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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Non-Uniqueness of the Coefficients

To specify a particular Möbius transformation $M(z)=\frac{a z+b}{c z+d}$ it seems that we need to specify the four complex numbers $a, b$, c, and d, which we call the coefficients of the Möbius transformation. In geometric terms, this would mean that to specify a particular Möbius transformation we would need to know the images of any four distinct points. This is wrong.
If $k$ is an arbitrary (non-zero) complex number then
$$
\frac{a z+b}{c z+d}=M(z)=\frac{k a z+k b}{k c z+k d} .
$$
In other words, multiplying the coefficients by k yields one and the same mapping, and so only the ratios of the coefficients matter. Since three complex numbers are sufficient to pin down the mapping- $(a / b),(b / c),(c / d)$, for example-we conjecture (and later prove) that
There exists a unique Möbius transformation sending any three points
$(3.25)$ to any other three points.
In the course of gradually establishing this one result we shall be led to further important properties of Möbius transformations.

If you read the last section of Chapter 1 , then (3.25) may be ringing a bell: the similarity transformations needed to do Euclidean geometry are also determined by their effect on three points. Indeed, we saw in that chapter that such similarities can be expressed as complex functions of the form $f(z)=a z+b$, and so they actually are Möbius transformations, albeit of a particularly simple kind. However, for such a similarity to exist, the image points must form a triangle that is similar to the triangle formed by the original points. But in the case of Möbius transformations there is no such restriction, and this opens the way to more flexible, non-Euclidean geometries in which Möbius transformations play the role of the “motions”. This is the subject of Chapter 6.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Group Property

In addition to preserving circles, angles, and symmetry, the mapping
$$
z \mapsto w=M(z)=\frac{a z+b}{c z+d} \quad(a d-b c) \neq 0
$$ is also one-to-one and onto. This means that if we are given any point $w$ in the $w$ plane, there is one (and only one) point $z$ in the $z$-plane that is mapped to $w$. We can show this by explicitly finding the inverse transformation $w \mapsto z=M^{-1}(w)$. Solving the above equation for $z$ in terms of $w$, we find [exercise] that $M^{-1}$ is also a Möbius transformation:
$$
M^{-1}(z)=\frac{d z-b}{-c z+a}
$$
Note that if $M$ is normalized, then this formula for $M^{-1}$ is automatically normalized as well.

If we look at the induced mapping on the Riemann sphere, then we find that a Möbius transformation actually establishes a one-to-one correspondence between points of the complete $z$-sphere and points of the complete $w$-sphere, including their points at infinity. Indeed you may easily convince yourself that
$$
M(\infty)=(a / c) \text { and } M(-d / c)=\infty
$$
Using (3.26), you may check for yourself that $M^{-1}(a / c)=\infty$ and $M^{-1}(\infty)=$ $-(\mathrm{d} / \mathrm{c})$

Next, consider the composition $M \equiv\left(M_2 \circ M_1\right)$ of two Möbius transformations,
$$
M_2(z)=\frac{a_2 z+b_2}{c_2 z+d_2} \quad \text { and } \quad M_1(z)=\frac{a_1 z+b_1}{c_1 z+d_1}
$$
A simple calculation [exercise] shows that $M$ is also a Möbius transformation:
$$
M(z)=\left(M_2 \circ M_1\right)(z)=\frac{\left(a_2 a_1+b_2 c_1\right) z+\left(a_2 b_1+b_2 d_1\right)}{\left(c_2 a_1+d_2 c_1\right) z+\left(c_2 b_1+d_2 d_1\right)}
$$
It is clear geometrically that if $M_1$ and $M_2$ are non-singular, then so is $M$. This is certainly not obvious algebraically, but later in this section we shall introduce a new algebraic approach that does make it obvious.

