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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Existence and Uniqueness Theorem

Let $U \subseteq \mathbb{R}^n$ be an open connected set, $I \subseteq \mathbb{R}$ be an interval, and $f: I \times U \rightarrow \mathbb{R}^n$ be at least continuous. We may write $\boldsymbol{f}=\left(f_1, \ldots, f_n\right)$. Consider an initial value problem for a first order system of differential equations given by
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\boldsymbol{f}(t ; \boldsymbol{x}(t) ; \boldsymbol{b}), \quad \text { with } x\left(t_0\right)=\boldsymbol{a}, \quad \text { for }\left(t_0, x_0\right) \in I \times U,
$$
where $\boldsymbol{a}=\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in \mathbb{R}^n$ is the vector of initial values assigned at $t=t_0 \in I$. As in the case when $n=1$, in geometrical terms, the graph $\Gamma_x$ of the function $x=\boldsymbol{x}(t)$ is a curve in $\mathbb{R}^{n+1}$, and $f$ defines a direction field in the domain $I \times U$ such that, if $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{f}(s, \boldsymbol{y})$, then the vector $(1, \boldsymbol{c}) \in \mathbb{R}^{n+1}$ or, equivalently, the line
$$
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}+(t-s) \boldsymbol{c}
$$
gives a direction at the point $(s, y) \in I \times U$. The graphs of solutions of the system $\boldsymbol{x}^{\prime}(t)=\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ fits on the direction field. The existence and uniqueness theorem for the initial value problem (3.5.6), as given below, is very useful to solve many practical problems concerning different types of dynamical systems.

Theorem $3.18$ (Existence Theorem) Let $U \subset \mathbb{R}^n$ and $V \subset \mathbb{R}^k$ be open sets, $c>$ 0 , and $f_i \in C^1[(-c, c) \times V \times U]$, for $i=1, \ldots, n$. Consider a first order system as in (3.5.4), with time-dependent parameters $\boldsymbol{b}=\left(b_1, \ldots, b_k\right) \in V$. For any $\boldsymbol{a}=$ $\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in U$, there exists $n$ smooth functions $x_i=x_i(t ; b):(-\delta, \varepsilon) \times V \rightarrow \mathbb{R}$ satisfying the system, and also the initial values given by
$$
x_i(0, b)=a_i, \text { for } i=1, \ldots, n .
$$
Proof The statement of the theorem is a straightforward generalisation of Theorem 3.1, and so the proof requires minor modifications. The details are left for the reader as an exercise.

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Linear Systems

Notice that, by introducing new dependent variables $x_1$ and $x_2$, the second order Eq. (3.3.26) can be written as a first order system given by

$$
\begin{aligned}
& x_1^{\prime}(t)=x_2(t) ; \
& x_2^{\prime}(t)=-\frac{c}{m} x_2(t)-\frac{k}{m} x_1(t)+\frac{a_0}{m} \sin \omega t .
\end{aligned}
$$
We can also write (3.5.9) in vector form as
$$
\begin{aligned}
& A=\left(\begin{array}{cc}
0 & 1 \
-k / c-c / m
\end{array}\right) \text { and } \boldsymbol{b}(t)=\left(\begin{array}{c}
0 \
\left(a_0 / m\right) \sin \omega t
\end{array}\right) \text {. } \
&
\end{aligned}
$$
For many applications related to dynamical system, it is desirable to have a differential equation model given by a linear system.

Definition 3.27 For a given $n \times n$ matrix function $A: I \rightarrow \mathbb{R}^{n^2}$, with $n^2$ entries $a_{i j} \in C(I)$, and a function $g: I \rightarrow \mathbb{R}^n$, a linear system of order $n$ for a differentiable function $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a first order system of the form
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=A \cdot \boldsymbol{x}+g,
$$
where both $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ and $g=\left(g_1, \ldots, g_n\right)$ are taken as column vectors. The matrix $A=A(t)$ is called the coefficients matrix of the linear system. We say (3.5.11) is a homogeneous linear system if $g \equiv 0$. Otherwise, it is called a nonhomogeneous linear system.
For example, the initial value problem
$$
x^{\prime}(t)=a x(t), \quad \text { with } x(0)=x_0 .
$$
defines a dynamical system given by the smooth function $\varphi_t\left(x_0\right)=x_0 \mathrm{e}^{a t}$. In general, by taking a square matrix $A$ of order $n$ in place of the scalar $a$, and a vector function $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ for $x=x(t)$, we obtain a dynamical system given by an initial value problems for a first order linear system of the form (3.5.11) (with $g \equiv 0$ ). Clearly, by using
$$
\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})=A \cdot \boldsymbol{x}+\boldsymbol{g}, \text { for } t \in I,
$$
every first order linear system is a system of the form (3.5.4).

