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物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Drude–Lorentz and Drude Models
The Drude-Lorentz model is one of the most simple description schemes for a dielectric function. It is based on a harmonic oscillator model, which can be modelled in the form of two oppositely charged particles attached to a spring, and the system is driven by an external electric field $E(t)$. Without specifying any details, we assume that a displacement $x(t)$ leads to a dipole moment $p(t)=e x(t)$. We start by writing down Newton’s equations of motion for the driven oscillator
$$
m \ddot{x}=-m \omega_0^2 x-m \gamma \dot{x}+e E(t) .
$$
Here $m$ and $e$ are the mass and charge of the oscillator, respectively, $\omega_0$ is the resonance frequency, and $\gamma$ the damping constant. We assume a time-harmonic electric field of the form
$$
E=E_0 e^{-i \omega t} .
$$
After an initial stage, the system oscillates with the same frequency $\omega$. Then, Eq. (7.4) can be rewritten in the form
$$
-\omega^2 x=-\omega_0^2 x+i \gamma \omega x+\frac{e E_0}{m},
$$
where we have cancelled the common exponential terms. The displacement can thus be written in the form
$$
x=\frac{e}{m} \frac{1}{\omega_0^2-\omega^2-i \gamma \omega} E_0
$$
This is the usual resonance dependence for a harmonic oscillator. It becomes largest when the frequency $\omega$ hits the resonance frequency $\omega_0$. On resonance, the amplitude is governed by the damping constant $\gamma$ and the amplitude of the driving field.
From the above expression we can compute the dipole moment $p=e x$ and, in turn, the polarization $P=$ nex by multiplying with the density of oscillators $n$ (remember that the polarization is a dipole density). We thus get
$$
P=n e x=\frac{n e^2}{m} \frac{1}{\omega_0^2-\omega^2-i \gamma \omega} E_0=\varepsilon_0 \chi_e E_0
$$
物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|From Microscopic to Macroscopic Electromagnetism
Electrodynamics in matter relies on the concepts of polarization and magnetization, which can be associated with electric and magnetic dipole densities. This approach works because the characteristic length scale of electromagnetic waves is on the order of micrometers, possibly a few tens to hundreds of nanometers for evanescent waves, whereas the relevant length scale for matter is in the nanometer range. For this reason, the fine details of matter play no important role for the dynamics of electromagnetic waves, which only interact with some kind of averaged matter state.
There exists no clear-cut definition of how an averaging over the microscopic charge and current distributions should be done. One could argue that this is because averaging is so robust that one always gets the same result irrespective of the starting expression. On the other hand, the whole issue of averaging is quite unrewarding as one finally has to end up with the macroscopic Maxwell’s equations anyhow. Our discussion of the topic closely follows the book of Jackson [2] and intends to make the reader familiar with the assumptions underlying such averaging, but also to raise awareness that it might fail at small dimensions where an explicit microscopic description might be needed.
We start our analysis with the microscopic Maxwell’s equations,
$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot \boldsymbol{e} & =\frac{\varrho}{\varepsilon_0}, & \nabla \times \boldsymbol{e} & =-\frac{\partial \boldsymbol{b}}{\partial t} \
\nabla \cdot \boldsymbol{b} & =0, & \nabla \times \boldsymbol{b} & =\mu_0 \boldsymbol{j}+\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{e}}{\partial t},
\end{aligned}
$$
where we use $\boldsymbol{e}, \boldsymbol{b}$ for the true microscopic fields and reserve $\boldsymbol{E}, \boldsymbol{B}$ for the averaged ones. $Q$ and $j$ are the microscopic charge and current distributions that we will describe in a semiclassical framework, although there would be no fundamental differences for a quantum mechanical description.
物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|Drude–Lorentz and Drude Models
Drude-Lorentz 模型是介电函数最简单的描述方案之一。它基于谐振子模型，可以用两个带相反电 荷的粒子附着在弹簧上的形式建模，系统由外部电场驱动 $E(t)$. 在不指定任何细节的情况下，我们 假设位移 $x(t)$ 导致偶极矩 $p(t)=e x(t)$. 我们首先写下驱动振荡器的牛顿运动方程
$$
m \ddot{x}=-m \omega_0^2 x-m \gamma \dot{x}+e E(t) .
$$
这里 $m$ 和 $e$ 分别是振苏器的质量和电荷， $\omega_0$ 是共振频率，和 $\gamma$ 阻尼常数。我们假设形式为时谐电场
$$
E=E_0 e^{-i \omega t} .
$$
在初始阶段之后，系统以相同的频率振荡 $\omega$. 然后，方程式。(7.4) 可以改写为
$$
-\omega^2 x=-\omega_0^2 x+i \gamma \omega x+\frac{e E_0}{m},
$$
我们已经取消了常见的指数项。因此，位移可以写成以下形式
$$
x=\frac{e}{m} \frac{1}{\omega_0^2-\omega^2-i \gamma \omega} E_0
$$
这是谐波振荡器通常的共振依赖性。它变得最大时的频率 $\omega$ 达到共振频率 $\omega_0$. 共振时，振幅由阻尼 常数决定 $\gamma$ 和驱动场的幅度。
从上面的表达式我们可以计算偶极矩 $p=e x$ 反过来，极化 $P=\operatorname{nex}$ 通过乘以振荡器的密度 $n$ (请 记住，极化是偶极子密度)。我们因此得到
$$
P=n e x=\frac{n e^2}{m} \frac{1}{\omega_0^2-\omega^2-i \gamma \omega} E_0=\varepsilon_0 \chi_e E_0
$$
物理代写|量子光学代写Quantum Optics代考|From Microscopic to Macroscopic Electromagnetism
物质中的电动力学依赖于极化和磁化的概念，这可能与电偶极子密度和磁偶极子密度有关。这种 方法之所以有效，是因为电磁波的特征长度尺度在微米量级，对于脩逝波来说可能是几十到几百 纳米，而物质的相关长度尺度在纳米范围内。出于这个原因，物质的细节对于电磁波的动力学没 有重要作用，它只与某种平均物质状态相互作用。
对于如何对微观电荷和电流分布进行平均，没有明确的定义。有人可能会争乵说，这是因为平均 法是如此稳健，以至于无论起始表达式如何，人们总是会得到相同的结果。另一方面，整个求平 均的问题是毫无意义的，因为无论如何最終都必须以宏观麦克斯韦方程组结束。我们对该主题的 讨论紧跟 Jackson [2] 的书，旨在让读者孰悉这种平均背后的假设，同时也提高人们的认识，即它 可能在可能需要明确的微观描述的小维度上失败。
我们从微观麦克斯韦方程组开始分析，
$$
\nabla \cdot \boldsymbol{e}=\frac{\varrho}{\varepsilon_0}, \quad \nabla \times \boldsymbol{e}=-\frac{\partial \boldsymbol{b}}{\partial t} \nabla \cdot \boldsymbol{b} \quad=0, \nabla \times \boldsymbol{b} \quad=\mu_0 \boldsymbol{j}+\mu_0 \varepsilon_0 \frac{\partial \boldsymbol{e}}{\partial t},
$$
我们在哪里使用 $e, b$ 为真正的微观领域和储备 $E, B$ 对于平均数。 $Q$ 和 $j$ 是我们将在半经典框架中描 述的微观电荷和电流分布，尽管对于量子力学描述没有根本区别。
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