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物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Electrical Conductivity
In the absence of an electric field, the free electron moves randomly in the metal. During the motion, they collide with fixed positive ions as well as with other electrons. Since the motion is completely random, therefore the average velocity of electrons in any direction is zero. If a constant electric field $\boldsymbol{E}$ is applied inside a metal, the electrons experience a force $\boldsymbol{F}=-e \boldsymbol{E}$. As a result, they move in a direction opposite to the direction of the electric field. This electron undergoes frequent collisions, and it is assumed that immediately after collision the electron velocities are completely random; that is, electron from a collision does not remember if it had been previously accelerated or not. Thus, the momentum gained under the influence of electric field is lost. As a result of the application of electric field and random motion, the electrons are subjected to a very slow directional motion. This motion is called drift, and the average velocity of this motion is called drift velocity $v_d$
When an electric field $\boldsymbol{E}$ is applied to the metal, the electrons are accelerated in the direction of the field and acquire an average drift velocity and momentum $\boldsymbol{p}$ parallel to $\boldsymbol{E}$. In time $\mathrm{d} t$, an electron of charge $-e$ acquires an additional momentum $-e \boldsymbol{E} \mathrm{d} t$ through the acceleration by the field $\mathbf{E}$. Let in time $\mathrm{d} t$, a fraction $\mathrm{d} n$ of the total number of electrons $n$ per unit volume makes collision where
$$
\frac{\mathrm{d} n}{n}=\frac{\mathrm{d} t}{\tau}
$$
where $\tau$ is mean time between collisions. Immediately after the collision, the electron velocities are completely random, and hence, the momentum gained under the influence of the electric field is lost. The momentum gained in time $\mathrm{d} t$ is
$$
-n e \boldsymbol{E} \mathrm{d} t
$$
The momentum destroyed in collision from Eq. (8.1) is
$$
p \mathrm{~d} n=n p \frac{\mathrm{d} t}{\tau}
$$
For equilibrium, there must be balance. From Eqs. (8.2) and (8.3)
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Wiedemann and Franz Law
Since metals are much better conductors of heat than electrical insulators, therefore it is assumed that the thermal conduction in a metal is also mainly due to free electrons. From Eq. (7.71), the thermal conductivity is
$$
K=\frac{1}{3} C_e v l
$$
The electronic specific heat $C_e$ for electron gas
$$
C_e=\frac{1}{3} N v l \frac{d E}{d T}
$$
The kinetic energy $E$ is
$$
E=\frac{1}{2} m v^2=k_B T
$$
From Eqs. (8.6) and (8.9)
$$
\frac{K}{\sigma}=\frac{(1 / 3) N v l(\mathrm{~d} E / \mathrm{d} T)}{N\left(e^2 / m\right) \tau}=\frac{m v^2}{3 e^2} \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} T}
$$
If the electron obeys classical statistics
$$
\begin{gathered}
E=\frac{1}{2} m v^2=\frac{3}{2} k_B T \
m v^2=3 k_B T
\end{gathered}
$$
From Eqs. (8.12)-(8.14)
$$
\frac{K}{\sigma}=\frac{3 k_B T}{3 e^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} T}\left(\frac{3}{2} k_B T\right)=\frac{3}{2}\left(\frac{k_B}{e^2}\right)^2 T
$$
This equation shows that the ratio of the thermal and electrical conductivity should be oroportional to absolute temperature for a given metal and it should be the same for all metals at a given temperature. This is Wiedemann and Franz law. The numerical value of $(K / \sigma T)$ given by Eq. (8.15) is in good agreement with the experimental values for copper, silver and gold over the limited temperature range of the experiments. The experimental values of $\mathrm{K}$ and $\sigma$ themselves and their variation with temperature do not, however, fit he theory.
固体物理代写
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Electrical Conductivity
在没有电场的情况下，自由电子在金属中随机移动。在运动过程中，它们与固定的正离 子以及其他电子发生碰撞。由于运动是完全随机的，因此电子在任何方向上的平均速度 都为零。如果一个恒定的电场 $\boldsymbol{E}$ 施加在金属内部，电子会受到力 $\boldsymbol{F}=-e \boldsymbol{E}$. 结果，它 们向与电场方向相反的方向移动。这个电子经历频鲧的碰撞，假设在碰撞之后电子速度 是完全随机的；也就是说，碰撞产生的电子不记得它之前是否被加速过。因此，失去了 在电场影响下获得的动量。作为施加电场和随机运动的结果，电子受到非常缓慢的定向 运动。这种运动称为漂移，这种运动的平均速度称为漂移速度 $v_d$
当电场 $\boldsymbol{E}$ 施加到金属上，电子在场的方向上加速并获得平均漂移速度和动量 $\boldsymbol{p}$ 平行 $\boldsymbol{E}$. 及 时 $\mathrm{d} t$, 一电荷电子 $-e$ 获得额外的动力 $-e \boldsymbol{E} \mathrm{d} t$ 通过场的加速 $\mathbf{E}$. 让时间 $\mathrm{d} t ， 一$ 小部分 $\mathrm{d} n$ 电子总数 $n$ 每单位体积使碰撞在哪里
$$
\frac{\mathrm{d} n}{n}=\frac{\mathrm{d} t}{\tau}
$$
在哪里 $\tau$ 是碰撞之间的平均时间。碰撞后，电子速度立即完全随机，因此，在电场影响 下获得的动量会丟失。及时获得的动力d $t$ 是
$$
-n e \boldsymbol{E} \mathrm{d} t
$$
从方程式碰撞中破坏的动量。(8.1) 是
$$
p \mathrm{~d} n=n p \frac{\mathrm{d} t}{\tau}
$$
为了平衡，必须有平衡。从等式。(8.2) 和 (8.3)
物理代写|固体物理代写Solid-state physics代考|Wiedemann and Franz Law
由于金属是比电绝缘体更好的热导体，因此可以假设金属中的热传导也主要是由于自由 电子。从等式。(7.71)，导热系数为
$$
K=\frac{1}{3} C_e v l
$$
电子比热 $C_e$ 用于电子气
$$
C_e=\frac{1}{3} N v l \frac{d E}{d T}
$$
动能 $E$ 是
$$
E=\frac{1}{2} m v^2=k_B T
$$
从等式。(8.6) 和 (8.9)
$$
\frac{K}{\sigma}=\frac{(1 / 3) N v l(\mathrm{~d} E / \mathrm{d} T)}{N\left(e^2 / m\right) \tau}=\frac{m v^2}{3 e^2} \frac{\mathrm{d} E}{\mathrm{~d} T}
$$
如果电子服从经典统计
$$
E=\frac{1}{2} m v^2=\frac{3}{2} k_B T m v^2=3 k_B T
$$
从等式。(8.12)-(8.14)
$$
\frac{K}{\sigma}=\frac{3 k_B T}{3 e^2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} T}\left(\frac{3}{2} k_B T\right)=\frac{3}{2}\left(\frac{k_B}{e^2}\right)^2 T
$$
该等式表明，对于给定金属，导热性和导电性之比应与绝对温度成正比，并且在给定温 度下所有金属都应相同。这就是 Wiedemann 和 Franz 定律。的数值 $(K / \sigma T)$ 由方程式 给出。在实验的有限温度范围内， (8.15) 与铜、银和金的实验值非常一致。的实验值 $\mathrm{K}$ 和 $\sigma$ 然而，它们本身及其随温度的变化并不符合理论。
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