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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|The Moore–Penrose Pseudo-inverse
If $\mathrm{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}$ with $m \geq n=\operatorname{rank}(\mathrm{A})$, then there is a unique least squares solution to the system $A x=f$, which can be found by solving the normal equations or by computing the reduced $Q R$ factorization of $A$.
The question we want to address now is: What happens if $m \geq n>r=\operatorname{rank}(A)$ ? In this case, we say that $\mathrm{A}$ is rank deficient and we know that $\operatorname{ker}(\mathrm{A}) \neq{0}$. We have shown the existence of a least squares solution, even in this case. However, the solution will not be unique. Indeed, if $\boldsymbol{x}$ is a least squares solution and $\boldsymbol{\xi} \in \operatorname{ker}(\mathrm{A})$ is nonzero, then
$$
\mathrm{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{f}=\mathrm{A}^{\mathrm{H}} \mathrm{A} \boldsymbol{x}=\mathrm{A}^{\mathrm{H}} \mathrm{A}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\xi}),
$$
so that $x+\boldsymbol{\xi}$ is also a least squares solution. In other words, for every $\boldsymbol{\xi} \in \operatorname{ker}(\mathrm{A})$ we have
$$
\Phi(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\xi})=|\boldsymbol{f}-\mathrm{A}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\xi})|_2^2=|\boldsymbol{f}-\mathrm{A} \boldsymbol{x}|_2^2=\Phi(\boldsymbol{x}) .
$$
To be able to remove the nonuniqueness, we will require the solution to be, in a sense, the smallest.
Definition $5.37$ (minimum norm least squares solution). Let $\mathrm{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}$ with $m \geq$ $n>r=\operatorname{rank}(\mathrm{A})$ and $f \in \mathbb{C}^m$. Define
$$
\Phi(x)=|\boldsymbol{f}-\mathrm{Ax}|_2^2 .
$$
The minimum norm least squares solution of $A x=f$ is $\hat{x} \in \mathbb{C}^n$ that satisfies:
- $\hat{x}$ is a least squares solution, i.e., $\Phi(\hat{x}) \leq \Phi(x)$ for all $x \in \mathbb{C}^n$.
- If $\Phi(\hat{x})=\Phi(\boldsymbol{x})$, then $|\hat{x}|_2 \leq|\boldsymbol{x}|_2$.
We find this minimum norm solution using the so-called pseudo-inverse of $A$, which was introduced in Problem 2.5. We recall here its definition and basic properties for convenience.
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|The Modified Gram–Schmidt Process
Let us redefine the Gram-Schmidt process using the language of orthogonal projection matrices. To do so, for $k=1, \ldots, n$, we define the matrix $P_k \in \mathbb{C}^{n \times n}$ by its action on a vector $\boldsymbol{w} \in \mathbb{C}^n$,
$$
\mathrm{P}k \boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}-\sum{j=1}^{k-1}\left(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{q}j\right)_2 \boldsymbol{q}_j . $$ where $\left{\boldsymbol{q}_1, \ldots, \boldsymbol{q}{k-1}\right}$ is an orthonormal set.
Definition $5.41$ (modified Gram-Schmidt). Suppose that $S=\left{a_1, \ldots, a_k\right} \subset \mathbb{C}*^n$ with $k \leq n$. The modified Gram-Schmidt process is an algorithm for generating the set of vectors $Q=\left{\boldsymbol{q}_1, \ldots, \boldsymbol{q}_k\right}$ recursively as follows: for $m=1$, $$ q_1=\frac{1}{\left|a_1\right|_2} a_1 . $$ For $2 \leq m \leq k$, suppose that $\left{\boldsymbol{q}_1, \ldots, \boldsymbol{q}{m-1}\right}$ have been computed. Set
$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{v}m^1=\boldsymbol{a}_m, \ & \boldsymbol{v}_m^2=\mathrm{P}{\boldsymbol{q}1^{\perp}} \boldsymbol{v}_m^1, \ & \vdots \ & \boldsymbol{v}_m=\boldsymbol{v}_m^m=\mathrm{P}{\boldsymbol{q}_{m-1}^{\perp}} \boldsymbol{v}_m^{m-1} .
\end{aligned}
$$
If $\boldsymbol{v}_m=\mathbf{0}$, the process terminates. Otherwise, the process continues with
$$
\boldsymbol{q}_m=\frac{1}{\left|\boldsymbol{v}_m\right|_2} \boldsymbol{v}_m .
$$
As noted in Remark $5.31$ the classical Gram-Schmidt algorithm is unstable. But it turns out that the modified Gram-Schmidt process is stable and is the one that is used in practical computations. Since it results from only cosmetic changes to the definition of the original Gram-Schmidt process, we have the following result.
