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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Three Prototypical Equations
It is largely believed that use of partial differential equations in solving problems concerning some physical phenomena started with Jean d’ Alembert’s work on vibrations of a string. Most concepts we shall discuss in rest of the book arose from the related vibrating string controversy ${ }^2$ that started in 1747 soon after Jean d’ Alembert (17171783) published his travelling wave solution of the one dimensional wave equation. The main issue was how to explain the connection between a physical problem and the proposed mathematical descriptions. The controversy spanned over the eighteenth century, and it got involved many eminent scientist with diverse backgrounds such as Daniel Bernoulli (1700-1782), Leonhard Euler(1707-1783), and Joseph-Louis Lagrange (1736-1813). As discussed later in Chap. 8, Lagrange resolved the main issue partially in 1759.
More generally, let $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ be a nice domain. ${ }^3$ Suppose $u=u(\boldsymbol{x}, t): \Omega \times$ $\mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ is a sufficiently smooth function representing a physical quantity such as the density, velocity, pressure, viscosity, and temperature. A typical partial differential equation for a (unknown) function $u=u(\boldsymbol{x}, t)$ is an equation that gives a relation between the time rate of change $u_t=\partial u / \partial t$ of a physical quantity $u(\boldsymbol{x}, t)$, its flux across the boundary surface $S$, and a source or $\operatorname{sink}$ function $g(\boldsymbol{x}, t)$ representing the amount of quantity being created or destroyed within the region $\Omega$. Therefore, a mathematical formulation of various types of problems concerning continuum mechanics leads to partial differential equations. We will write the partial derivatives of a function $u=u(\boldsymbol{x}, t)$ as given below:
$$
\begin{gathered}
q=u_t=\partial_t u=\frac{\partial u}{\partial t} ; \quad p_i=u_{x_i}=\partial_{x_i} u=\frac{\partial u}{\partial x_i} \
r_{i j}=u_{x_i x_j}=\partial_{x_i x_j}^2 u=\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{\partial^2 u}{\partial x_j \partial x_i} ; \quad \text { etc. }
\end{gathered}
$$
Also, the del operator $\nabla$ in $n$ variables is written as
$$
\nabla \equiv\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \cdots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right)
$$
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Laplace and Poisson Equations
Let $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ be a compact region, and $\boldsymbol{x}=(x, y, z)$. Recall that the differential operator
$$
\nabla^2: \equiv \partial_{x x}+\partial_{y y}+\partial_{z z}
$$
is a 3-dimensional Laplacian in variables $x, y, z$. In view of Eq. (4.2.26), when $u_t=0$, the equation modelling steady state of a process in a system without source or sink is given by
$$
\nabla^2 u=u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0 .
$$
As said before, this is known as the Laplace equation, say for a function $u=u(\boldsymbol{x})$ representing the steady-state temperature distribution at the position $\boldsymbol{x}$. In addition to such type of steady-state cases of conservation equations modelling transport phenomena, we also come across Laplace equations in applications concerning gravitational potential, electrostatic, and electrodynamic potential.
Example 4.6 Suppose a point mass $m$ is at point $x=x_{(} t$ at time $t \geq 0$. It is assumed that every point mass around the (source) mass $m$ experience the force of attraction governed by Newton’s gravitational law. At any fixed time $t$, the one-parameter gravitational field $\mathbf{g}(\boldsymbol{x}, t)$ defined by the point mass $m$ is given by
$$
\mathbf{g}(\boldsymbol{x}, t)=G m \frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}(t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}(t)|^3}, \quad \mathbf{x} \in \Omega \subset \mathbb{R}^3,
$$
where $G$ is the (relative) gravitational constant. So, the force this field exerts on any other point mass $M$ located at a point $x \in \Omega$ is given by
$$
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, t)=M \mathbf{g}(\boldsymbol{x}, t)=G m M \frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}(t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}(t)|^3} .
