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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Mathematical Modelling
The human body is an important large physical system consisting of many different types of subsystems down to the cellular levels. Each subsystem involves complex natural processes governed by certain universal laws. ${ }^1$ It is a perfect example of an efficient system that has inbuilt optimisation schema for each of its component subsystems mostly controlled by the brain, which uses (chemical) controls all the time to perform a multilayer nonlinear analysis at a very high speed to ensure enhanced functioning of each vital organ for better survival chances against all odds. Some of the differential equations derived in this chapter also find applications in studies related to certain important problems in medical sciences. For example, according to recent studies, developmental biology uses differential equation models to study molecular mechanisms responsible for cell signalling and aggregation when nutrients are scarce. The motivated reader may refer the text [1] to know more.
In general, application of mathematical tools in analysing a practical situation requires a proper articulation of scientific facts so that the solution of the associated problem admits a convenient physical interpretations. Further, an approximation technique used in a particular situation depends on how appropriately one may choose the applicable postulates or laws such as Newton’s for classical mechanics, Schrödinger’s for quantum mechanics, Navier-Stokes’ for fluid flow, and Maxwell’s for electrodynamics.
In most cases, a mathematical description of processes involved with a physical system leads to problem involving an unknown function of certain number of independent variables, and also some known functions representing the system parameters. It is common to make some simplifying assumptions and reduce the number of parameters involved, subject to that the state of the system under study do not change drastically. As a rule of thumb, we first formulate an easy-to-deal-with model and upgrade to a more realistic model as we go along. The equation (or a system of equations) so obtained is used to analyse the associated practical problems. In most applications, the ultimate aim is to facilitate the analysis and design of controls for the related dynamical systems.
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Model Formulation
At the first stage of model formulation of a phenomenon, we make some simplifying assumptions considering all related scientific facts about the involved natural processes. Each such assumption has to have some relevance to the purpose of the study, and their precision and correctness help in choosing an appropriate set of postulates and laws governing the involved processes. For example, mass is constant for models based on Newtonian physics, but it must be assumed a variable while using Einstein’s special theory of relativity. Next, we identify important system parameters concerning all relevant processes occurring in the system. Accordingly, dependent and independent variables are identified. For example, while modelling for weather forecast, the position and time are the independent variables, and dependent variables specify temperature and humidity. Notice that, in this case, earth’s gravity field and rotational speed act as nonadjustable parameters.
In actual practice, modelling of a dynamic system takes as input large volume of real data for the involved variables and parameters. Also, a good assessment of system environment and natural constraints is needed to undertake a meaningful study of the phenomena. So, at the final stage, we collect data for chosen variables from diverse sources, if possible, and subsequently use postulates and/or laws governing the involved processes to derive model equation(s). In particular, to formulate a statistical model of best fit, suitable interpolation techniques are applied to the source data collected earlier for variables and system parameters. In this latter situation, type of data used classifies a model as deterministic or probabilistic. If the independent variables are random, and probabilistic data is known, then the associated distributions related equation(s) gives a stochastic model.
All through the process, in general, a model needs to be calibrated several times using the collected real data. Such an exercise is important because it ensures that the difference between the model outputs and the real values largely remains below the acceptable error tolerance, and hence validates the model.
A fruitful way of formulating a model involving only dimensionless quantities is known as nondimensionalising a model, which provides an insight into how to scale relations of the system so that the total number of variables and/or parameters are minimal. Since variables and parameters in general have physical dimensions, the techniques of nondimensionalising and scaling in terms of their transformations are useful tools to simplify and analyse a mathematical model (mainly due to Buckingham $\pi$-theorem). As the present book is not about modelling techniques per se, we will not discuss dimension analysis and scaling aspects any further. The interested reader may like to read more from the book [5] or [6].
偏微分方程代考
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Mathematical Modelling
人体是一个重要的大型物理系统，由许多不同类型的子系统组成，直至细胞水平。每个子系统都涉及受某些普遍法则支配的复杂自然过程。1这是一个高效系统的完美示例，该系统为其每个主要由大脑控制的组件子系统内置了优化模式，它始终使用（化学）控制以非常高的速度执行多层非线性分析以确保增强功能每个重要器官，以获得更好的生存机会。本章推导的一些微分方程也可用于与医学科学中某些重要问题相关的研究。例如，根据最近的研究，发育生物学使用微分方程模型来研究营养缺乏时负责细胞信号传导和聚集的分子机制。有兴趣的读者可以参考文本[1]了解更多。
一般而言，在分析实际情况时应用数学工具需要科学事实的正确表述，以便相关问题的解决方案允许方便的物理解释。此外，在特定情况下使用的近似技术取决于人们选择适用的假设或定律的恰当程度，例如经典力学的牛顿定律、量子力学的薛定谔定律、流体流动的纳维-斯托克斯定律和电动力学的麦克斯韦定律。
在大多数情况下，涉及物理系统的过程的数学描述会导致涉及一定数量的自变量的未知函数以及表示系统参数的一些已知函数的问题。通常会进行一些简化假设并减少所涉及的参数数量，前提是所研究系统的状态不会发生剧烈变化。根据经验，我们首先制定一个易于处理的模型，并在进行过程中升级到更现实的模型。如此获得的方程（或方程组）用于分析相关的实际问题。在大多数应用中，最终目的是促进相关动力系统的控制分析和设计。
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Model Formulation
在现象模型制定的第一阶段，我们会考虑有关所涉及的自然过程的所有相关科学事实，做出一些简化假设。每一个这样的假设都必须与研究的目的有一定的相关性，它们的精确性和正确性有助于选择一组适当的假设和规律来管理所涉及的过程。例如，对于基于牛顿物理学的模型，质量是恒定的，但在使用爱因斯坦的狭义相对论时，必须假设它是一个变量。接下来，我们确定与系统中发生的所有相关过程有关的重要系统参数。因此，确定了因变量和自变量。例如，在天气预报建模时，位置和时间是自变量，和因变量指定温度和湿度。请注意，在这种情况下，地球的重力场和旋转速度充当不可调整的参数。
在实际应用中，动态系统的建模需要大量的真实数据作为涉及的变量和参数的输入。此外，需要对系统环境和自然约束进行良好评估，才能对现象进行有意义的研究。因此，在最后阶段，如果可能的话，我们会从不同来源收集所选变量的数据，然后使用管理所涉及过程的假设和/或定律来推导模型方程。特别是，为了制定最佳拟合的统计模型，将合适的插值技术应用于先前为变量和系统参数收集的源数据。在后一种情况下，使用的数据类型将模型分类为确定性或概率性。如果自变量是随机的，并且概率数据已知，
在整个过程中，一般来说，一个模型需要使用收集到的真实数据进行多次校准。这样的练习很重要，因为它确保模型输出与实际值之间的差异在很大程度上保持在可接受的误差容限以下，从而验证模型。
制定仅涉及无量纲量的模型的一种富有成效的方法称为无量纲化模型，它提供了对如何缩放系统关系以使变量和/或参数的总数最少的见解。由于变量和参数通常具有物理维度，因此根据其变换进行无量纲化和缩放的技术是简化和分析数学模型的有用工具（主要是由于白金汉π-定理）。由于本书本身不是关于建模技术的，因此我们不会进一步讨论维度分析和缩放方面。有兴趣的读者可以从书 [5] 或 [6] 中阅读更多内容。
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