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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Wishart Distribution
The Wishart distribution (named after its discoverer) plays a prominent role in the analysis of the estimated covariance matrices. If the mean of $X \sim N_p(\mu, \Sigma)$ is known to be $\mu=0$, then for a data matrix $\mathcal{X}(n \times p)$ the estimated covariance matrix is proportional to $\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}$. This is the point where the Wishart distribution comes in, because $\mathcal{M}(p \times p)=\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}=\sum_{i=1}^n x_i x_i^{\top}$ has a Wishart distribution $W_p(\Sigma, n)$.
Example 5.4 Set $p=1$, then for $X \sim N_1\left(0, \sigma^2\right)$ the data matrix of the observations
$$
\mathcal{X}=\left(x_1, \ldots, x_n\right)^{\top} \quad \text { with } \mathcal{M}=\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}=\sum_{i=1}^n x_i x_i
$$
leads to the Wishart distribution $W_1\left(\sigma^2, n\right)=\sigma^2 \chi_n^2$. The one-dimensional Wishart distribution is thus in fact a $\chi^2$ distribution.
When we talk about the distribution of a matrix, we mean of course the joint distribution of all its elements. More exactly: since $\mathcal{M}=\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}$ is symmetric we only need to consider the elements of the lower triangular matrix
Hence the Wishart distribution is defined by the distribution of the vector
$$
\left(m_{11}, \ldots, m_{p 1}, m_{22}, \ldots, m_{p 2}, \ldots, m_{p p}\right)^{\top} .
$$
Linear transformations of the data matrix $\mathcal{X}$ also lead to Wishart matrices.
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Hotelling’s T2-Distribution
Suppose that $Y \in \mathbb{R}^p$ is a standard normal random vector, i.e., $Y \sim N_p(0, \mathcal{I})$, independent of the random matrix $\mathcal{M} \sim W_p(\mathcal{I}, n)$. What is the distribution of $Y^{\top} \mathcal{M}^{-1} Y$ ? The answer is provided by the Hotelling $T^2$-distribution: $n Y^{\top} \mathcal{M}^{-1} Y$ is Hotelling $T_{p, n}^2$ distributed.
The Hotelling $T^2$-distribution is a generalization of the Student $t$-distribution. The general multinormal distribution $N(\mu, \Sigma)$ is considered in Theorem 5.8. The Hotelling $T^2$-distribution will play a central role in hypothesis testing in Chap. 7.
Theorem 5.8 If $X \sim N_p(\mu, \Sigma)$ is independent of $\mathcal{M} \sim W_p(\Sigma, n)$, then
$$
n(X-\mu)^{\top} \mathcal{M}^{-1}(X-\mu) \sim T_{p, n}^2 .
$$
Corollary 5.3 If $\bar{x}$ is the mean of a sample drawn from a normal population $N_p(\mu, \Sigma)$ and $\mathcal{S}$ is the sample covariance matrix, then
$$
(n-1)(\bar{x}-\mu)^{\top} \mathcal{S}^{-1}(\bar{x}-\mu)=n(\bar{x}-\mu)^{\top} \mathcal{S}u^{-1}(\bar{x}-\mu) \sim T{p, n-1}^2 .
$$
Recall that $\mathcal{S}u=\frac{n}{n-1} \mathcal{S}$ is an unbiased estimator of the covariance matrix. A connection between the Hotelling $T^2$ – and the $F$-distribution is given by the next theorem. Theorem $5.9$ $$ T{p, n}^2=\frac{n p}{n-p+1} F_{p, n-p+1} .
$$
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|The Wishart Distribution
Wishart 分布 (以其发现者的名字命名) 在估计协方差矩阵的分析中起着重要作用。如果均值 $X \sim N_p(\mu, \Sigma)$ 众所周知 $\mu=0$, 那么对于一个数据矩阵 $\mathcal{X}(n \times p)$ 估计的协方差矩阵与 $\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}$. 这就 是 Wishart 分布的用武之地，因为 $\mathcal{M}(p \times p)=\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}=\sum_{i=1}^n x_i x_i^{\top}$ 服从 Wishart 分布 $W_p(\Sigma, n)$
示例 $5.4$ 设置 $p=1$ ，那么对于 $X \sim N_1\left(0, \sigma^2\right)$ 观察的数据矩阵
$$
\mathcal{X}=\left(x_1, \ldots, x_n\right)^{\top} \quad \text { with } \mathcal{M}=\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}=\sum_{i=1}^n x_i x_i
$$
导致 Wishart 分布 $W_1\left(\sigma^2, n\right)=\sigma^2 \chi_n^2$. 因此，一维 Wishart 分布实际上是 $\chi^2$ 分配。
当我们谈论矩阵的分布时，我们当然指的是它所有元拜的联合分布。更确切地说: 因为 $\mathcal{M}=\mathcal{X}^{\top} \mathcal{X}$ 是对称的我们只需要考虑下三角矩阵的元䋤
因此，Wishart 分布由向量的分布定义
$$
\left(m_{11}, \ldots, m_{p 1}, m_{22}, \ldots, m_{p 2}, \ldots, m_{p p}\right)^{\top} .
$$
数据矩阵的线性变换 $\mathcal{X}$ 也导致 Wishart 矩阵。
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Hotelling’s T2-Distribution
假设 $Y \in \mathbb{R}^p$ 是标准正态随机向量，即 $Y \sim N_p(0, \mathcal{I})$, 独立于随机矩阵 $\mathcal{M} \sim W_p(\mathcal{I}, n)$. 什么是分 布 $Y^{\top} \mathcal{M}^{-1} Y$ ? 答案由Hotelling提供 $T^2$-分配: $n Y^{\top} \mathcal{M}^{-1} Y$ 是霍特林 $T_{p, n}^2$, 分散式。
旅馆 $T^2$-分布是学生的概括 $t$-分配。一般多重正态分布 $N(\mu, \Sigma)$ 在定理 $5.8$ 中考虑。旅馆 $T^2$-分布 将在第 1 章的假设检验中发挥核心作用。 7.
定理5.8如果 $X \sim N_p(\mu, \Sigma)$ 独立于 $\mathcal{M} \sim W_p(\Sigma, n)$ ， 然后
$$
n(X-\mu)^{\top} \mathcal{M}^{-1}(X-\mu) \sim T_{p, n}^2 .
$$
推论 $5.3$ 如果 $\bar{x}$ 是从正常人群中抽取的样本的平均值 $N_p(\mu, \Sigma)$ 和 $\mathcal{S}$ 是样本协方差矩阵，则
$$
(n-1)(\bar{x}-\mu)^{\top} \mathcal{S}^{-1}(\bar{x}-\mu)=n(\bar{x}-\mu)^{\top} \mathcal{S} u^{-1}(\bar{x}-\mu) \sim T p, n-1^2 .
$$
回顾 $\mathcal{S u}=\frac{n}{n-1} \mathcal{S}$ 是协方差矩阵的无偏估计量。Hotelling之间的联系 $T^2-$ 和 $F$-分布由下一个定理 给出。定理5.9
$$
T p, n^2=\frac{n p}{n-p+1} F_{p, n-p+1} .
$$
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