数值分析代考
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|The Moore–Penrose Pseudo-inverse
如果 $\mathrm{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}$ 和 $m \geq n=\operatorname{rank}(\mathrm{A})$, 则系统存在唯一的最小二乘解 $A x=f$ ，这可以通过求解 正规方程或通过计算减少的 $Q R$ 因式分解 $A$.
我们现在要解决的问题是: 如果 $m \geq n>r=\operatorname{rank}(A)$ ? 在这种情况下，我们说 $\mathrm{A}$ 秩亏，我们知 道 $\operatorname{ker}(\mathrm{A}) \neq 0$. 即使在这种情况下，我们也证明了最小二乘解的存在性。但是，解决方案不会是唯 一的。的确，如果 $\boldsymbol{x}$ 是最小二乘解并且 $\boldsymbol{\xi} \in \operatorname{ker}(\mathrm{A})$ 是非零的，那么
$$
\mathrm{A}^{\mathrm{H}} \boldsymbol{f}=\mathrm{A}^{\mathrm{H}} \mathrm{A} \boldsymbol{x}=\mathrm{A}^{\mathrm{H}} \mathrm{A}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\xi}),
$$
以便 $x+\boldsymbol{\xi}$ 也是最小二乘解。换句话说，对于每个 $\boldsymbol{\xi} \in \operatorname{ker}(\mathrm{A})$ 我们有
$$
\Phi(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\xi})=|\boldsymbol{f}-\mathrm{A}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{\xi})|_2^2=|\boldsymbol{f}-\mathrm{A} \boldsymbol{x}|_2^2=\Phi(\boldsymbol{x}) .
$$
为了能够消除非唯一性，我们将要求解决方案在某种意义上是最小的。
定义5.37 (最小范数最小二乘解) 。让 $\mathrm{A} \in \mathbb{C}^{m \times n}$ 和 $m \geq n>r=\operatorname{rank}(\mathrm{A})$ 和 $f \in \mathbb{C}^m$. 定义
$$
\Phi(x)=|\boldsymbol{f}-\mathrm{Ax}|_2^2 .
$$
的最小范数最小二乘解 $A x=f$ 是 $\hat{x} \in \mathbb{C}^n$ 满足:
- $\hat{x}$ 是最小二乘解，即 $\Phi(\hat{x}) \leq \Phi(x)$ 对所有人 $x \in \mathbb{C}^n$.
- 如果 $\Phi(\hat{x})=\Phi(\boldsymbol{x})$ ，然后 $|\hat{x}|_2 \leq|\boldsymbol{x}|_2$.
我们使用所谓的伪逆来找到这个最小范数解 $A$ ，这是在问题 $2.5$ 中引入的。为了方便起见，我 们在这里回顾它的定义和基本属性。
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|The Modified Gram–Schmidt Process
让我们使用正交投影矩阵的语言重新定义 Gram-Schmidt 过程。为此，对于 $k=1, \ldots, n$, 我们定 义矩阵 $P_k \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 通过它对向量的作用 $\boldsymbol{w} \in \mathbb{C}^n$ ，
$$
\mathrm{Pk} \boldsymbol{w}=\boldsymbol{w}-\sum j=1^{k-1}(\boldsymbol{w}, \boldsymbol{q} j)2 \boldsymbol{q}_j . $$ 在哪里 Yeft{ $\backslash$ boldsymbol{q}_1, \Idots, \boldsymbol{q}{k-1}\right } } \text { 是正交集。 } 定义5.41 (修改后的 Gram-Schmidt)。假设 $S=\backslash$ left{a_1, \Idots, a_k\right } } \text { subset } \backslash m \text { mathbb } { C } ^ { \star \wedge } n \text { 和 } $k \leq n$. 改进的 Gram-Schmidt 过程是一种用于生成向量集的算法 $$ q_1=\frac{1}{\left|a_1\right|_2} a_1 $$ $$ \boldsymbol{v} m^1=\boldsymbol{a}_m, \quad \boldsymbol{v}_m^2=\mathrm{P} \boldsymbol{q} \mathbf{1}^{\perp} \boldsymbol{v}_m^1, \vdots \quad \boldsymbol{v}_m=\boldsymbol{v}_m^m=\mathrm{P} \boldsymbol{q}{m-1}^{\perp} \boldsymbol{v}_m^{m-1}
$$
如果 $\boldsymbol{v}_m=\mathbf{0}$ ，过程终止。否则，该过程继续
$$
\boldsymbol{q}_m=\frac{1}{\left|\boldsymbol{v}_m\right|_2} \boldsymbol{v}_m
$$
如备注中所述5.31经典的 Gram-Schmidt 算法是不稳定的。但事实证明，修改后的 Gram-Schmidt 过程是稳定的，并且是用于实际计算的过程。由于它只是对原始 Gram-Schmidt 过程的定义进行了 表面更改，因此我们得到以下结果。
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