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数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Taylor Polynomials and Taylor Series
We now consider the problem of representing a function $f$ in terms of a power series in greater detail. Newton derived the power series expansion of many of the elementary functions by algebraic techniques or term-by-term integration. For example, the series expansion of $1 /(1+x)$ can easily be obtained by long division, which upon term-by-term integration gives the power series expansion of $\ln (1+x)$. Maclaurin and Taylor were among the first mathematicians to use Newton’s calculus in determining the coefficients in the power series expansion of a function. Both realized that if a function $f(x)$ had a power series expansion $\sum a_k(x-c)^k$, then the coefficients $a_k$ had to be given by $f^{(k)}(c) / k !$
DEFINITION 8.7.13 Let $f$ be a real-valued function defined on an open interval $I$, and let $c \in I$ and $n \in \mathbb{N}$. Suppose $f^{(n)}(x)$ exists for all $x \in I$. The polynomial
$$
T_n(f, c)(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k !}(x-c)^k
$$
is called the Taylor polynomial of order $n$ of $f$ at the point $c$. If $f$ is infinitely differentiable on $I$, the series
$$
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(c)}{k !}(x-c)^k
$$
is called the Taylor series of $f$ at $c$.
For the special case $c=0$, the Taylor series of a function $f$ is often referred to as the Maclaurin series. The first three Taylor polynomials $T_0, T_1, T_2$, are given specifically by
$$
\begin{aligned}
& T_0(f, c)(x)=f(c), \
& T_1(f, c)(x)=f(c)+f^{\prime}(c)(x-c), \
& T_2(f, c)(x)=f(c)+f^{\prime}(c)(x-c)+\frac{f^{\prime \prime}(c)}{2 !}(x-c)^2,
\end{aligned}
$$
The Taylor polynomial $T_1(f, c)$ is the linear approximation to $f$ at $c$; that is, the equation of the straight line passing through $(c, f(c))$ with slope $f^{\prime}(c)$.
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Lagrange Form of the Remainder
Our first result, due to Joseph Lagrange (1736-1813), is called the Lagrange form of the remainder. This result, sometimes also referred to as Taylor’s theorem, was previously proved for the special case $n=2$ in Lemma 5.4.3.
THEOREM 8.7.16 Suppose $f$ is a real-valued function on an open interval $I, c \in I$ and $n \in \mathbb{N}$. If $f^{(n+1)}(t)$ exists for every $t \in I$, then for any $x \in I$, there exists a $\zeta$ between $x$ and $c$ such that
$$
R_n(x)=R_n(f, c)(x)=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1) !}(x-c)^{n+1}
$$
Remark. Continuity of $f^{(n+1)}$ is not required.
