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数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Periodic Orbits of Linear Systems
In this section we will consider the existence and stability of periodic solutions of the time-periodic system
$$
\dot{x}=A(t) x+b(t), \quad x \in \mathbb{R}^{\bar{n}}
$$
where $t \mapsto A(t)$ is a $T$-periodic matrix function and $t \mapsto b(t)$ is a $T$-periodic vector function.
Theorem 2.76. If the number one is not a characteristic multiplier of the $T$-periodic homogeneous system $\dot{x}=A(t) x$, then (2.33) has at least one T-periodic solution.
Proof. Let us show first that if $t \mapsto x(t)$ is a solution of system (2.33) and $x(0)=x(T)$, then this solution is $T$-periodic. Define $y(t):=x(t+T)$. Note that $t \mapsto y(t)$ is a solution of $(2.33)$ and $y(0)=x(0)$. Thus, by the uniqueness theorem $x(t+T)=x(t)$ for all $t \in \mathbb{R}$.
If $\Phi(t)$ is the principal fundamental matrix solution of the homogeneous system at $t=0$, then, by the variation of constants formula,
$$
x(T)=\Phi(T) x(0)+\Phi(T) \int_0^T \Phi^{-1}(s) b(s) d s .
$$
Therefore, $x(T)=x(0)$ if and only if
$$
(I-\Phi(T)) x(0)=\Phi(T) \int_0^T \Phi^{-1}(s) b(s) d s .
$$
This equation for $x(0)$ has a solution whenever the number one is not an eigenvalue of $\Phi(T)$. (Note that the $\operatorname{map} x(0) \mapsto x(T)$ is the Poincaré map. Thus, our periodic solution corresponds to a fixed point of the Poincaré map).
By Floquet’s theorem, there is a matrix $B$ such that the monodromy matrix is given by
$$
\Phi(T)=e^{T B} .
$$
In other words, by the hypothesis, the number one is not an eigenvalue of $\Phi(T)$
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Stability of Periodic Orbits
Consider a (nonlinear) autonomous system of differential equations on $\mathbb{R}^n$ given by $\dot{u}=f(u)$ with a periodic orbit $\Gamma$. Also, for each $\xi \in \mathbb{R}^n$, define the vector function $t \mapsto u(t, \xi)$ to be the solution of this system with the initial condition $u(0, \xi)=\xi$.
If $p \in \Gamma$ and $\Sigma^{\prime} \subset \mathbb{R}^n$ is a section transverse to $f(p)$ at $p$, then, as a corollary of the implicit function theorem, there is an open set $\Sigma \subseteq \Sigma^{\prime}$ and a function $T: \Sigma \rightarrow \mathbb{R}$, the time of first return to $\Sigma^{\prime}$, such that for each $\sigma \in \Sigma$, we have $u(T(\sigma), \sigma) \in \Sigma^{\prime}$. The map $\mathcal{P}$, given by $\sigma \mapsto u(T(\sigma), \sigma)$, is the Poincaré map corresponding to the Poincaré section $\Sigma$.
The Poincaré map is defined only on $\Sigma$, a manifold contained in $\mathbb{R}^n$. It is convenient to avoid choosing local coordinates on $\Sigma$. Thus, we will view the elements in $\Sigma$ also as points in the ambient space $\mathbb{R}^n$. In particular, if $v \in \mathbb{R}^n$ is tangent to $\Sigma$ at $p$, then the derivative of $\mathcal{P}$ in the direction $v$ is given by
$$
D \mathcal{P}(p) v=(d T(p) v) f(p)+u_{\xi}(T(p), p) v .
$$
The next proposition relates the spectrum of $D \mathcal{P}(p)$ to the Floquet multipliers of the first variational equation
$$
\dot{W}=D f(u(t, p)) W .
