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金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Modeling the dynamics of implied volatility

Here we follow [180]. We take $\Phi(x)=(x-K)^{+}$, a call with fixed strike $K$, and we parameterize its market value by its implied volatility $\sigma_t^{T, K}$ defined by
$$
\Phi_t^T=\operatorname{BS}\left(\left(\sigma_t^{T, K}\right)^2(T-t), K \mid X_t\right)
$$
BS $\left(\sigma^2 T, K \mid X\right)$ denotes the Black-Scholes formula with variance $\sigma^2 T$, strike $K$, and $\operatorname{spot} X$ :
$$
\operatorname{BS}\left(\sigma^2 T, K \mid X\right)=X N\left(d_{+}\right)-K N\left(d_{-}\right)
$$
with
$$
d_{\pm}=\frac{\ln \frac{X}{K}}{\sigma \sqrt{T}} \pm \frac{\sigma \sqrt{T}}{2}
$$
$N(x)=\frac{1}{\sqrt{2 n}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{y^2}{2}} d y$ is the standard normal cumulative distribution function.
A straightforward application of Itô’s formula shows that $\Phi_t^T$ is a local martingale if and only if the implied volatility dynamics is given by
$$
d \sigma_t^{T, K}=u_t^{T, K} d t+v_t^{T, K} \cdot d W_t
$$
with the drift $u_t^{T, K}$ linked to the volatilities $\sigma_t^{T, K}$ and $v_t^{T, K}$ by
$$
\begin{aligned}
\sigma_t^{T, K} u_t^{T, K}(T-t)=\frac{1}{2}\left(\left(\sigma_t^{T, K}\right)^2-\right. & \left.\sigma_t^2\right)-\frac{1}{2}\left(v_t^{T, K}\right)^2 \frac{\left(\ln \frac{X_t}{K}\right)^2-\frac{1}{4}\left(\sigma_t^{T, K}\right)^4(T-t)}{\left(\sigma_t^{T, K}\right)^2} \

• & \sigma_t v_t^{T, K, 0} \frac{\ln \frac{X_t}{K}-\frac{1}{2}\left(\sigma_t^{T, K}\right)^2(T-t)}{\sigma_t^{T, K}}
  \end{aligned}
  $$

金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Modeling the dynamics of log-contract prices

Let us take $\Phi(x)=\ln x$ a log-contract payoff. In the Black-Scholes model with time-dependent volatility $\sigma(t)$, we have (left as an exercise to the reader)
$$
\Phi_t^T=\ln X_t-\frac{1}{2} \int_t^T \sigma(s)^2 d s
$$
Let us set
$$
\Phi_t^T=\ln X_t-\frac{1}{2} \int_t^T \xi_t^s d s
$$
for a family of processes $\left(\xi_t^u, u \geq t\right) . \Phi_t^T$ is a local martingale under the risk-neutral measure if and only if
$$
\sigma_t^2=\xi_t^t
$$
and the $\xi_t^s$ are local martingales:
$$
\begin{aligned}
d X_t & =X_t \sqrt{\xi_t^t} d W_t^0 \
d \xi_t^s & =\beta_t^s \cdot d W_t
\end{aligned}
$$
$\xi_t^s=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\xi_s^s \mid \mathcal{F}_t\right]=\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\sigma_s^2 \mid \mathcal{F}_t\right] \geq 0$ represents the forward instantaneous variance at time $s$, as seen at time $t \leq s$. If $\xi_t^s$ behaves nicely when $s \rightarrow T$, condition (3.3) is automatically satisfied. We can trace back the creation of the notion of forward variance, forward instantaneous variance, and variance swaps to Dupire [94]. Bergomi [57] uses this framework to build a variance swap model that admits a low-dimensional Markovian representation, and which is now widely used in the industry:
$$
d \xi_t^T=\sigma\left(t, T, \xi_t^T\right) d W_t
$$

期权理论代考

金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Modeling the dynamics of implied volatility

在这里，我们遵循 [180]。我们采取 $\Phi(x)=(x-K)^{+}$，固定罢工的电话 $K$ ，我们通过隐含波动率 将其市场价值参数化 $\sigma_t^{T, K}$ 被定义为
$$
\Phi_t^T=\operatorname{BS}\left(\left(\sigma_t^{T, K}\right)^2(T-t), K \mid X_t\right)
$$
学士 $\left(\sigma^2 T, K \mid X\right)$ 表示具有方差的 Black-Scholes 公式 $\sigma^2 T$ ， 罢工 $K$ ， 和spot $X$ :
$$
\operatorname{BS}\left(\sigma^2 T, K \mid X\right)=X N\left(d_{+}\right)-K N\left(d_{-}\right)
$$
和
$$
d_{\pm}=\frac{\ln \frac{X}{K}}{\sigma \sqrt{T}} \pm \frac{\sigma \sqrt{T}}{2}
$$
$N(x)=\frac{1}{\sqrt{2 n}} \int_{-\infty}^x e^{-\frac{y^2}{2}} d y$ 是标准正态累积分布函数。
Itô 公式的直接应用表明 $\Phi_t^T$ 是局部鞅当且仅当隐含波动率动态由下式给出
$$
d \sigma_t^{T, K}=u_t^{T, K} d t+v_t^{T, K} \cdot d W_t
$$
随着漂移 $u_t^{T, K}$ 与波动性有关 $\sigma_t^{T, K}$ 和 $v_t^{T, K}$ 通过

金融代写|期权定价理论代写Option Pricing Theory代考|Modeling the dynamics of log-contract prices

让我们拿 $\Phi(x)=\ln x$ 对数合同收益。在具有时间相关波动率的 Black-Scholes 模型中 $\sigma(t)$ ，我们 有 (留给读者练习)
$$
\Phi_t^T=\ln X_t-\frac{1}{2} \int_t^T \sigma(s)^2 d s
$$
让我们设定
$$
\Phi_t^T=\ln X_t-\frac{1}{2} \int_t^T \xi_t^s d s
$$
对于一系列流程 $\left(\xi_t^u, u \geq t\right) \cdot \Phi_t^T$ 是风险中性测度下的局部鞅当且仅当
$$
\sigma_t^2=\xi_t^t
$$
和 $\xi_t^s$ 是当地的鞅:
$$
d X_t=X_t \sqrt{\xi_t^t} d W_t^0 d \xi_t^s \quad=\beta_t^s \cdot d W_t
$$
$\xi_t^s=\mathbb{E}^Q\left[\xi_s^s \mid \mathcal{F}_t\right]=\mathbb{E}^Q\left[\sigma_s^2 \mid \mathcal{F}_t\right] \geq 0$ 表示时间的前向瞬时方差 $s$, 如当时所见 $t \leq s$. 如果 $\xi_t^s$ 表 现很好的时候 $s \rightarrow T$ ，条件 (3.3) 自动满足。我们可以追湖到前向方差、前向瞬时方差和方差交换 概念的创建到 Dupire [94]。Bergomi [57] 使用这个框架构建了一个方差交换模型，该模型承认低 维马尔可夫表示，现在在业界广泛使用:
$$
d \xi_t^T=\sigma\left(t, T, \xi_t^T\right) d W_t
$$

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