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金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Numerical experiments with vanilla options
In this section, we price vanilla options with maturity $T=1$ under a local volatility model. The time-homogeneous local volatility function is inferred from the one-year implied volatility given in Table 2.1.
Interest rates and repos are zero, and the underlying delivers no dividend. We plot the estimator of the price and its standard deviation as functions of the time step $(1 / 2,1 / 4,1 / 8$, etc.), respectively, for $R-1$ (classical Euler scheme), $R=2$ (classical Romberg extrapolation), $R=3$ (iterated Romberg extrapolation with time steps $T / n, T /(2 n)$ and $T /(4 n)$ ), and $R=4$ (iterated Romberg extrapolation with time steps $T / n, T /(2 n), T /(4 n)$, and $T /(8 n))$. We use $# p=2^{18}$ paths in the Monte Carlo sampling.
Put
We first price a put option with strike $80 \%$; see Figures $2.1$ and $2.2$. The estimators of the price for $R=3$ and $R=4$ have very small bias, even for large time steps. However, the standard deviation of the price estimator for
$R=4$ is much larger than that for $R=1,2$, or 3 : the variance of the estimator is not yet controlled by the asymptotic variance. The waves on the price curve for $R=4$ are evidence of a large variance. Even for desirable time steps, such as $1 / 8$ or $1 / 16$, the standard deviation for $R=4$ is more than $1.5$ times those for $R=1$, 2, or 3 . For those time steps, the basic estimator $(R=1)$ shows a clear bias ( 17 and $11 \mathrm{bps}$, resp. 4 and $2.5$ standard deviations), whereas the estimators for $R=2$ ( 4 and $1 \mathrm{bps}$ ) and $R=3$ ( 2 and $5 \mathrm{bps}$ ) lie within the Monte Carlo error zone.
In Figure 2.3, in order to check how the bias of the price estimator depends on $R$, we plot
$$
\log {10}(1 / n) \mapsto \log {10} \mid \text { Estimator } r_R(1 / n) \text { – Exact Price } \mid
$$
for various values of $R$. For $R-1$, we distinguish three different regimes:
- for large time steps, the asymptotic regime $(n \rightarrow \infty)$ is not reached;
- for time steps smaller than $1 / 8$, we enter into the asymptotic regime: as expected, the graph is affine with a slope close to 1 ;
- for time steps smaller than $1 / 128$, the asymptotic regime is hidden by the Monte Carlo sampling error.
金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Numerical experiments with path-dependent options
Using iterated conditional expectations, one can easily see that expansion (2.14) remains valid for the Euler scheme for discretely monitored pathdependent options. One just needs to slightly adapt the scheme by adding the discrete observation dates involved in the payout of the option. However, if there are a lot of observation dates, the asymptotic regime may be visible only for very small time steps, that is, time steps smaller than the typical length of time between two observation dates. Here we consider a path-dependent option with a one-year maturity, and with 4 uniformly spread constatation dates $t_i$, i.e., one every 3 months. As in the previous section, we price under a local volatility modell, with a time-homogeneous local volatility function inferred from the one year implied volatility given in Table 2.1.
This option delivers $\left(K-\min {i \in{1,2,3,4}} X{t_i} / X_{t_0}\right)_{+}$. The estimated price and standard deviation are shown in Fignres $2.6$ and $2.7$. I ike for vanilla options, for $R=1$, we observe a linear behavior of the bias of the estimator as a function of the time step. We also distinguish the quadratic behavior of the estimator for $R=2$. This estimator has the most desirable properties: no visible bias for $\Delta t=1 / 8$ and $# p=2^{18}$, and almost no increase in variance, compared to $R=1$.
Of course, computational time matters a lot. For instance, in Figure 2.8, we plot the computational time (in arbitrary units) as a function of the time step for $R=1,2,3,4$, in the case of the lookback put option. Similar graphs were obtained for the vanilla options tested in the previous section. It takes less time to get an unbiased result (i.e., the bias is hidden by the sampling error) with $R=2$ and $\Delta t=1 / 8$ than it takes to get a biased result with $R=1$ and $\Delta t=1 / 64$. Hence, we definitely advise using the Romberg extrapolation with $R=2$ and a reasonably large time step.