$$
常微分方程代考
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Periodic Orbits of Linear Systems
在本节中，我们将考虑时间周期系统的周期解的存在性和稳定性
$$
\dot{x}=A(t) x+b(t), \quad x \in \mathbb{R}^{\bar{n}}
$$
在哪里 $t \mapsto A(t)$ 是一个 $T$-周期矩阵函数和 $t \mapsto b(t)$ 是一个 $T$-周期向量函数。
定理 2.76。如果第一不是特征乘数 $T$-周期齐次系统 $\dot{x}=A(t) x$, 那么 (2.33) 至少有一个 T 周期解。
证明。让我们首先证明如果 $t \mapsto x(t)$ 是系统 (2.33) 的解，并且 $x(0)=x(T)$ ，那么这个解就是 $T$ 周期性的。定义 $y(t):=x(t+T)$. 注意 $t \mapsto y(t)$ 是一个解决方案 $(2.33)$ 和 $y(0)=x(0)$. 因此，根 据唯一性定理 $x(t+T)=x(t)$ 对所有人 $t \in \mathbb{R}$.
如果 $\Phi(t)$ 是齐次系统的主基本矩阵解 $t=0$ ，那么，由常数公式的变化，
$$
x(T)=\Phi(T) x(0)+\Phi(T) \int_0^T \Phi^{-1}(s) b(s) d s .
$$
所以， $x(T)=x(0)$ 当且仅当
$$
(I-\Phi(T)) x(0)=\Phi(T) \int_0^T \Phi^{-1}(s) b(s) d s .
$$
这个等式为 $x(0)$ 只要数字 1 不是的特征值，就有解 $\Phi(T)$ ). (请注意， $\operatorname{map} x(0) \mapsto x(T)$ 是庞加 莱映射。因此，我们的周期解对应于 Poincaré 映射的一个固定点）。
根据 Floquet 定理，有一个矩阵 $B$ 这样单值矩阵由下式给出
$$
\Phi(T)=e^{T B} .
$$
换句话说，根据假设，数字 1 不是 $\Phi(T)$
数学代写|常微分方程代写ordinary differential equation代考|Stability of Periodic Orbits
考虑一个 (非线性) 自治微分方程系统 $\mathbb{R}^n$ 由 $\dot{u}=f(u)$ 具有周期性轨道 $\Gamma$. 另外，对于每个 $\xi \in \mathbb{R}^n$ ， 定义向量函数 $t \mapsto u(t, \xi)$ 是具有初始条件的该系统的解决方案 $u(0, \xi)=\xi$.
如果 $p \in \Gamma$ 和 $\Sigma^{\prime} \subset \mathbb{R}^n$ 是横截面 $f(p)$ 在 $p$ ，那么，作为隐函数定理的推论，有一个开集 $\Sigma \subseteq \Sigma^{\prime}$ 和 一个功能 $T: \Sigma \rightarrow \mathbb{R}$, 第一次返回的时间 $\Sigma^{\prime}$ ， 这样对于每个 $\sigma \in \Sigma$ ， 我们有 $u(T(\sigma), \sigma) \in \Sigma^{\prime}$. 地图 $\mathcal{P}$ ，由 $\sigma \mapsto u(T(\sigma), \sigma)$ ，是庞加莱截面对应的庞加莱映射 $\Sigma$.
庞加莱映射仅定义在 $\Sigma$ ，流形包含在 $\mathbb{R}^n$. 避免选择局部坐标是很方便的 $\Sigma$. 因此，我们将查看元溸 $\Sigma$ 也作为环境空间中的点 $\mathbb{R}^n$. 特别是，如果 $v \in \mathbb{R}^n$ 与 $\Sigma$ 在 $p$, 然后导数 $\mathcal{P}$ 在这个方向上 $v$ 是 (谁) 给的
$$
D \mathcal{P}(p) v=(d T(p) v) f(p)+u_{\xi}(T(p), p) v .
$$
下一个命题涉及的频谱 $D \mathcal{P}(p)$ 到第一个变分方程的 Floquet 乘数
$$
\dot{W}=D f(u(t, p)) W
$$
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