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统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Student’s t-distribution
The $t$-distribution was first analyzed by Gosset (1908) who published it under pseudonym “Student” by request of his employer. Let $X$ be a normally distributed random variable with mean $\mu$ and variance $\sigma^2$, and $Y$ be the random variable such that $Y^2 / \sigma^2$ has a chi-square distribution with $n$ degrees of freedom. Assume that $X$ and $Y$ are independent, then
$$
t \stackrel{\text { def }}{=} \frac{X \sqrt{n}}{Y}
$$
is distributed as Student’s $t$ with $n$ degrees of freedom. The $t$-distribution has the following density function :
$$
f_t(x ; n)=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n \pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}
$$
where $n$ is the number of degrees of freedom, $-\infty4)$ are
$$
\begin{aligned}
\mu & =0 \
\sigma^2 & =\frac{n}{n-2} \
\text { Skewness } & =0 \
\text { Kurtosis } & =3+\frac{6}{n-4}
\end{aligned}
$$
The $t$-distribution is symmetric around 0 , which is consistent with the fact that its mean is 0 and skewness is also 0 (Fig. 4.8).
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Copulae
The cumulative distribution function (cdf) of a two-dimensional vector $\left(X_1, X_2\right)$ is given by
$$
F\left(x_1, x_2\right)=\mathrm{P}\left(X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2\right) .
$$
For the case that $X_1$ and $X_2$ are independent, their joint cumulative distribution function $F\left(x_1, x_2\right)$ can be written as a product of their 1-dimensional marginals:
$$
F\left(x_1, x_2\right)=F_{X_1}\left(x_1\right) F_{X_2}\left(x_2\right)=\mathrm{P}\left(X_1 \leq x_1\right) \mathrm{P}\left(X_2 \leq x_2\right) .
$$
But how can we model dependence of $X_1$ and $X_2$ ? Most people would suggest linear correlation. Correlation is though an appropriate measure of dependence only when the random variables have an elliptical or spherical distribution, which include the normal multivariate distribution. Although the terms “correlation” and “dependency” are often used interchangeably, correlation is actually a rather imperfect measure of dependency, and there are many circumstances where correlation should not be used. Copulae represent an elegant concept of connecting marginals with joint cumulative distribution functions. Copulae are functions that join or “couple” multivariate distribution functions to their 1-dimensional marginal distribution functions. Let us consider a $d$-dimensional vector $X=\left(X_1, \ldots, X_d\right)^{\top}$. Using copulae, the marginal distribution functions $F_{X_i}(i=1, \ldots, d)$ can be separately modeled from their dependence structure and then coupled together to form the multivariate distribution $F_X$. Copula functions have a long history in probability theory and statistics. Their application in finance is very recent. Copulae are important in Value-at-Risk calculations and constitute an essential tool in quantitative finance (Härdle et al. 2009).
First let us concentrate on the two-dimensional case, then we will extend this concept to the $d$-dimensional case, for a random variable in $\mathbb{R}^d$ with $d \geq 1$. To be able to define a copula function, first we need to represent a concept of the volume of a rectangle, a 2-increasing function and $a$ grounded function.
Let $U_1$ and $U_2$ be two sets in $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup{+\infty} \cup{-\infty}$ and consider the function $F: U_1 \times U_2 \longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Student’s t-distribution
这 $t$-分布首先由 Gosset (1908) 分析，他应其雇主的要求以化名”Student”发表了它。让 $X$ 是均值为 正态分布的随机变量 $\mu$ 和方差 $\sigma^2$ ，和 $Y$ 是这样的随机变量 $Y^2 / \sigma^2$ 具有卡方分布 $n$ 自由程度。假 使，假设 $X$ 和 $Y$ 是独立的，那么
$$
t \stackrel{\text { def }}{=} \frac{X \sqrt{n}}{Y}
$$
作为学生分发 $t$ 和 $n$ 自由程度。这 $t$-分布具有以下密度函数:
$$
f_t(x ; n)=\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n \pi} \Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\frac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}
$$
在哪里 $n$ 是自由度数， $-\infty 4)$ 是
$$
\mu=0 \sigma^2 \quad=\frac{n}{n-2} \text { Skewness }=0 \text { Kurtosis } \quad=3+\frac{6}{n-4}
$$
这 $t$ – 分布围绕 0 对称，这与其均值为 0 且偏度也为 0 的事实一致 (图 4.8)。
统计代写|多元统计分析代写Multivariate Statistical Analysis代考|Copulae
二维向量的畧积分布函数 (cdf) $\left(X_1, X_2\right)$ 是 (谁) 给的
$$
F\left(x_1, x_2\right)=\mathrm{P}\left(X_1 \leq x_1, X_2 \leq x_2\right) .
$$
对于这种情况 $X_1$ 和 $X_2$ 是独立的，它们的联合㽧积分布函数 $F\left(x_1, x_2\right)$ 可以写成它们的一维边缘的 乘积:
$$
F\left(x_1, x_2\right)=F_{X_1}\left(x_1\right) F_{X_2}\left(x_2\right)=\mathrm{P}\left(X_1 \leq x_1\right) \mathrm{P}\left(X_2 \leq x_2\right) .
$$
但是我们怎样才能对依赖建模 $X_1$ 和 $X_2$ ? 大㝖数人会建议线性相关。只有当随机变量具有椭圆或球 形分布（包括正态多元分布) 时，相关性才是相关性的适当度量。尽管术语“相关性”和”依赖性”经 常互换使用，但相关性实际上是一种相当不完善的依赖性度量，在许多情况下不应使用相关性。 Copulae 代表了连接边缘和联合嫘积分布函数的优雅概念。Copulae 是将多元分布函数连接或”耦 合”到它们的一维边际分布函数的函数。让我们考虑一个 $d$ 维向量 $X=\left(X_1, \ldots, X_d\right)^{\top}$. 使用 copulae，边缘分布函数 $F_{X_i}(i=1, \ldots, d)$ 可以从它们的依赖结构中单独建模，然后耦合在一起形 成客元分布 $F_X$. Copula 函数在概率论和統计学中有若悠久的历史。他们在金融领域的应用是最近 才出现的。Copulae 在风险价值计算中很重要，是量化金融中的重要工具 (Härdle 等人，2009 年)。
首先让我们专注于二维情况，然后我们将这个概念扩展到 $d$-dimensional 情况下，对于一个随机变 量 $\mathbb{R}^d$ 和 $d \geq 1$. 为了能够定义一个 copula 函数，首先我们需要表示一个矩形体积的概念，一个 2increasing 函数和 $a$ 接地功能。
让 $U_1$ 和 $U_2$ 是两个集合 $\overline{\mathbb{R}}=\mathbb{R} \cup+\infty \cup-\infty$ 并考虑功能 $F: U_1 \times U_2 \longrightarrow \overline{\mathbb{R}}$
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