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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Stability of Linear Systems
A linear homogeneous differential equation has a rest point at the origin. We will use our results about the solutions of constant coefficient homogeneous linear differential equations to study the stability of this rest point. The next result is fundamental.
Theorem 2.34. Suppose that $A$ is an $n \times n$ (real) matrix. The following statements are equivalent:
(1) There is a norm ||$_a$ on $\mathbb{R}^n$ and a real number $\lambda>0$ such that for all $v \in \mathbb{R}^n$ and all $t \geq 0$,
$$
\left|e^{t A} v\right|_a \leq e^{-\lambda t}|v|_a .
$$
(2) If ||$_g$ denotes a norm on $\mathbb{R}^n$, there is a constant $C \geq 1$ and a real number $\lambda>0$ such that for all $v \in \mathbb{R}^n$ and all $t \geq 0$,
$$
\left|e^{t A} v\right|_g \leq C e^{-\lambda t}|v|_g .
$$
(3) Every eigenvalue of A has negative real part.
Moreover, if $-\lambda$ exceeds the largest of all the real parts of the eigenvalues of $A$, then $\lambda$ can be taken to be the decay constant in (1) or (2). Also, if every eigenvalue of $A$ has negative real part, then the zero solution of $\dot{x}=A x$ is asymptotically stable.
Proof. We will show that $(1) \Rightarrow(2) \Rightarrow(3) \Rightarrow(1)$.
To show (1) $\Rightarrow$ (2), let ||$_a$ be the norm in statement (1) and ||$_g$ the norm in statement (2). Because these norms are defined on the finite dimensional vector space $\mathbb{R}^n$, they are equivalent. In particular, there are constants $K_1>0$ and $K_2>0$ such that for all $x \in \mathbb{R}^n$ we have
$$
K_1|x|_g \leq|x|_a \leq K_2|x|_g .
$$
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Stability of Nonlinear Systems
Theorem $2.34$ states that the zero solution of a constant coefficient homogeneous linear system is asymptotically stable if the spectrum of the coefficient matrix lies in the left half of the complex plane. The principle of linearized stability states that the same result is true for steady state solutions of nonlinear equations provided that the system matrix of the linearized system along the steady state solution has its spectrum in the left half plane. As stated, this principle is not a theorem. However, in this section we will formulate and prove a theorem on linearized stability which is strong enough for most applications. In particular, we will prove that a rest point of an autonomous differential equation $\dot{x}=f(x)$ in $\mathbb{R}^n$ is asymptotically stable if all eigenvalues of the Jacobian matrix at the rest point have negative real parts. Our stability result is also valid for some nonhomogeneous nonautonomous differential equations of the form
$$
\dot{x}=A(t) x+g(x, t), \quad x \in \mathbb{R}^n
$$
where $g: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ is a smooth function.
A fundamental tool used in our stability analysis is the formula, called the variation of constants formula, given in the next proposition.
Proposition $2.37$ (Variation of Constants Formula). Consider the initial value problem
$$
\dot{x}=A(t) x+g(x, t), \quad x\left(t_0\right)=x_0
$$
and let $t \mapsto \Phi(t)$ be a fundamental matrix solution for the homogeneous system $\dot{x}=A(t) x$ that is defined on some interval $J_0$ containing $t_0$. If $t \mapsto$ $\phi(t)$ is the solution of the initial value problem defined on some subinterval of $J_0$, then
$$
\phi(t)=\Phi(t) \Phi^{-1}\left(t_0\right) x_0+\Phi(t) \int_{t_0}^t \Phi^{-1}(s) g(\phi(s), s) d s
$$
常微分方程代考
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Stability of Linear Systems
线性齐次微分方程在原点有一个静止点。我们将使用关于常系数齐次线性微分方程解的结果来研 究该静止点的稳定性。下一个结果是基本的。
定理 2.34。假设 $A$ 是一个 $n \times n$ (实) 矩阵。下面的语句是等价的:
(1) 存在范数 $|_a$ 上 $\mathbb{R}^n$ 和一个实数 $\lambda>0$ 这样对于所有人 $v \in \mathbb{R}^n$ 和所有 $t \geq 0$ ，
$$
\left|e^{t A} v\right|_a \leq e^{-\lambda t}|v|_a .
$$
(2) 如果 $|_g$ 表示规范 $\mathbb{R}^n$ ，有一个常数 $C \geq 1$ 和一个实数 $\lambda>0$ 这样对于所有人 $v \in \mathbb{R}^n$ 和所有 $t \geq 0$ ，
$$
\left|e^{t A} v\right|_g \leq C e^{-\lambda t}|v|_g .
$$
(3) A的每个特征值都有负实部。
此外，如果 $-\lambda$ 超过了特征值的所有实部中最大的 $A$ ， 然后 $\lambda$ 可取为 (1) 或 (2) 中的㖜减常数。另 外，如果每个特征值 $A$ 有负实部，则为的零解 $\dot{x}=A x$ 是渐近稳定的。
证明。我们将表明 $(1) \Rightarrow(2) \Rightarrow(3) \Rightarrow(1)$. 间上定义的 $\mathbb{R}^n$ ，它们是等价的。特别地，有常数 $K_1>0$ 和 $K_2>0$ 这样对于所有人 $x \in \mathbb{R}^n$ 我们 有
$$
K_1|x|_g \leq|x|_a \leq K_2|x|_g .
$$
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Stability of Nonlinear Systems
定理 $2.34$ 指出如果系数矩阵的谱位于复平面的左半部分，则常系数齐次线性系统的零解是渐近稳 定的。线性化稳定性原理表明，如果线性化系统沿着稳态解的系统矩阵的谱在左半平面，则非线 性方程的稳态解也有相同的结果。如前所述，该原理不是定理。然而，在本节中，我们将制定并 证明一个关于线性稳定性的定理，该定理对于大多数应用来说都足够强大。特别地，我们将证明 自治微分方程的静止点 $\dot{x}=f(x)$ 在 $\mathbb{R}^n$ 如果雅可比矩阵在静止点的所有特征值都具有负实部，则渐 近稳定。我们的稳定性结果也适用于以下形式的一些非齐次非自治微分方程
$$
\dot{x}=A(t) x+g(x, t), \quad x \in \mathbb{R}^n
$$
在哪里 $g: \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^n$ 是平滑函数。
在我们的稳定性分析中使用的一个基本工具是公式，称为常数变化公式，在下一个命题中给出。
主张2.37 (常数公式的变化)。考虑初值问题
$$
\dot{x}=A(t) x+g(x, t), \quad x\left(t_0\right)=x_0
$$
然后让 $t \mapsto \Phi(t)$ 是齐次系统的基本矩阵解 $\dot{x}=A(t) x$ 在某个区间定义的 $J_0$ 含有 $t_0$. 如果 $t \mapsto \phi(t)$ 是定义在某个子区间上的初值问题的解 $J_0$ ， 然后
$$
\phi(t)=\Phi(t) \Phi^{-1}\left(t_0\right) x_0+\Phi(t) \int_{t_0}^t \Phi^{-1}(s) g(\phi(s), s) d s
$$
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