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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Spectrum of a Matrix

Definition 33 Let $A$ be a square matrix in $\mathrm{M}_n(\mathbb{K})$. A non-zero vector $\boldsymbol{x} \in \mathbb{K}^n$ is said to be an eigenvector of $A$ if there exists $\lambda \in \mathbb{K}$ such that
$$
A \mathrm{x}=\lambda \mathrm{x} .
$$
Under these conditions, $\lambda$ is called an eigenvalue of $A$ associated with $\boldsymbol{x}$. The spectrum of $A$, denoted by $\sigma(A)$, is the set of eigenvalues of matrix $A$.

To find the spectrum of $A$, it is necessary to solve the equation (4.1) or, equivalently, to solve
$$
(A-\lambda I) \mathbf{x}=\mathbf{0} .
$$
Since we want to find $\lambda \in \mathbb{K}$ for which there exist non-zero vectors $\mathbf{x}$ satisfying (4.1), the homogeneous system (4.2) must have non-zero solutions. Hence, the coefficient matrix $A-\lambda I$ must be singular. By Theorem 2.1, this holds if and only if the determinant $\operatorname{det}(A-\lambda I)$ is equal to zero.

The polynomial $p(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)$ has degree $n$ and is called the characteristic polinomyal of $A$. The equation
$$
\operatorname{det}(A-\lambda I)=0
$$
is the characteristic equation. The eigenvalues of matrix $A$ are, therefore, the roots of the characteristic polynomial of $A$.

Given an eigenvalue $\lambda$, the eigenspace $E(\lambda)$ associated with the eigenvalue $\lambda$ is the solution set of (4.2). In other words, $E(\lambda)$ is the null space of $A-\lambda I$, i.e.,
$$
E(\lambda)=N(A-\lambda I)
$$
Example 4.1 Find the spectrum and bases for the eigenspaces of
$$
A=\left[\begin{array}{ccc}
0 & -1 & 0 \
-1 & 0 & 0 \
0 & 0 & -1
\end{array}\right]
$$

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Spectral Properties

Proposition 4.2 Let $A$ be a square matrix of order $n$ over $\mathbb{K}$, let
$$
p(\lambda)=a_0+a_1 \lambda+\cdots+a_{n-1} \lambda^{n-1}+(-1)^n \lambda^n
$$
be the characteristic polynomial of $A$, and let $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ be the eigenvalues of $A$ (possibly repeated). The following hold.
(i) $|A|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n$.
(ii) $a_{n-1}=(-1)^{n-1} \operatorname{tr} A$.
(iii) $\operatorname{tr} A=\sum_{i=1}^n \lambda_i$.
Proof (i) Let
$$
p(\lambda)=\left(\lambda_1-\lambda\right)\left(\lambda_2-\lambda\right) \cdots\left(\lambda_n-\lambda\right)
$$
be the characteristic polynomial of $A$ (where the roots may not be all distinct).

Observing that
$$
p(0)=|A-0 I|=|A|
$$
and letting $\lambda=0$ in (4.4), we have
$$
|A|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n
$$
(ii) This will be shown by induction. For $n=1$, the statement is clear. Suppose now that $n \geq 2$ and that the assertion holds for $n-1$. Let $A=\left[a_{i j}\right]$ be an $n \times n$ matrix and let $p(\lambda)=|A-\lambda I|$ be its characteristic polynomial. Hence, using the Laplace’s expansion along the first row, we have
$$
p(\lambda)=\left(a_{11}-\lambda I\right) \operatorname{det}\left[(A-\lambda I){11}\right]+\sum{j=2}^n a_{1 j} C_{1 j} .
$$

线性代数代考

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Spectrum of a Matrix

定义 33 让 $A$ 是一个方阵 $\mathrm{M}_n(\mathbb{K})$. 非零向量 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{K}^n$ 被称为特征向量 $A$ 如果存在 $\lambda \in \mathbb{K}$ 这 样
$$
A \mathrm{x}=\lambda \mathrm{x}
$$
在这些条件下, $\lambda$ 被称为特征值 $A$ 有关联 $\boldsymbol{x}$. 的光谱 $A$ ,表示为 $\sigma(A)$ ,是矩阵的特征值集 $A$.
找到频谱 $A$, 需要求解方程 (4.1) 或等价地求解
$$
(A-\lambda I) \mathbf{x}=\mathbf{0} .
$$
因为我们想找到 $\lambda \in \mathbb{K}$ 其中存在非零向量x满足 (4.1),齐次系统 (4.2) 必项有非零 解。因此,系数矩阵 $A-\lambda I$ 必须是单数的。根据定理 2.1,这成立当且仅当行列式 $\operatorname{det}(A-\lambda I)$ 等于零。
多项式 $p(\lambda)=\operatorname{det}(A-\lambda I)$ 有学位 $n$ 并且被称为特征多项式 $A$. 方程式
$$
\operatorname{det}(A-\lambda I)=0
$$
是特征方程。矩阵的特征值 $A$ 因此,是特征多项式的根 $A$.
给定一个特征值 $\lambda$ ,本征空间 $E(\lambda)$ 与特征值相关联 $\lambda$ 是 (4.2) 的解集。换句话说, $E(\lambda)$ 是零空间 $A-\lambda I$ ,那是,
$$
E(\lambda)=N(A-\lambda I)
$$
例 4.1 求出的特征空间的谱和底
$$
A=\left[\begin{array}{lllllllll}
0 & -1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1
\end{array}\right]
$$

数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Spectral Properties

命题 4.2 让 $A$ 是阶方阵 $n$ 超过 $\mathbb{K}$ ,让
$$
p(\lambda)=a_0+a_1 \lambda+\cdots+a_{n-1} \lambda^{n-1}+(-1)^n \lambda^n
$$
是的特征多项式 $A$ ,然后让 $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ 是的特征值 $A$ (可能重复)。以下坚持。
$$
\begin{aligned}
& \text { (我) }|A|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n . \
& \text { (二) } a_{n-1}=(-1)^{n-1} \operatorname{tr} A \text {. } \
& \text { (三) } \operatorname{tr} A=\sum_{i=1}^n \lambda_i .
\end{aligned}
$$
证明 (i) 让
$$
p(\lambda)=\left(\lambda_1-\lambda\right)\left(\lambda_2-\lambda\right) \cdots\left(\lambda_n-\lambda\right)
$$
是的特征多项式 $A$ (根源可能并不完全不同)。
观察那个
$$
p(0)=|A-0 I|=|A|
$$
并让 $\lambda=0$ 在 (4.4) 中,我们有
$$
|A|=\lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n
$$
(ii) 这将通过归纳来证明。为了 $n=1$ ,说法很明确。现在假设 $n \geq 2$ 并且该断言适用于 $n-1$. 让 $A=\left[a_{i j}\right]$ 豆 $n \times n$ 矩阵并让 $p(\lambda)=|A-\lambda I|$ 是它的特征多项式。因此,沿 第一行使用拉普拉斯展开,我们有
$$
p(\lambda)=\left(a_{11}-\lambda I\right) \operatorname{det}[(A-\lambda I) 11]+\sum j=2^n a_{1 j} C_{1 j}
$$

数学代写|线性代数代写linear algebra代考

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