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物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Level Shifts and Self-Interaction
The diagram expansion is equally applicable to the perturbation theory approach to energy level shifts; recall from Chapter 6 that a discrete energy level of the reference system can be related formally to an energy level of the full problem by solving for the roots of the equation,
$$
\begin{aligned}
E_n & =E_n^0+\Delta_n(E) \
& \approx E_n^0+\Delta_n\left(E_n^0\right)
\end{aligned}
$$
where
$$
\Delta_n\left(E_n^0\right)=\left\langle\Phi_n^0\left|\left(\mathrm{~V}+\mathrm{VG}^0\left(E_n^0\right) \mathrm{V}+\ldots\right)^{\prime}\right| \Phi_n^0\right\rangle
$$
This is essentially the same expansion as for the T-matrix with the supplementary condition that $\Phi_n^0$ must be excluded from sums over complete sets of states.
A diagram in Figure 10.2 can also be repurposed as the building block of the diagrammatic expansion for the energy shift $\Delta E$ due to Van der Waals interactions of pairs of neutral atoms/molecules/chromophores, supposed electronically distinct, via the exchange of virtual photons. One can imagine making a copy of diagram (10.2iia) and, taking the two copies together, joining the external lines 1 to $1^{\prime}, 2$ to $2^{\prime}$; the composite diagram is then relabelled so that the initial and final states are the same, $(1,2)$, and the virtual intermediate states are $\left(1^{\prime}, 2^{\prime}\right)$. There are six topologically distinct diagrams that can be formed in this way when all time orderings of the vertices are allowed for (excluding interchange of the two particles); the diagrams have four vertices and so, if $\Phi_n^0$ in (10.206) is taken to be the tensor product of the ground state of the atomic system and the photon vacuum, the diagrams describe the van der Waals interaction to order $e^4$ (i.e. $\alpha^2$ ); within the electric dipole approximation they lead to [11], [72],
$$
\Delta E \approx \frac{C}{R^7}, \quad R \gg \lambda ; \quad \Delta E \approx \frac{C^{\prime}}{R^6}, \quad R \ll \lambda
$$ where $C, C^{\prime}$ are related to the polarisabilities of the two atomic groups that are separated by $R . \lambda$ is a typical optical excitation wavelength. The weakening of the force law for the potential energy as $R$ increases was the property that points to the involvement of the electromagnetic field, and thus quantum electrodynamics, because the interaction cannot be instantaneous [72].
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Quantum Electrodynamics beyond
Perturbation theory as used in non-relativistic quantum electrodynamics in the conventional fashion was described in Chapter 10. The S-matrix description is predicated on the assumption that the reference Hamiltonian, $\mathrm{H}0$, and the full Hamiltonian, $\mathrm{H}$, are related by a unitary transformation, that is, they are operators on the same Hilbert space $\mathcal{H}$. In the time-dependent view of scattering this requires that $\mathrm{H}_0$ and $\mathrm{H}$ coincide at $t= \pm \infty$. As shown in Chapter 6 , in this framework the unitary transformation operator can be constructed approximately as a perturbation expansion in powers of the coupling constant. We start here with some general remarks about how and why problems can arise when a quantum field is involved. Let us first work in a Schrödinger representation in which $\mathrm{H}$ is time-independent. We can gain an insight into the construction in the following way. Given any vector in $\mathcal{H}$ chosen as an initial state $\left|u_0\right\rangle$, one may develop an orthonormal sequence of states from a three-term recurrence relation generated by the full Hamiltonian, $$ \mathrm{H}\left|u_n\right\rangle=a_n\left|u_n\right\rangle+b{n+1}\left|u_{n+1}\right\rangle+b_{n-1}\left|u_{n-1}\right\rangle
$$
with starting coefficients [1]
$$
\begin{aligned}
a_0 & =\left\langle u_0|\mathrm{H}| u_0\right\rangle, \
b_1 & =\left\langle u_1|\mathrm{H}| u_0\right\rangle, \quad b_{-1}=0, b_0=1, \
\left|u_1\right\rangle & =b_1^{-1}\left(\mathrm{H}-a_0\right)\left|u_0\right\rangle .
