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物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Nonlocality in Time

In the following we consider a dielectric response that is nonlocal in time
$$
\boldsymbol{D}(\boldsymbol{r}, t)=\int_0^{\infty} \varepsilon(\boldsymbol{r}, \tau) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, t-\tau) d \tau,
$$
and a possibly similar relation between $\boldsymbol{B}$ and $\boldsymbol{H}$ with a time-dependent permeability $\mu$. In the following we consider time-harmonic fields, see Sect. 2.4. The convolution theorem of Fourier transforms then states that upon Fourier transformation the above relation becomes a product in frequency space,
$$
\boldsymbol{D}(\boldsymbol{r}, \omega)=\varepsilon(\boldsymbol{r}, \omega) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, \omega) .
$$
Note that we use the same symbols for the quantities in the time and frequency domain. In general we will work exclusively in either of these spaces, so there will be little danger of confusion. The neat thing about this transformation behavior is that Maxwell’s equations for time-harmonic fields, Eq. (2.34), look almost identical for frequency-dependent permittivities and permeabilities,

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \varepsilon(\boldsymbol{r}, \omega) \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, \omega) & =\rho_{\mathrm{ext}}(\boldsymbol{r}, \omega) \
\nabla \cdot \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}, \omega) & =0 \
\nabla \times \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, \omega) & =i \omega \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}, \omega) \
\nabla \times \mu^{-1}(\boldsymbol{r}, \omega) \boldsymbol{B}(\boldsymbol{r}, \omega) & =\boldsymbol{J}_{\mathrm{ext}}(\boldsymbol{r}, \omega)-i \omega \varepsilon \boldsymbol{E}(\boldsymbol{r}, \omega) .
\end{aligned}
$$
For this reason, practically everything we have discussed in the previous chapters about time-harmonic fields can be directly carried over to a frequency-dependent system response. Exceptions are the Poynting’s theorem, which we will revisit in the next section, and the fact that the permittivities and permeabilities acquire imaginary contributions associated with losses. For propagating and evanescent waves this leads to damping and attenuation.

For conductors and metals it is often convenient to incorporate the response of the conduction carriers into the permittivity. Above we have already seen how this can be done for a Drude dielectric function. In the general case we can generalize Ohm’s law for a frequency-dependent conductivity.

物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Poynting’s Theorem Revisited

In this section we revisit Poynting’s theorem for a linear medium, previously derived in Sect. 4.3, but account for dispersion and absorption effects. Quite generally, we expect two major modifications with respect to our previous result of Eq. (4.14):

• Because of dispersion the velocity of the energy flow becomes modified.
• Because of absorption the energy flow and density become attenuated during propagation.

In complete analogy to our previous derivation of Poynting’s theorem, we start with the power performed by the electromagnetic fields on a current distribution but now relate $\boldsymbol{J}{\text {ext }}$ to the fields $\boldsymbol{D}, \boldsymbol{H}$, $$ \frac{d W}{d t}=\int{\Omega} \boldsymbol{J}{\mathrm{ext}} \cdot \boldsymbol{E} d^3 r=\int{\Omega}\left(\nabla \times \boldsymbol{H}-\frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}\right) \cdot \boldsymbol{E} d^3 r .
$$
Using in the first term the transformation
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}=\boldsymbol{H} \cdot \nabla \times \boldsymbol{E}-\boldsymbol{E} \cdot \nabla \times \boldsymbol{H}=-\boldsymbol{H} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}-\boldsymbol{E} \cdot \nabla \times \boldsymbol{H}
$$
we are lead to
$$
\frac{d W}{d t}+\int_{\Omega}\left(\boldsymbol{E} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{D}}{\partial t}+\boldsymbol{H} \cdot \frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}\right) d^3 r=-\oint_{\partial \Omega} \boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H} \cdot d \boldsymbol{S} .
$$
This is Poynting’s theorem for the macroscopic Maxwell’s equations. The second term on the left-hand side can be associated with the energy stored in the electromagnetic fields, and the term on the right-hand side describes the energy transport through the Poynting vector $\boldsymbol{S}=\boldsymbol{E} \times \boldsymbol{H}$.

量子光学代考

物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Nonlocality in Time

在下文中，我们考虑时间上非局部的介电响应

丁(r,吨)=∫0∞电子(r,吨)和(r,吨−吨)d吨,
和之间可能相似的关系乙和H具有随时间变化的渗透率米. 在下文中，我们考虑时谐场，参见第 1 节。2.4. 傅里叶变换的卷积定理然后指出，在傅里叶变换后，上述关系成为频率空间中的乘积，

丁(r,哦)=电子(r,哦)和(r,哦).
请注意，我们对时域和频域中的量使用相同的符号。一般来说，我们将专门在这两个空间中的任何一个工作，因此不会有混淆的危险。这种变换行为的巧妙之处在于麦克斯韦的时谐场方程，Eq。(2.34)，看起来几乎与频率相关的介电常数和磁导率相同，

∇⋅电子(r,哦)和(r,哦)=r和X吨(r,哦) ∇⋅乙(r,哦)=0 ∇×和(r,哦)=一世哦乙(r,哦) ∇×米−1(r,哦)乙(r,哦)=杰和X吨(r,哦)−一世哦电子和(r,哦).
出于这个原因，实际上我们在前面章节中讨论的关于时谐场的所有内容都可以直接转移到与频率相关的系统响应中。例外情况是坡印廷定理（我们将在下一节中重新讨论）以及介电常数和磁导率获得与损耗相关的虚部贡献这一事实。对于传播波和倏逝波，这会导致阻尼和衰减。

对于导体和金属，将传导载流子的响应纳入介电常数通常很方便。上面我们已经看到如何为 Drude 介电函数完成此操作。在一般情况下，我们可以将欧姆定律概括为与频率相关的电导率。

物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Poynting’s Theorem Revisited

在本节中，我们将重新审视线性介质的 Poynting 定理，该定理先前在第 1 节中推导出来。4.3，但要考虑色散和吸收效应。一般而言，我们期望对我们之前的方程式结果进行两次重大修改。(4.14):

• 由于色散，能量流的速度发生了变化。
• 由于吸收，能量流和密度在传播过程中会衰减。

完全类似于我们之前对坡印亭定理的推导，我们从电磁场对电流分布执行的功率开始，但现在涉及杰分机 到田野丁,H,

d在d吨=∫哦杰和X吨⋅和d3r=∫哦(∇×H−∂丁∂吨)⋅和d3r.
在第一项中使用变换

∇⋅和×H=H⋅∇×和−和⋅∇×H=−H⋅∂乙∂吨−和⋅∇×H
我们会导致

d在d吨+∫哦(和⋅∂丁∂吨+H⋅∂乙∂吨)d3r=−∮∂哦和×H⋅d小号.
这就是宏观麦克斯韦方程组的坡印亭定理。左边的第二项可以与存储在电磁场中的能量相关联，右边的项描述通过坡印亭矢量的能量传输小号=和×H.

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