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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Householder Reflectors

Let us develop now a dual idea to triangular orthogonalization, i.e., we will construct a sequence $Q_1, \ldots, Q_n$ of unitary matrices such that
$$
\mathrm{Q}_n \cdots \mathrm{Q}_1 \mathrm{~A}=\mathrm{R}
$$
with $\mathrm{R}$ upper triangular. If we construct this, the $Q R$ factorization of the matrix $A$ is given by $\mathrm{Q}^{\mathrm{H}}=\mathrm{Q}_n \cdots \mathrm{Q}_1$ and the $\mathrm{R}$ matrix above. This process will be obtained with the help of the so-called Householder reflectors.

Remark $5.44$ (full QR). Notice that in (5.18) we obtain a matrix Q that is unitary, i.e., we are computing a full $Q R$ factorization.

Definition $5.45$ (Householder reflector 3 ). Suppose that $\boldsymbol{w} \in \mathbb{C}^n$ with $|\boldsymbol{w}|_2=1$. The Householder reflector with respect to $\operatorname{span}{\boldsymbol{w}}^{\perp}$ is the matrix
$$
\mathrm{H}_w=\mathrm{I}_n-2 w w^{\mathrm{H}} .
$$
As illustrated in Figure 5.2, the action of $H_w$ on a point $x \notin \operatorname{span}{w}^{\prime}$ is the mirror reflection of $\boldsymbol{x}$ about span ${\boldsymbol{w}}^{\perp}$.

Proposition $5.46$ (properties of $H_w$ ). Suppose that $\boldsymbol{w} \in \mathbb{C}^n$ with $|\boldsymbol{w}|_2=1$. The reflector $\mathrm{H}_w$ satisfies the following properties.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Linear Iterative Methods

In Chapter 3 we learned that, using direct methods such as Gaussian elimination, one could obtain an exact solution to the linear system of equations $\mathrm{Ax}=\boldsymbol{f}$ with $\mathrm{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ and $f \in \mathbb{C}^n$. (Of course, we are ignoring the effects of roundoff.) Unfortunately, these algorithms require $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ operations, which are frequently too expensive in practice. The high cost begs the following questions: Are there lower cost options? Is an approximation of $\boldsymbol{x}$ good enough? How would such an approximation be generated? As we will see, oftentimes we can find methods that have a much lower cost of computing a good approximate solution to $\boldsymbol{x}$.

As an alternate to the direct methods that we studied in the previous chapters, in the present chapter we will describe the so-called linear iteration methods for constructing sequences, $\left{\boldsymbol{x}k\right}{k=1}^{\infty} \subset \mathbb{C}^n$, with the desire that $\boldsymbol{x}k \rightarrow \boldsymbol{x}=\mathrm{A}^{-1} \boldsymbol{f}$, as $k \rightarrow \infty$. The idea is that, given some $\varepsilon>0$, we look for a $k \in \mathbb{N}$ such that $$ \left|x-x_k\right| \leq \varepsilon $$ with respect to some norm. In this context, $\varepsilon$ is called the stopping tolerance. In other words, we want to make certain the error is small in norm. But a word of caution. Usually, we do not have a direct way of approximating the error. The residual is more readily available. Suppose that $\boldsymbol{x}_k$ is an approximation of $\boldsymbol{x}=\mathrm{A}^{-1} \boldsymbol{f}$. The error is $\boldsymbol{e}_k=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_k$ and the residual is $\boldsymbol{r}_k=\boldsymbol{f}-\mathrm{A} \boldsymbol{x}_k=\mathrm{A} \boldsymbol{e}_k$. Recall that $$ \frac{\left|\boldsymbol{e}_k\right|}{|\boldsymbol{x}|} \leq \kappa(\mathrm{A}) \frac{\left|\boldsymbol{r}_k\right|}{|\boldsymbol{f}|} . $$ Thus, when $\kappa(\mathrm{A})$ is large, $\frac{\left|r_k\right|}{|f|}$, which is easily computable, may not be a good indicator of the size of the relative error $\frac{\left|\boldsymbol{e}{\boldsymbol{k}}\right|}{|\boldsymbol{x}|}$, which is not directly computable. One must be careful when measuring the error.

The material of this section – containing topics such as the Gauss-Seidel method and the (successive) over-relaxation (SOR) method – does not, for the most part, represent the leading edge of research in iterative solvers. We call such methods classical, though not in the sense of a pejorative. Indeed, while workers are not typically applying Gauss-Seidel methods to solve industrial strength problems, understanding such methods is vital to our investigation of more modern methods, like multigrid and conjugate gradient methods and also effective preconditioning strategies. Excellent references for the classical material of this section may be found in the books by Hageman and Young [36] and Young [103]. Another good reference is [81].

