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数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Galois Fields

Galois fields are also known as finite fields. You will learn more about Galois himself in the history section of this chapter. These types of fields are very important in cryptography, and you will see them used in later chapters. These are called finite fields because they have a finite number of elements (Vinogradov 2016). If you think about some of the groups, rings, and fields we have previously discussed, all were infinite. The sets of integers, rational numbers, and real numbers are all infinite. Galois fields are finite.

In a Galois field, there are some integers such that $\mathrm{n}$ repeated terms equal zero. Put another way, there is some boundary on the field, thus making it finite. The smallest $n$ that satisfies this is some prime number, and that prime number is referred to as the characteristic of the field. You will often see a Galois field defined as follows:
$$
\mathrm{GF}\left(p^n\right)
$$

In this case, the GF does not denote a function. Rather, this statement is saying that there is a Galois field with $\mathrm{p}$ as the prime number (the characteristic we mentioned previously in this section), and the field has $p^n$ elements. A Galois field is some finite set of numbers (from 0 to $p^n-1$ ) and some mathematical operations (usually addition and multiplication) along with the inverses of those operations.
Now you may immediately be thinking, how can a finite field even exist? If the field is indeed finite, would it not be the case that addition and multiplication operations could lead to answers that don’t exist within the field? To understand how this works, think back to the modulus operation we discussed in Chap. 4. Essentially, operations “wrap around” the modulus. If we consider the classic example of a clock, then any operation whose answer would be more than 12 simply wraps around. The same thing occurs in a Galois field. Any answer greater than $\mathrm{p}^{\mathrm{n}}$ simply wraps around.

Let us examine an example, a rather trivial example but one that makes the point. Consider the Galois field GF $\left(3^1\right)$. First, I hope you realize that $3^1$ is the same as 3 and most texts would simply write this as GF(3). Thus, we have a Galois field defined by 3 . In any case, addition or multiplication of the elements would cause us to exceed the number 3 . We simply wrap around. This example is easy to work with because it only has three elements: 1,2 , and 3 . Considering operations with those elements, several addition operations pose no problem at all:
$$
1+1=2 \quad 1+2=3
$$
However, others would be a problem $2+2=4$, except that we are working within a Galois field, which utilizes the modulus operations so $2+2=1$ (we wrapped around at three).
Similarly, $2+3=2$.
The same is true with multiplication.
$2 \times 2=1$ (we wrap around at 3 )
$2 \times 3=0$ (again we wrap around at 3 )
You can, I hope, see how this works. Now in cryptography we will deal with Galois fields that are larger than the trivial example we just examined, but the principles are exactly the same.

数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Diophantine Equations

A Diophantine equation is any equation for which you are interested only in the integer solutions to the equation. Thus, a linear Diophantine equation is a linear equation $a x+b y=c$ with integer coefficients for which you are interested only in finding integer solutions. There are two types of Diophantine equations. Linear Diophantine equations have elements that are of degree 1 or zero. Exponential Diophantine equations have at least one term that has an exponent greater than 1 .

The word Diophantine comes from Diophantus, a third-century C.E. mathematician who studied such equations. You have actually seen Diophantine equations before, though you might not have realized it. The traditional Pythagorean theorem can be a Diophantine equation, if you are interested in only integer solutions as can be the case in many practical applications.
The simplest Diophantine equations are linear and are of the form
$$
a x+b y=c
$$
where $a, b$, and $c$ are all integers. Now there is an integer solution to this problem if and only if $\mathrm{c}$ is a multiple of the greatest common divisor of and $\mathrm{b}$. For example: the Diophantine equation $3 x+6 y=18$ does have solutions (in integers) since $\operatorname{gcd}(3,6)=3$ which does, indeed, evenly divide 18 .