\end{aligned}
$$
Requiring normalisation of $\left|u_1\right\rangle$ shows that the first off-diagonal coefficient is determined by the variance of the Hamiltonian in the starting state $\left|u_0\right\rangle$,
$$
b_1^2=\left\langle u_0\left|\mathrm{H}^2\right| u_0\right\rangle-a_0^2
$$
The quantities $\left{a_n, b_n\right}$ give a tri-diagonal (Jacobi) representation of the Hamiltonian which may be brought to diagonal form by a further unitary transformation. The normalisation requires that the states $\left{u_n\right}$ are square integrable. ${ }^1$
电动力学代考
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Level Shifts and Self-Interaction
图展开同样适用于能级位移的微扰理论方法；回想一下第 6 章，参考系统的离散能级可 以通过求解方程的根与整个问题的能级正式相关，
$$
E_n=E_n^0+\Delta_n(E) \quad \approx E_n^0+\Delta_n\left(E_n^0\right)
$$
在哪里
$$
\Delta_n\left(E_n^0\right)=\left\langle\Phi_n^0\left|\left(\mathrm{~V}+\mathrm{VG}^0\left(E_n^0\right) \mathrm{V}+\ldots\right)^{\prime}\right| \Phi_n^0\right\rangle
$$
这基本上与 $\mathrm{T}$ 矩阵的扩展相同，补充条件是 $\Phi_n^0$ 必须从完整状态集的总和中排除。
图 10.2 中的图表也可以重新用作能量转移图表扩展的构建块 $\Delta E$ 由于中性原子/分子/发 色团对的范德瓦尔斯相互作用，假设电子不同，通过虚拟光子的交换。可以想象制作一 份图表 (10.2iia) 的副本，并将两个副本放在一起，将外部线 1 连接到 $1^{\prime}, 2$ 到 $2^{\prime}$; 然后重 新标记筫合图，使初始状态和最终状态相同， $(1,2)$ ， 虚拟中间状态是 $\left(1^{\prime}, 2^{\prime}\right)$. 当允许 顶点的所有时间顺序 (不包括两个粒子的交换) 时，可以通过这种方式形成六个拓扑不 同的图；这些图有四个顶点，所以，如果 $\Phi_n^0$ 在 (10.206) 被认为是原子系统的基态和光 子真空的张量积，这些图描述了范德瓦尔斯相互作用 $e^4 \quad\left(\mathrm{I} \alpha^2\right)$; 在电偶极子近似中，它 们导致 [11]、[72]、
$$
\Delta E \approx \frac{C}{R^7}, \quad R \gg \lambda ; \quad \Delta E \approx \frac{C^{\prime}}{R^6}, \quad R \ll \lambda
$$
在哪里 $C, C^{\prime}$ 与被分隔的两个原子团的极化率有关 $R . \lambda$ 是典型的光激发波长。势能的力 定律减弱为 $R$ 增加是指向电磁场参与的属性，因此是量子电动力学，因为相互作用不可 能是瞬时的 [72]。
物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Quantum Electrodynamics beyond
第 10 章描述了以传统方式在非相对论量子电动力学中使用的微扰理论。 $S$ 矩阵描述基 于以下假设：参考哈密顿量，H0和完整的哈密顿量， $H$ ，通过酉变换相关，也就是说， 它们是同一希尔伯特空间上的算子 $\mathcal{H}$. 在随时间变化的散射观点中，这需要 $\mathrm{H}0$ 和 $\mathrm{H}$ 重合 于 $t= \pm \infty$. 如第6章所示，在这个框架中，酉变换算子可以近似地构造为耦合常数的幂 的扰动展开。我们从这里开始，对涉及量子场时问题如何以及为何会出现的一些一般性 评论开始。让我们首先在薛定谔表示中工作，其中H是时间无关的。我们可以通过以下 成的三项递归关系中发展出正交状态序列， $$ \mathrm{H}\left|u_n\right\rangle=a_n\left|u_n\right\rangle+b n+1\left|u{n+1}\right\rangle+b_{n-1}\left|u_{n-1}\right\rangle
$$
具有起始系数 [1]
$$
a_0=\left\langle u_0|\mathrm{H}| u_0\right\rangle, b_1 \quad=\left\langle u_1|\mathrm{H}| u_0\right\rangle, \quad b_{-1}=0, b_0=1,\left|u_1\right\rangle=b_1^{-1}\left(\mathrm{H}-a_0\right)\left|u_0\right\rangle .
$$
要求规范化 $\left|u_1\right\rangle$ 表明第一个非对角线系数由起始状态下哈密顿量的方差决定 $\left|u_0\right\rangle$,
$$
b_1^2=\left\langle u_0\left|\mathrm{H}^2\right| u_0\right\rangle-a_0^2
$$
数量 $\backslash$ left{a_n, b_n $\backslash$ right}) 给出哈密顿量的三对角线 (Jacobi) 表示，它可以通过进一步酉变 换变为对角线形式。规范化要求状态 ${$ 左{u_n|右 $}$ 是平方可积的。
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