复分析代考

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Non-Uniqueness of the Coefficients

指定特定的莫比乌斯变换 $M(z)=\frac{a z+b}{c z+d}$ 看来我们需要指定四个复数 $a, b 、 c$ 和 $\mathrm{d}$ ，我们 称之为莫比乌斯变换的系数。用几何术语来说，这意味着要指定一个特定的莫比乌斯变 换，我们需要知道任何四个不同点的图像。这是错误的。 如果 $k$ 是一个任意 (非零) 复数然后
$$
\frac{a z+b}{c z+d}=M(z)=\frac{k a z+k b}{k c z+k d}
$$
换句话说，将系数乘以 $\mathrm{k}$ 会产生一个相同的映射，因此只有系数的比率很重要。由于三 个复数足以确定映射 $-(a / b),(b / c),(c / d)$ ，例如，我们推测（后来证明）
存在一个唯一的莫比乌斯变换发送任意三个点
$(3.25)$ 任何其他三点。
在逐渐建立这一结果的过程中，我们将进一步了解莫比乌斯变换的重要性质。
如果您阅读了第 1 章的最后一节，那么 (3.25) 可能会詁吅警钟: 欧氏几何所需的相似变 换也由它们对三个点的影响决定。实际上，我们在那一章中看到，这种相似性可以表示 为形式的复杂函数 $f(z)=a z+b$ ，所以它们实际上是莫比乌斯变换，尽管是一种特别 简单的变换。然而，要存在这种相似性，图像点必须形成一个与原始点形成的三角形相 似的三角形。但在莫比乌斯变换的情况下没有这样的限制，这为更灵活的非欧几何开辟 了道路，其中莫比乌斯变换扮演“运动”的角色。这是第 6 章的主题。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|The Group Property

除了保留圆、角和对称性之外，映射
$$
z \mapsto w=M(z)=\frac{a z+b}{c z+d} \quad(a d-b c) \neq 0
$$
也是一对一的。这意味着如果我们得到任何一点 $w$ 在里面 $w$ 平面，有一个 (而且只有一 个）点 $z$ 在里面 $z$-映射到的平面 $w$. 我们可以通过显式找到逆变换来证明这一点 $w \mapsto z=M^{-1}(w)$. 求解上述方程为 $z$ 按照 $w$ ，我们发现 $\left[\right.$ 练习] $M^{-1}$ 也是莫比乌斯变 换:
$$
M^{-1}(z)=\frac{d z-b}{-c z+a}
$$
请注意，如果 $M$ 被归一化，那么这个公式为 $M^{-1}$ 也会自动归一化。
如果我们看一下黎曼球面上的诱导映射，那么我们会发现莫比乌斯变换实际上在完整的 点之间建立了一对一的对应关系 $z$-完整的球体和点 $w$-sphere，包括它们在无穷远处的 点。事实上，你可以很容易地说服自己
$$
M(\infty)=(a / c) \text { and } M(-d / c)=\infty
$$
使用 (3.26)，你可以自己检查 $M^{-1}(a / c)=\infty$ 和 $M^{-1}(\infty)=-(\mathrm{d} / \mathrm{c})$
接下来，考虑组成 $M \equiv\left(M_2 \circ M_1\right)$ 两个莫比乌斯变换，
$$
M_2(z)=\frac{a_2 z+b_2}{c_2 z+d_2} \quad \text { and } \quad M_1(z)=\frac{a_1 z+b_1}{c_1 z+d_1}
$$一个简单的计算[练习]表明 $M$ 也是莫比乌斯变换:
$$
M(z)=\left(M_2 \circ M_1\right)(z)=\frac{\left(a_2 a_1+b_2 c_1\right) z+\left(a_2 b_1+b_2 d_1\right)}{\left(c_2 a_1+d_2 c_1\right) z+\left(c_2 b_1+d_2 d_1\right)}
$$
从几何上很清楚，如果 $M_1$ 和 $M_2$ 是非奇异的，那么也是 $M$. 这在代数上当然不是显而易 见的，但在本节后面我们将介绍一种新的代数方法，使它变得显而易见。

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