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数学代写|概率论代写Probability theory代考|Independence and Conditional Expectation
The product space introduced in Definition $4.10 .5$ gives a model for compounding two independent experiments into one. This section introduces the notion of conditional expectations, which is a more general method of compounding probability spaces.
Definition 5.6.1. Independent set of r.v.’s. Let $(\Omega, L, E)$ be a probability space. A finite set $\left{X_1, \ldots, X_n\right}$ of r.v.’s where $X_i$ has values in a complete metric space $\left(S_i, d_i\right)$, for each $i=1, \ldots, n$, is said to be independent if
$$
E f_1\left(X_1\right) \ldots f_n\left(X_n\right)=E f_1\left(X_1\right) \ldots E f_n\left(X_n\right)
$$
for each $f_1 \in C_{u b}\left(S_1\right), \ldots, f_n \in C_{u b}\left(S_n\right)$. In that case, we will also simply say that $X_1, \ldots, X_n$ are independent r.v.’s. A sequence of events $A_1, \ldots, A_n$ is said to be independent if their indicators $1_{A(1)}, \ldots, 1_{A(n)}$ are independent r.r.v.’s.
Án arbitrary set of r.v.’s is said to be independent if every finite subset is independent.
Proposition 5.6.2. Independent r.v’s from product space. Let $F_1, \ldots, F_n$ be distributions on the locally compact metric spaces $\left(S_1, d_1\right), \ldots,\left(S_n, d_n\right)$, respectively. Let $(S, d) \equiv\left(S_1 \times \ldots, S_n, d_1 \otimes \ldots \otimes d_n\right)$ be the product metric space. Consider the product integration space
$$
(\Omega, L, E) \equiv\left(S, L, F_1 \otimes \cdots \otimes F_n\right) \equiv \bigotimes_{j=1}^n\left(S_j, L_j, F_j\right),
$$
where $\left(S_i, L_i, F_i\right)$ is the probability space that is the completion of $\left(S_i, C_{u b}\left(S_i\right), F_i\right)$, for each $i=1, \ldots, n$. Then the following conditions hold:
- Let $i=1, \ldots, n$ be arbitrary. Define the coordinate $r v . X_i: \Omega \rightarrow S_i$ by $X_i(\omega) \equiv \omega_i$ for each $\omega \equiv\left(\omega_1, \ldots, \omega_n\right) \in \Omega$. Then the rv’s $X_1, \ldots, X_n$ are independent. Moreover, $X_i$ induces the distribution $F_i$ on $\left(S_i, d_i\right)$ for each $i=$ $1, \ldots, n$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Characteristic Function
In previous sections we analyzed distributions $J$ on a locally compact metric space $(S, d)$ in terms of their values $J g$ at basis functions $g$ in a partition of unity. In the special case where $(S, d)$ is the Euclidean space $R$, the basis functions can be replaced by the exponential functions $h_\lambda$, where $\lambda \in R$, where $h_\lambda(x) \equiv e^{i \lambda x}$ for each $x \in R$, and where $i \equiv \sqrt{-1}$. The result is characteristic functions, which are most useful in the study of distributions of r.r.v.’s.
The classical development of this tool, such as in [Chung 1968] or [Loeve 1960], is constructive, except for infrequent and nonessential appeals to the principle of infinite search. The bare essentials of this material are presented here for completeness and for ease of reference. The reader who is familiar with the topic and is comfortable with the notion that the classical treatment is constructive, or easily made so, can skip over this and the next section and come back only for reference.
We will be working with complex-valued measurable functions. Let $\mathbb{C}$ denote the complex plane equipped with the usual metric.
Definition 5.8.1. Complex-valued integrable function. Let $I$ be an integration on a locally compact metric space $(S, d)$, and let $(S, \Lambda, I)$ denote the completion of the integration space $(S, C(S), I)$. A function $X \equiv I U+i I V: S \rightarrow \mathbb{C}$ whose real part $U$ and imaginary part $V$ are measurable on $(S, \Lambda, I)$ is said to be measurable on $(S, \Lambda, I)$. If both $U, V$ are integrable, then $X$ is said to be integrable, with integral $I X \equiv I U+i I V$.