密码学代考

数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Galois Fields

伽罗瓦域也称为有限域。您将在本章的历史部分了解更多关于伽罗瓦本人的信息。这些 类型的字段在密码学中非常重要,您将在后面的章节中看到它们的使用。这些被称为有 限域,因为它们具有有限数量的元素 (Vinogradov 2016) 。如果你想想我们之前讨论 过的一些群、环和域,它们都是无限的。整数、有理数和实数的集合都是无限的。伽罗 华域是有限的。
在伽罗华域中,有一些整数使得 $\mathrm{n}$ 重复项等于零。换句话说,场上有一些边界,因此它 是有限的。最小的 $n$ 满足这个的是某个素数,这个素数被称为场的特征。你会经常看到 定义如下的伽罗华域:
$$
\mathrm{GF}\left(p^n\right)
$$
在这种情况下,GF 不表示函数。相反,这个陈述是说有一个仂罗华域 $\mathrm{p}$ 作为质数(我们 在本节前面提到的特征),并且该字段有 $p^n$ 元素。伽罗瓦域是一些有限的数字集(从 0 到 $p^n-1$ ) 和一些数学运算 (通常是加法和乘法) 以及这些运算的逆运算。
现在你可能马上就会想,有限域怎么可能存在呢? 如果该域确实是有限的,那么加法和 乘法运算是否会导致该域中不存在的答案? 要理解这是如何工作的,请回想一下我们在 第 1 章中讨论的模运算。4. 本质上,操作”环绕”模数。如果我们考虑时钟的经典示例, 那么任何答案超过 12 的操作都会简单地回绕。同样的事情也发生在伽罗瓦域中。任何 大于的答案 $\mathrm{p}^{\mathrm{n}}$ 简单地环绕。
让我们检查一个例子,一个相当微不足道的例子,但它说明了要点。考虑伽罗华域 GF $\left(3^1\right)$. 首先,我希望你意识到 $3^1$ 与 3 相同,大多数文本会简单地将其写为 $G F(3)$ 。因 此,我们有一个由 3 定义的伽罗华域。在任何情况下,元素的加法或乘法都会导致我们 超过数字 3 。我们简单地环绕。这个例子很容易处理,因为它只有三个元素: 1,2 和 3。考虑到对这些元素的操作,几个加法操作完全没有问题:
$$
1+1=2 \quad 1+2=3
$$
但是,其他人会有问题 $2+2=4$ ,除了我们在伽罗华域内工作,它利用模运算所以 $2+2=1$ (我们在二点结束)。
相似地, $2+3=2$.
乘法也是如此。
$2 \times 2=1$ (我们在 3 点结束)
$2 \times 3=0$ (我们再次在 3 点结束)
我希望你可以看看它是如何工作的。现在在密码学中,我们将处理比我们刚刚研究过的 小例子更大的伽罗华域,但原理是完全相同的。

数学代写|密码学代写cryptography theory代考|Diophantine Equations

丟番图方程是您只对方程的整数解感兴趣的任何方程。因此,线性丟番图方程是一个线 性方程 $a x+b y=c$ 具有您只对寻找整数解感兴趣的整数系数。丟番图方程有两种类型。线性丟番图方程具有 1 次或零次元素。指数丟番图方程至少有一项的指数大于 1 。
丟番图一词来自公元三世纪研究此类方程式的数学家丟番图。您以前确实见过丢番图方 程,尽管您可能没有意识到。传统的勾股定理可以是丟番图方程,如果您只对整数解感 兴趣,那么在许多实际应用中都是如此。
最简单的丟番图方程是线性的,形式为
$$
a x+b y=c
$$
在哪里 $a, b$ ,和 都是整数。现在这个问题有一个整数解当且仅当 $\mathrm{c}$ 是和的最大公约数的 倍数b. 例如: 丢番图方程 $3 x+6 y=18$ 确实有解决方案 (整数) 因为 $\operatorname{gcd}(3,6)=3$ 实 际上,这确实平分了18 。

数学代写|密码学代写cryptography theory代考

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