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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Cross-Ratio
Returning to (3.25), we have already established that if we can find a Möbius transformation $M$ that maps three given points $q, r, s$ to three other given points $\widetilde{q}, \widetilde{r}, \widetilde{s}$, then $M$ is unique. It thus remains to show that such an $M$ always exists.
To see this, first let us arbitrarily choose three points $q^{\prime}, r^{\prime}, s^{\prime}$, once and for all. Next, suppose we can write down a Möbius transformation mapping three arbitrary points $q, r, s$ to these particular three points, $q^{\prime}, r^{\prime}, s^{\prime} ;$ let $M_{q r s}(z)$ denote this Möbius transformation. In exactly the same way we could also write down $M_{\bar{q} \bar{r} \bar{s}}(z)$. By virtue of the group property, it is now easy to see that
$$
M=M_{\tilde{q} \tilde{r} \tilde{s}}^{-1} \circ M_{\mathrm{qrs}}
$$ is a Möbius transformation mapping $q, r, s$ to $q^{\prime}, r^{\prime}, s^{\prime}$ and thence to $\widetilde{q}, \widetilde{r}, \widetilde{s}$, as was desired.
Now the real trick is to choose $q^{\prime}, r^{\prime}, s^{\prime}$ in such a way as to make it easy to write down $M_{\mathrm{qrs}}(z)$. We don’t like to pull rabbits out of hats, but try $\mathrm{q}^{\prime}=0, r^{\prime}=1$, and $s^{\prime}=\infty$. Along with this special choice comes a special, standard notation: the is written $[z, \mathrm{q}, \mathrm{r}, \mathrm{s}]$.
In order to map $q$ to $q^{\prime}=0$ and $s$ to $s^{\prime}=\infty$, the numerator and denominator of $[z, q, r, s]$ must be proportional to $(z-q)$ and $(z-s)$, respectively. Thus $[z, q, r, s]=$ $k\left(\frac{z-q}{z-s}\right)$, where $k$ is a constant. Finally, since $k\left(\frac{r-q}{r-s}\right)=[r, q, r, s] \equiv 1$, we deduce that
$$
[z, q, r, s]=\frac{(z-q)(r-s)}{(z-s)(r-q)}
$$
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Empirical Evidence of a Link with Linear Algebra
As you were reading about the group property of Möbius transformations, you may well have experienced déjà $v u$, for the results we obtained were remarkably reminiscent of the behaviour of matrices in linear algebra. Before explaining the reason for this connection between Möbius transformations and linear algebra, let us be more explicit about the empirical evidence for believing that such a connection exists.
We begin by associating with every Möbius transformation $M(z)$ a corresponding $2 \times 2$ matrix $[\mathrm{M}]$ :
$$
M(z)=\frac{a z+b}{c z+d} \quad \longleftrightarrow \quad[M]=\left[\begin{array}{ll}
a & b \
c & d
\end{array}\right]
$$
Since the coefficients of the Möbius transformation are not unique, neither is the corresponding matrix: if $k$ is any non-zero constant, then the matrix $k[M]$ corresponds to the same Möbius transformation as $[M]$. However, if $[M]$ is normalized by imposing $(\mathrm{ad}-\mathrm{bc})=1$, then there are just two possible matrices associated with a given Möbius transformation: if one is called $[M]$, the other is $-[M]$; in other words, the matrix is determined “uniquely up to sign”. This apparently trivial fact turns out to have deep significance in both mathematics and physics; see Penrose and Rindler (1984, Ch. 1) and Penrose (2005).
At this point there exists a strong possibility of confusion, so we issue the following WARNING: In linear algebra we are-or should be!-accustomed to thinking of a real $2 \times 2$ matrix as representing a linear transformation of $\mathbb{R}^2$. For example, $\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \ 1 & 0\end{array}\right)$ represents a rotation of the plane through $(\pi / 2)$. That is, when we apply it to a vector $\left(\begin{array}{l}x \ y\end{array}\right)$ in $\mathbb{R}^2$, we obtain
$$
\left(\begin{array}{rr}
0 & -1 \
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x \
y
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r}
-y \
x
\end{array}\right)=\left{\left(\begin{array}{l}
x \
y
\end{array}\right) \text { rotated by }(\pi / 2)\right} .
$$
In stark contrast, the matrix $\left[\begin{array}{ll}a & b \ c & d\end{array}\right]$ corresponding to a Möbius transformation generally has complex numbers as its entries, and so it cannot be interpreted as a linear transformation of $\mathbb{R}^2$. Even if the entries are real, it must not be thought of in this way. For example, the matrix $\left(\begin{array}{cc}0 & -1 \ 1 & 0\end{array}\right)$ corresponds to the Möbius transformation $M(z)=-(1 / z)$, which is certainly not a linear transformation of $\mathbb{C}$. To avoid confusion, we will adopt the following notational convention: We use (ROUND) brackets for a real matrix corresponding to a linear transformation of $\mathbb{R}^2$ or of $\mathbb{C}$, and we use [SQUARE] brackets for a (generally) complex matrix corresponding to a Möbius transformation of $\mathbb{C}$.