Proof. Fix $x \in I$, and let $M$ be defined by
$$
f(x)=T_n(f, c)(x)+M(x-c)^{n+1}
$$
To prove the result we need to show that $(n+1) ! M=f^{(n+1)}(\zeta)$ for some $\zeta$ between $x$ and $c$. To accomplish this, set
$$
\begin{aligned}
g(t) & =f(t)-T_n(f, c)(t)-M(t-c)^{n+1} \
& =R_n(t)-M(t-c)^{n+1}
\end{aligned}
$$
First, since $T_n$ is a polynomial of degree less than or equal to $n$,
$$
g^{(n+1)}(t)=f^{(n+1)}(t)-(n+1) ! M
$$
Also, since $T_n^{(k)}(f, c)(c)=f^{(k)}(c), k=0,1, \ldots, n$,
$$
g(c)=g^{\prime}(c)=\cdots=g^{(n)}(c)=0
$$
For convenience, let’s assume $x>c$. By the choice of $M, g(x)=0$. By the mean value theorem applied to $g$ on the interval $[c, x]$, there exits $x_1$, $c<x_1<x$, such that
$$
0=g(x)-g(c)=g^{\prime}\left(x_1\right)(x-c)
$$
实分析代考
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Taylor Polynomials and Taylor Series
我们现在考虑表示函数的问题 $f$ 在更详细的幂级数方面。牛顿通过代数技术或逐项积分 推导了许多初等函数的幂级数展开式。例如，系列展开 $1 /(1+x)$ 可以很容易地通过长 除法获得，在逐项积分后给出幂级数扩展 $\ln (1+x)$. 麦克劳林和泰勒是第一批使用牛顿 微积分来确定函数幕级数展开系数的数学家。双方都意识到，如果一个函数 $f(x)$ 有幂级 数展开 $\sum a_k(x-c)^k$ ，那么系数 $a_k$ 必须由 $f^{(k)}(c) / k !$
定义 8.7.13 让 $f$ 是定义在开区间上的实值函数 $I$ ，然后让 $c \in I$ 和 $n \in \mathbb{N}$. 认为 $f^{(n)}(x)$ 存 在于所有人 $x \in I$. 多项式
$$
T_n(f, c)(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(c)}{k !}(x-c)^k
$$
称为阶的泰勒多项式 $n$ 的 $f$ 在这一点上 $c$. 如果 $f$ 是无限可微的 $I$ ，该系列
$$
\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(c)}{k !}(x-c)^k
$$
称为泰勒级数 $f$ 在 $c$.
对于特殊情况 $c=0$, 函数的泰勒级数 $f$ 通常称为麦克劳林级数。前三个泰勒多项式 $T_0, T_1, T_2$ ，具体由
$$
T_0(f, c)(x)=f(c), \quad T_1(f, c)(x)=f(c)+f^{\prime}(c)(x-c), T_2(f, c)(x)=f(c)+f^{\prime}(c)
$$
泰勒多项式 $T_1(f, c)$ 是对的线性近似 $f$ 在 $c$; 也就是通过的直线方程 $(c, f(c))$ 带坡度 $f^{\prime}(c)$.
数学代写|实分析作业代写Real analysis代考|Lagrange Form of the Remainder
由于 Joseph Lagrange (1736-1813)，我们的第一个结果被称为余数的拉格朗日形式。 这个结果，有时也被称为泰勒定理，之前已针对特殊情况得到证明 $n=2$ 在引理 5.4.3 中。
定理 8.7.16 假设 $f$ 是开区间上的实值函数 $I, c \in I$ 和 $n \in \mathbb{N}$. 如果 $f^{(n+1)}(t)$ 存在于每个 $t \in I$ ，那么对于任何 $x \in I$ ， 存在一个〈之间 $x$ 和c这样
$$
R_n(x)=R_n(f, c)(x)=\frac{f^{(n+1)}(\zeta)}{(n+1) !}(x-c)^{n+1}
$$
评论。连续性 $f^{(n+1)}$ 不需要。
证明。使固定 $x \in I$ ，然后让 $M$ 被定义为
$$
f(x)=T_n(f, c)(x)+M(x-c)^{n+1}
$$
置
$$
g(t)=f(t)-T_n(f, c)(t)-M(t-c)^{n+1} \quad=R_n(t)-M(t-c)^{n+1}
$$
首先，因为 $T_n$ 是次数小于或等于的多项式 $n$,
$$
g^{(n+1)}(t)=f^{(n+1)}(t)-(n+1) ! M
$$
此外，由于 $T_n^{(k)}(f, c)(c)=f^{(k)}(c), k=0,1, \ldots, n$ ，
$$
g(c)=g^{\prime}(c)=\cdots=g^{(n)}(c)=0
$$
为方便起见，我们假设 $x>c$. 通过选择 $M, g(x)=0$. 通过应用中值定理 $g$ 在间隔上 $[c, x]$, 有出口 $x_1, c<x_1<x$, 这样
$$
0=g(x)-g(c)=g^{\prime}\left(x_1\right)(x-c)
$$
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