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Householder Reflectors

现在让我们发展三角正交化的对偶思想，即我们将构造一个序列 $Q_1, \ldots, Q_n$ 酉矩阵使得
$$
\mathrm{Q}_n \cdots \mathrm{Q}_1 \mathrm{~A}=\mathrm{R}
$$
和 $\mathrm{R}$ 上三角。如果我们构建这个， $Q R$ 矩阵分解 $A$ 是 (谁) 给的 $\mathrm{Q}^{\mathrm{H}}=\mathrm{Q}_n \cdots \mathrm{Q}_1$ 和R上面的矩 阵。这个过程将在所谓的 Householder 反射器的帮助下获得。
评论 $5.44$ (完整二维码) 。请注意，在 (5.18) 中我们得到一个酉矩阵 Q，即我们正在计算一个完 整的 $Q R$ 分解。
定义 $5.45$ (家用反射器 3 ) 。假设 $\boldsymbol{w} \in \mathbb{C}^n$ 和 $|\boldsymbol{w}|_2=1$. 家用反射器相对于span $\boldsymbol{w}^{\perp}$ 是矩阵
$$
\mathbf{H}_w=\mathrm{I}_n-2 w w^{\mathrm{H}} .
$$
如图 5.2 所示, $H_w$ 在一点上 $x \notin \operatorname{span} w^{\prime}$ 是噾面反射 $\boldsymbol{x}$ 关于跨度 $\boldsymbol{w}^{\perp}$.
主张5.46 (属性 $H_w$ ). 假设 $\boldsymbol{w} \in \mathbb{C}^n$ 和 $|\boldsymbol{w}|_2=1$. 反光板 $\mathrm{H}_w$ 满足以下性质。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Linear Iterative Methods

在第 3 章中我们了解到，使用高斯消去法等直接方法，可以获得线性方程组的精确解 $A x=f$ 和 $\mathrm{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 和 $f \in \mathbb{C}^n$. (当然，我们忽略了舍入的影响。) 不幸的是，这些算法需要 $\mathcal{O}\left(n^3\right)$ 操 作，这在实践中往往过于昴贵。高成本引出了以下问题: 是否有成本更低的选择? 是一个近似值 $x$ 够好了? 如何生成这样的近似值? 正如我们将看到的，通常我们可以找到计算一个好的近似解的 成本低得多的方法 $\boldsymbol{x}$.
作为我们在前面章节中学习的直接方法的替代方法，在本章中我们将描述用于构造序列的所谓线 作为 $k \rightarrow \infty$. 这个想法是，给定一些 $\varepsilon>0$ ，我们寻找一个 $k \in \mathbb{N}$ 这样
$$
\left|x-x_k\right| \leq \varepsilon
$$
关于一些规范。在这种情况下， $\varepsilon$ 称为停止公差。换句话说，我们要确保误差在范数内很小。但请 注意。通常，我们没有近似误差的直接方法。残差更容易获得。假设 $\boldsymbol{x}_k$ 是一个近似值 $\boldsymbol{x}=\mathrm{A}^{-1} \boldsymbol{f}$. 错误是 $\boldsymbol{e}_k=\boldsymbol{x}-\boldsymbol{x}_k$ 残差是 $\boldsymbol{r}_k=\boldsymbol{f}-\mathrm{A} \boldsymbol{x}_k=\mathrm{A} \boldsymbol{e}_k$. 回顾
$$
\frac{\left|\boldsymbol{e}_k\right|}{|\boldsymbol{x}|} \leq \kappa(\mathrm{A}) \frac{\left|\boldsymbol{r}_k\right|}{|\boldsymbol{f}|} .
$$
因此，当 $\kappa(\mathrm{A})$ 很大， $\frac{\left|r_k\right|}{|f|}$ ，这很容易计算，可能不是相对误差大小的良好指标 $\frac{|e k|}{|\boldsymbol{x}|}$ ，这是不可直接 计算的。测量误差时必须小心。
本节的材料一一包含高斯-塞德尔方法和 (连续的) 过度松弛 (SOR) 方法等主题一一在大多数情况 下并不代表迭代求解器研究的前沿。我们称这些方法为经典方法，尽管不是贬义的。事实上，虽 然工作人员通常不会应用高斯-褰德尔方法来解决工业强度问题，但了解此类方法对于我们研究更 现代的方法 (如多重网格和共轭梯度法以及有效的预处理策略) 至关重要。在 Hageman 和 Young [36] 以及 Young [103] 的书中可以找到本节经典材料的优秀参考资料。另一个很好的参考是 [81]。

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