=t_\lambda(w)=w^\lambda$ 为了 $\lambda \neq 0$ 和 $x=t_0(w)=\log (w)$ 为了 $\lambda=0$. 经常 $\lambda \in \Lambda_L$ 在哪 里
$$
\Lambda_L=-1,-1 / 2,-1 / 3,0,1 / 3,1 / 2,1
$$
被称为权力的阶梯。通常，当需要进行电源转换时，转换会”顺着阶梯”进行，例如从 $\lambda=1$ 到 $\lambda=0$ 会有用的。如果转换在阶梯上走得太远，例如，如果 $\lambda=0$ 被选中时 $\lambda=1 / 2$ 是需要的，那么就有必要回到“梯子上”。可以随时添加其他幂，例如 $\backslash \mathrm{pm} 2$ 和 Ipm 3 。
定义 3.1。的散点图 $x$ 相对 $Y$ 用于可视化条件分布 $Y \mid x$. 散点图矩阵是散点图的数组。它 用于检查预测变量和响应的边际关系。
在本节中，我们只会制作预测变量的散点图矩阵。通常可以将九个或十个变量放在一个 散点图矩阵中。变量的名称出现在散点图矩阵的对角线上。Arc 软件给出两个数字，即 变量的最小值和最大值，以及变量的名称。这 $R$ 软件在两个地方标记每个变量的值，请 参见下面的示例 3.2。设其中一个变量为 $W$. 上方和下方的所有边缘地块 $W$ 有 $W$ 在水平 轴上。左边和右边的所有边缘地块 $W$ 有 $W$ 在垂直轴上。
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