# 计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|CSCI2300

## 计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Lots of Algorithms Independently Discovered

• Ford-Fulkerson
• Integer capacities: maximum flow $f$ in $O(m \cdot v(f))$
• Real capacities: $\infty$. It may never halt!
• Useful for thinking about cuts \& flows; not a great algorithm.
• Dinic/Dinitz (USSR $\rightarrow$ Israel)
• Maximum flow in $O\left(m n^2\right)$ time. $n=|V|, m=|E|$.
• Maximum flow in $O\left(m^2 n\right)$ time.
• $f: V \times V \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$is a legal flow if it satisfies:
• CAPACITY CONSTRAINT:
$$f(u, v) \leq c(u, v) \quad(c(u, v)=0 \text { if }(u, v) \notin E)$$
SKEW SYMMETRY:
$$f(u, v)=-f(v, u)$$
• FLOW CONSERVATION:
for all $u \in V-{s, t}$
$$\sum_{(u, x) \in E} f(u, x)=0 . \quad \text { (filow out of } u=0 \text { ) }$$
$v(f)=$ total flow leaving $s=$ total flow entering $t$

## 计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Residual Networks

• A flow $f$ in $G$ defines a residual network $G_f$ $-c_f(u, v)$ represents the amount of additional flow that could be sent through $(u, v)$ without violating the capacity constraint
$-c_f(u, v)=c(u, v)-f(u, v)$
• Only edges w/ positive capacity appear in $G_f$
• If $f$ is a legal flow in $G$ and $f^{\prime}$ is a legal flow in $G_f$ then $f+f^{\prime}$ is a legal flow in $G$.
• Def. An edge $e \in E(G)$ is “saturated” by $f$ if $f(e)=c(e)$.
• Def. A flow $f$ in $G$ is called a “blocking flow” if every path from $s$ to $t$ in $G$ contains a saturated edge. (I.e., we cannot push more flow from $s$ to $t$ along a path in $\boldsymbol{G}$.)
• $f:=0$
• While $(f$ is not a maximum flow) {
• Let $G_f$ be the residual network for $G$ w.r.t. $f$.
• Let $G^{\prime}=\left(V, E^{\prime}\right)$, where $E^{\prime} \subseteq E\left(G_f\right)$ are those edges in shortest paths from $s$ in $G_f$.
$-f^{\prime}:=$ any blocking flow in $G^{\prime}$
$-f:=f+f^{\prime}$
}
Return $f$.

# 算法分析代考

## 计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Lots of Algorithms Independently Discovered

• 福特富尔克森
• 整数容量：最大流量 $f$ 在 $O(m \cdot v(f))$
• 实际能力: $\infty$. 它可能永远不会停止!
• 对于考虑削減 $\backslash \&$ 流很有用; 不是一个伟大的算法。
• 迪尼克/迪尼茨 (苏联→以色列)
• 最大流量 $O\left(m n^2\right)$ 时间。 $n=|V|, m=|E|$.
• Edmonds-Karp (加拿大-美国)
• 最大流量 $O\left(m^2 n\right)$ 时间。
• $f: V \times V \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$如果满足以下条件，则为合法流程:
• 容量限制：
$$f(u, v) \leq c(u, v) \quad(c(u, v)=0 \text { if }(u, v) \notin E)$$
斜对称:
$$f(u, v)=-f(v, u)$$
• 流量守恒:
适用于所有人 $u \in V-s, t$
$$\sum_{(u, x) \in E} f(u, x)=0 . \quad(\text { filow out of } u=0)$$
$v(f)=$ 总流量离开 $s$ =总流量进入 $t$

## 计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Residual Networks

• 一个流 $f$ 在 $G$ 定义残差网络 $G_f-c_f(u, v)$ 表示可以通过发送的额外流量 $(u, v)$ 在不违反容量约 束的情况下
$$-c_f(u, v)=c(u, v)-f(u, v)$$
• 只有带正容量的边出现在 $G_f$
• 如果 $f$ 是一个合法的流程 $G$ 和 $f^{\prime}$ 是一个合法的流程 $G_f$ 然后 $f+f^{\prime}$ 是一个合法的流程 $G$.
• 定义。 一个边缘 $e \in E(G)$ 被 饱和” $f$ 如果 $f(e)=c(e)$.
• 定义。一个流 $f$ 在 $G$ 如果每条路径来自 $s$ 至 $t$ 在 $G$ 包含饱和边缘。
(即，我们不能从 $s$ 至 $t$ 沿着一条 小路 $\boldsymbol{G}$.)
• $f:=0$
• 尽管 $(f$ 不是最大流量 $){$
• 让 $G_f$ 是残差网络 $G w r t f$.
• 让 $G^{\prime}=\left(V, E^{\prime}\right)$ ，在哪里 $E^{\prime} \subseteq E\left(G_f\right)$ 是那些在最短路径中的边缘 $s$ 在 $G_f$.
$-f^{\prime}:=$ 任何阻塞流 $G^{\prime}$
$-f:=f+f^{\prime}$
返回
${ }_{-} f$.

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