$$
Writing $r(t)=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}(t)|$ for the distance between the point masses $m$ and $M$, the force function
$$
u=u(\boldsymbol{x}, t)=\frac{c}{r}, \quad \text { with } c=G m M,
$$
represents the gravitational potential at point $x$ and at time $t \geq 0$, because the (spatial) gradient of the function $u=u(\boldsymbol{x}, t)$ defines the field $\mathbf{g}(\boldsymbol{x}, t)$. More generally, if $m$ is unit mass, and $\rho=\rho(\boldsymbol{x})$ is the mass density of an infinitesimal volume $\mathrm{d} V$ around the point $\boldsymbol{x}=(X, Y, Z)$ in a continuous distribution of masses within the volume $V$ of the domain $\Omega$, then the function
$$
u(\boldsymbol{x})=G \iiint_V \frac{\rho(\boldsymbol{x})}{r} \mathrm{~d} V
$$
偏微分方程代考
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Three Prototypical Equations
人们普遍认为，使用偏微分方程解决有关某些物理现象的问题始于让·达朗贝尔 (Jean d’ Alembert) 对弦振动的研究。我们将在本书其余部分讨论的大多数概念都来自相关的振动弦争论 ${ }^2$ 在 Jean d’Alembert (17171783) 发表他的一维波动方程的行波解后不久，1747 年就开始了。主要问题是如 何解释物理问题与拟议的数学描述之间的联系。这场争论跨越了 18 世纪，誅涉到丹尼尔.伯努利 (1700-1782)、莱昂哈德·欧拉 (1707-1783) 和约瑟夫-路易斯·拉格朗日 (1736-1813) 等不同背景的著 名科学家。正如稍后在第 1 章中讨论的那样。8，拉格朗日在 1759 年部分解决了主要问题。
更一般地，让 $\Omega \subseteq \mathbb{R}^n$ 成为一个不错的域名。 ${ }^3$ 认为 $u=u(\boldsymbol{x}, t): \Omega \times \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}$ 是表示密度、速 度、压力、粘度和温度等物理量的足够光滑的函数。（末知）函数的典型偏微分方程 $u=u(\boldsymbol{x}, t)$ 是一个方程，给出了时间变化率之间的关系 $u_t=\partial u / \partial t$ 一个物理量 $u(\boldsymbol{x}, t)$ ，它穿过边界表面的通 量 $S$, 和来源或 $\operatorname{sink}$ 功能 $g(x, t)$ 表示区域内正在创建或销㖬的数量 $\Omega$. 因此，关于连续介质力学的各 种类型问题的数学表述导致偏微分方程。我们将写出一个函数的偏导数 $u=u(\boldsymbol{x}, t)$ 如下所示:
$$
q=u_t=\partial_t u=\frac{\partial u}{\partial t} ; \quad p_i=u_{x_i}=\partial_{x_i} u=\frac{\partial u}{\partial x_i} r_{i j}=u_{x_i x_j}=\partial_{x_i x_j}^2 u=\frac{\partial^2 u}{\partial x_i \partial x_j}=\frac{\partial^2 u}{\partial x_j \partial x_i}
$$
另外， del 运算符 $\nabla$ 在 $n$ 变量写成
$$
\nabla \equiv\left(\frac{\partial}{\partial x_1}, \cdots, \frac{\partial}{\partial x_n}\right)
$$
数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Laplace and Poisson Equations
让 $\Omega \subset \mathbb{R}^3$ 是一个紧凑的区域，并且 $\boldsymbol{x}=(x, y, z)$. 回想一下微分算子
$$
\nabla^2: \equiv \partial_{x x}+\partial_{y y}+\partial_{z z}
$$
是变量中的 3 维拉普拉斯算子 $x, y, z$. 鉴于方程式。 $(4.2 .26)$ ，当 $u_t=0$ ，在没有源或汇的系统中， 方程建模过程的稳态由下式给出
$$
\nabla^2 u=u_{x x}+u_{y y}+u_{z z}=0 .
$$
如前所述，这被称为拉普拉斯方程，比如一个函数 $u=u(\boldsymbol{x})$ 表示该位置的稳态温度分布 $\boldsymbol{x}$. 除了模 拟传输现象的守恒方程的此类稳态情况外，我们还在涉及引力势、静电势和电动力势的应用中遇 到拉普拉斯方程。
例 $4.6$ 假设一个质点 $m$ 在点 $x=x_{\text {( }} t$ 在时间 $t \geq 0$. 假设 (源) 质量周围的每个点质量 $m$ 体验受牛顿 万有引力定律支配的吸引力。在任何固定时间 $t$, 单参数引力场 $g(\boldsymbol{x}, t)$ 由质点定义 $m$ 是 (谁) 给的
$$
\mathbf{g}(\boldsymbol{x}, t)=G m \frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}(t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}(t)|^3}, \quad \mathbf{x} \in \Omega \subset \mathbb{R}^3,
$$
在哪里 $G$ 是 (相对) 引力常数。所以，这个场施加在任何其他质点上的力 $M$ 位于一个点 $x \in \Omega$ 是 (谁) 给的
$$
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}, t)=M \mathbf{g}(\boldsymbol{x}, t)=G m M \frac{\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}(t)}{|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}(t)|^3}
$$
写作 $r(t)=|\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}(t)|$ 对于质点之间的距离 $m$ 和 $M$ ，力函数
$$
u=u(\boldsymbol{x}, t)=\frac{c}{r}, \quad \text { with } c=G m M,
$$
代表点的重力势能 $x$ 并且在时间 $t \geq 0$ ， 因为函数的 (空间) 梯度 $u=u(\boldsymbol{x}, t)$ 定义字段 $\mathbf{g}(\boldsymbol{x}, t)$. 更 一般地，如果 $m$ 是单位质量，并且 $\rho=\rho(\boldsymbol{x})$ 是无穷小体积的质量密度 $\mathrm{d} V$ 围绕点 $\boldsymbol{x}=(X, Y, Z)$ 在 体积内质量连续分布 $V$ 域的 $\Omega$ ，那么函数
$$
u(\boldsymbol{x})=G \iiint_V \frac{\rho(\boldsymbol{x})}{r} \mathrm{~d} V
$$
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