复分析代考
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Cross-Ratio
回到 (3.25)，我们已经确定如果我们能找到莫比乌斯变换 $M$ 映射三个给定点 $q, r, s$ 到其 他三个给定点 $\tilde{q}, \tilde{r}, \tilde{s}$ ，然后 $M$ 是独特的。因此，它仍然表明这样一个 $M$ 永远存在。
看到这一点，首先让我们任意选择三个点 $q^{\prime}, r^{\prime}, s^{\prime}$ ，一劳永逸。接下来，假设我们可以 写下映射三个任意点的莫比乌斯变换 $q, r, s$ 针对这三点, $q^{\prime}, r^{\prime}, s^{\prime}$; 让 $M_{q r s}(z)$ 表示此 Möbius 变换。以完全相同的方式，我们也可以写下 $M_{\bar{q} \bar{r} \bar{s}}(z)$. 凭借组属性，现在很容 易看出
$$
M=M_{\tilde{q} \tilde{r} \tilde{s}}^{-1} \circ M_{\mathrm{qrs}}
$$
是莫比乌斯变换映射 $q, r, s$ 到 $q^{\prime}, r^{\prime}, s^{\prime}$ 然后到 $\tilde{q}, \tilde{r}, \tilde{s} ，$ 如所愿。
现在真正的诀空是选择 $q^{\prime}, r^{\prime}, s^{\prime}$ 以方便记下的方式 $M_{\mathrm{qrs}}(z)$. 我们不喜欢把兔子从帽子里 拉出来，但试试 $\mathrm{q}^{\prime}=0, r^{\prime}=1$ ，和 $s^{\prime}=\infty$. 伴随着这个特殊的选择而来的是一个特殊 的、标准的符号: the is written $[z, \mathrm{q}, \mathrm{r}, \mathrm{s}]$.
为了映射 $q$ 到 $q^{\prime}=0$ 和 $s$ 到 $s^{\prime}=\infty$, 的分子和分母 $[z, q, r, s]$ 必须成正比 $(z-q)$ 和 $(z-s)$ ，分别。因此 $[z, q, r, s]=k\left(\frac{z-q}{z-s}\right)$ ，在哪里 $k$ 是一个常数。最后，由于 $k\left(\frac{r-q}{r-s}\right)=[r, q, r, s] \equiv 1$, 我们推断
$$
[z, q, r, s]=\frac{(z-q)(r-s)}{(z-s)(r-q)}
$$
数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Empirical Evidence of a Link with Linear Algebra
当您阅读莫比乌斯变换的群性质时，您可能已经体验过似曾相识的感觉 $v u$ ，因为我们 获得的结果非常让人联想到线性代数中矩阵的行为。在解释莫比乌斯变换与线性代数之 间存在这种联系的原因之前，让我们更明确地说明相信这种联系存在的经验证据。
我们首先将每个莫比乌斯变换关联起来 $M(z)$ 相应的 $2 \times 2$ 矩阵 $[\mathrm{M}]$ :
$$
M(z)=\frac{a z+b}{c z+d} \quad \longleftrightarrow \quad[M]=\left[\begin{array}{lll}
a & b c & d
\end{array}\right]
$$
由于莫比乌斯变换的系数不是唯一的，相应的矩阵也不是唯一的: 如果 $k$ 是任何非零常 数，则矩阵 $k[M]$ 对应于相同的莫比乌斯变换 $[M]$. 然而，如果 $[M]$ 通过强加归一化 $(\mathrm{ad}-\mathrm{bc})=1$, 那么只有两个可能的矩阵与给定的莫比乌斯变换相关联: 如果一个被 称为 $[M]$ ，另一个是 $-[M]$; 换句话说，矩阵被确定为 “唯一的符号”。这个看似微不足道 的事实在数学和物理学中都具有深远的意义。参见 Penrose 和 Rindler (1984 年，第 1 章) 和Penrose (2005 年)。
在这一点上存在很大的混淆可能生，所以我们发出以下警告: 在线性代数中我们是或者应该是! 一一习惯于思考一个真实的 $2 \times 2$ 表示线性变换的矩阵 $\mathbb{R}^2$. 例如， $\mathbb{R}^2$ ，我们获得 能解释为线性变换 $\mathbb{R}^2$. 即使条目是真实的，也绝不能文样想。例如，矩阵 混淆，我们将采用以下符号约定：我们使用 (ROUND) 括号表示对应于线性变换的实数 矩阵 $\mathbb{R}^2$ 或属于 $\mathbb{C}$ ，并且我们使用 [SQUARE] 括号表示对应于 Möbius 变换的（通常) 复 数矩阵 $\mathbb{C}$.
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