概率论代考
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Independence and Conditional Expectation
Definition中引入的乘积空间 $4.10 .5$ 给出了将两个独立实验合二为一的模型。本节介绍条件期望的 概念，这是一种更通用的复合概率空间方法。
定义 5.6.1。独立的房车。让 $(\Omega, L, E)$ 成为一个概率空间。有限集 $\backslash$ left{X_1, \dots, X_n〕right $}$ ]房车的 位置 $X_i$ 在完备度量空间中有值 $\left(S_i, d_i\right)$ ，对于每个 $i=1, \ldots, n$ ，据说是独立的如果
$$
E f_1\left(X_1\right) \ldots f_n\left(X_n\right)=E f_1\left(X_1\right) \ldots E f_n\left(X_n\right)
$$
每个 $f_1 \in C_{u b}\left(S_1\right), \ldots, f_n \in C_{u b}\left(S_n\right)$. 在那种情况下，我们也将简单地说 $X_1, \ldots, X_n$ 是独立 的房车。一系列事件 $A_1, \ldots, A_n$ 据说是独立的，如果他们的指标 $1_{A(1)}, \ldots, 1_{A(n)}$ 是独立的rv。 如果每个有限子集都是独立的，则称任意一组 rv 是独立的。
提案 5.6.2。来自产品空间的独立房车。让 $F_1, \ldots, F_n$ 是局部紧度量空间上的分布 $\left(S_1, d_1\right), \ldots,\left(S_n, d_n\right)$ ，分别。让 $(S, d) \equiv\left(S_1 \times \ldots, S_n, d_1 \otimes \ldots \otimes d_n\right)$ 是乘积度量空间。 考虑产品集成空间
$$
(\Omega, L, E) \equiv\left(S, L, F_1 \otimes \cdots \otimes F_n\right) \equiv \bigotimes_{j=1}^n\left(S_j, L_j, F_j\right)
$$
在哪里 $\left(S_i, L_i, F_i\right)$ 是完成的概率空间 $\left(S_i, C_{u b}\left(S_i\right), F_i\right)$ ，对于每个 $i=1, \ldots, n$. 那么以下条件成 立:
- 让 $i=1, \ldots, n$ 是任意的。定义坐标 $r v . X_i: \Omega \rightarrow S_i$ 经过 $X_i(\omega) \equiv \omega_i$ 每个 $\omega \equiv\left(\omega_1, \ldots, \omega_n\right) \in \Omega$. 然后是房车 $X_1, \ldots, X_n$ 是独立的。而且， $X_i$ 诱导分布 $F_i$ 上 $\left(S_i, d_i\right)$ 每个 $i=1, \ldots, n$
数学代写|概率论代写Probability theory代考|Characteristic Function
在前面的部分中，我们分析了分布 $J$ 在局部紧度量空间 $(S, d)$ 在他们的价值观方面 $J g$ 在基函数 $g$ 在 统一的分区中。在特殊情况下 $(S, d)$ 是欧氏空间 $R$, 基函数可以用指数函数代菖 $h_\lambda$ ，在哪里 $\lambda \in R$ ，在哪里 $h_\lambda(x) \equiv e^{i \lambda x}$ 每个 $x \in R$, 在哪里 $i \equiv \sqrt{-1}$. 结果是特征函数，它在 $\operatorname{rrv}$ 分布的研究中最 有用。
该工具的经典开发，例如 [Chung 1968] 或 [Loeve 1960]，是建设性的，除了不经常和非必要地诉 诸无限搜索原则。为了完整性和便于参考，此处提供了该材料的基本要点。熟悉该主题并且对经 典处理具有建设性或易于实现的概念感到满意的读者可以跳过本节和下一节，返回仅供参考。
我们将使用复值可测量函数。让袭示配备常用度量的复平面。
定义 5.8.1。复值可积函数。让 $I$ 是局部紧度量空间上的积分 $(S, d)$ ，然后让 $(S, \Lambda, I)$ 表示积分空 间的完成 $(S, C(S), I)$. 一个功能 $X \equiv I U+i I V: S \rightarrow \mathbb{C}$ 谁的真实部分 $U$ 和虚部 $V$ 是可衡量的 $(S, \Lambda, I)$ 据说是可测量的 $(S, \Lambda, I)$. 如果两者 $U, V$ 是可积的，那么 $X$ 据说是可积的，具有积分 $I X \equiv I U+i I V$
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