期权理论代考
金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Numerical experiments with vanilla options
在本节中，我们为到期的普通期权定价 $T=1$ 在局部波动模型下。从表 $2.1$ 中给出的一年期隐含波 动率推导出时间齐次局部波动率函数。
利率和回购为零，标的物不提供股息。我们将价格的估计量及其标准差绘制为时间步长的函数 (1/2,1/4,1/8等)，分别为 $R-1$ (经典欧拉方案)， $R=2$ (经典的 Romberg 外推法)， $R=3$ （使用时间步长迭代 Romberg 外推 $T / n, T /(2 n)$ 和 $T /(4 n)$ )，和 $R=4$ (使用时间步长 迭代 Romberg 外推 $T / n, T /(2 n), T /(4 n)$ ，和 $T /(8 n))$. 我们用 #p # $^{\wedge}{18}$ 蒙特卡洛采样中的路 径。
我们首先为看跌期权定价 $80 \%$; 看图 $2.1$ 和 $2.2$. 价格的估算器 $R=3$ 和 $R=4$ 有非常小的偏差，即 使对于大的时间步长也是如此。然而，价格估计量的标准差
$R=4$ 远大于 $R=1,2$, 或 3 : 估计量的方差尚末由渐近方差控制。价格曲线上的波浪 $R=4$ 是大 方差的证据。即使对于理想的时间步长，例如 $1 / 8$ 或者 $1 / 16$ ，标准差为 $R=4$ 超过 $1.5$ 乘以那些 $R=1$ 、 2 或 3 。对于这些时间步长，基本估计器 $(R=1$ )显示出明显的偏差 ( 17 和11bps，分 别 4和 $2.5$ 标准差)，而估计量 $R=2$ ( 4 和 $1 \mathrm{bps})$ 和 $R=3$ (2和5bps) 位于蒙特卡洛淏差区 内。
在图 $2.3$ 中，为了检查价格估计器的偏差如何取决于 $R$, 我们绘制 $\$ \$$
$\backslash \log {10}(1 / n) \backslash$ mapsto $\backslash \log {10} \backslash$ mid $\backslash$ text ${$ Estimator $}$ r_R(1 / n) $\backslash$ text ${$ – Exact Price $} \backslash$ mid $\$ \$$
的各种值 $R$. 为了 $R-1$ ，我们区分三种不同的制度:
- 对于大时间步长，渐近状态 $(n \rightarrow \infty)$ 末达到;
- 对于小于的时间步长 $1 / 8$ ，我们进入渐近状态: 正如预期的那样，该图是仿射的，斜率接近 1
- 对于小于的时间步长 $1 / 128$ ，渐近状态被蒙特卡洛抽样误差隐藏。
金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Numerical experiments with path-dependent options
使用迭代条件期望，可以很容易地看出展开式 (2.14) 对于离散监控的路径相关选项的欧拉方案仍然 有效。只需要通过添加期权支付中涉及的禽散观察日期来稍微调整方案。然而，如果有很多观察 日期，渐近状态可能仅在非常小的时间步长内可见，即时间步长小于两个观察日期之间的典型时 间长度。在这里，我们考虑一个期限为一年且具有 4 个均匀分布的生效日期的路径相关期权 $t_i$ ，即 每 3 个月一次。与上一节一样，我们在局部波动率模型下定价，具有从表 $2.1$ 中给出的一年隐含波 动率推断出的时间同质局部波动率函数。
此选项提供 $\left(K-\min i \in 1,2,3,4 X t_i / X_{t_0}\right)_{+}$. 估计价格和标准偏差显示在 Fignres 中 $2.6$ 和 $2.7$. 我喜欢普通的选择，因为 $R=1$ ，我们观察到估计量偏差的线性行为是时间步长的函数。我们还 区分了估计量的二次行为 $R=2$. 该估计器具有最理想的特性: 没有明显的偏差 $\Delta t=1 / 8$ 和 $# \mathrm{p}=2^{\wedge}{18}$, 与相比，方差几乎没有增加 $R=1$.
当然，计算时间很重要。例如，在图 $2.8$ 中，我们将计算时间（以任意单位) 绘制为时间步长的函 数 $R=1,2,3,4$ ，在回湖看跌期权的情况下。上一节中测试的普通选项获得了类似的图表。获得 无偏结果所需的时间更少 (即，偏差被抽样误差隐藏) $R=2$ 和 $\Delta t=1 / 8$ 比得到有偏见的结果需 要 $R=1$ 和 $\Delta t=1 / 64$. 因此，我们绝对建议使用 Romberg 外推法 $R=2$ 和相当大的时间步长。
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