偏微分方程代考

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Existence and Uniqueness Theorem

让 $U \subseteq \mathbb{R}^n$ 是一个开连通集， $I \subseteq \mathbb{R}$ 是一个区间，并且 $f: I \times U \rightarrow \mathbb{R}^n$ 至少是连续的。我们可以 写 $\boldsymbol{f}=\left(f_1, \ldots, f_n\right)$. 考虑由下式给出的一阶微分方程组的初值问题
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=\boldsymbol{f}(t ; \boldsymbol{x}(t) ; \boldsymbol{b}), \quad \text { with } x\left(t_0\right)=\boldsymbol{a}, \quad \text { for }\left(t_0, x_0\right) \in I \times U,
$$
在哪里 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in \mathbb{R}^n$ 是分配给初始值的向量 $t=t_0 \in I$. 就像在这种情况下 $n=1$, 在几 何术语中，图形 $\Gamma_x$ 功能的 $x=\boldsymbol{x}(t)$ 是一条曲线 $\mathbb{R}^{n+1}$ ，和 $f$ 在域中定义一个方向场 $I \times U$ 这样，如 果 $\boldsymbol{c}=\boldsymbol{f}(s, \boldsymbol{y})$ ，那么向量 $(1, \boldsymbol{c}) \in \mathbb{R}^{n+1}$ 或者，等效地，行
$$
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}+(t-s) \boldsymbol{c}
$$
在该点给出方向 $(s, y) \in I \times U$. 系统解的图形 $\boldsymbol{x}^{\prime}(t)=\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ 适合方向场。初值问题 (3.5.6) 的存 在唯一性定理，如下所示，对于解决涉及不同类型动力系统的许多实际问题非常有用。
定理3.18 (存在定理) 让 $U \subset \mathbb{R}^n$ 和 $V \subset \mathbb{R}^k$ 是开集， $c>0$ 和 $f_i \in C^1[(-c, c) \times V \times U]$ ，为 了 $i=1, \ldots, n$. 考虑如 (3.5.4) 中的一阶系统，具有时间相关参数 $\boldsymbol{b}=\left(b_1, \ldots, b_k\right) \in V$. 对于任 何 $\boldsymbol{a}=\left(a_1, \ldots, a_n\right) \in U$ ， 那里存在 $n$ 平滑函数 $x_i=x_i(t ; b):(-\delta, \varepsilon) \times V \rightarrow \mathbb{R}$ 满足系统，以 及由给出的初始值
$$
x_i(0, b)=a_i, \text { for } i=1, \ldots, n .
$$
证明 定理的陈述是定理 $3.1$ 的直接推广，因此证明需要稍作修改。细节留给读者作为练习。

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Linear Systems

请注意，通过引入新的因变量 $x_1$ 和 $x_2$ ，二阶方程式。(3.3.26) 可以写成由下式给出的一阶系统
$$
x_1^{\prime}(t)=x_2(t) ; \quad x_2^{\prime}(t)=-\frac{c}{m} x_2(t)-\frac{k}{m} x_1(t)+\frac{a_0}{m} \sin \omega t .
$$
我们也可以将 (3.5.9) 写成向量形式
对于与动力系统相关的许多应用，布望有一个由线性系统给出的微分方程模型。
定义 $3.27$ 对于给定的 $n \times n$ 矩阵函数 $A: I \rightarrow \mathbb{R}^{n^2}$ ， 和 $n^2$ 条目 $a_{i j} \in C(I)$ ，和一个函数 $g: I \rightarrow \mathbb{R}^n$, 线性有序系统 $n$ 对于可微函数 $x: I \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是形式的一阶系统
$$
\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=A \cdot \boldsymbol{x}+g,
$$
两者都在哪里 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ 和 $g=\left(g_1, \ldots, g_n\right)$ 被视为列向量。矩阵 $A=A(t)$ 称为线性系统 的系数矩阵。我们说 (3.5.11) 是齐次线性系统，如果 $g \equiv 0$. 否则，称为非齐次线性系统。 例如初值问题
$$
x^{\prime}(t)=a x(t), \quad \text { with } x(0)=x_0 .
$$
定义由平滑函数给出的动力系统 $\varphi_t\left(x_0\right)=x_0 \mathrm{e}^{a t}$.一般来说，取方阵 $A$ 秩序 $n$ 代替标量 $a$, 和一个向 量函数 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t): \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ 为了 $x=x(t)$ ，我们得到一个动力系统，由形式为 (3.5.11) 的一阶线 性系统的初始值问题给出 (其中 $g \equiv 0$ ). 显然，通过使用
$$
\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})=A \cdot \boldsymbol{x}+\boldsymbol{g}, \text { for } t \in I,
$$
每个一阶线生系统都是 (3.5.4) 形式的系统。

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