# 计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|COSC240

## 计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Maximum Flow

• Airline has a network of city-to-city routes
• Each route labeled $\mathrm{w} / \mathrm{max}$ number passengers that can be sent per day
• Q: How many passengers could be sent from Seattle to Washington per day?
• Input: “flow network” (directed graph) $G=(V, E, c)$
• $V$ – vertices
• $E \subseteq V \times V$ – edges
• c : $E \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$- capactity function
• Two distinguished vertices $s, t \in V$
(source $s$, sink $t$ )
• $c(u, v)=$ the rate that material can “flow” from $u$ to $v$
• The problem: what is the maximum rate that material can flow from $s$ to $t$ ?
• Model this problem as a flow network:
• 1 unit of flow $=1$ win
• $c(s$, Min-Chi) = #(Minnesota-Chicago) games to be played
• $c($ Chi, $t)=$ maximum # allowable wins for Chicago
• If Cleveland has a chance then the max. flow should be 8 (all wins get distributed and no team gets too many)

## 计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Formal Definition of Flow

• $f: V \times V \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$is a legal flow if it satisfies:
• CAPACITY CONSTRAINT:
$$f(u, v) \leq c(u, v) \quad(c(u, v)=0 \text { if }(u, v) \notin E)$$
• FLOW CONSERVATION:
for all $u \in V-{s, t}$
$$\left.\sum_{(x, u) \in E} f(x, u)=\sum_{(u, x) \in E} f(u, x) \text { (flow into } \mathrm{u}=\text { flow out of } u\right)$$
$v(f)=$ total flow leaving $s=$ total flow entering $t$
• The Ford-Fulkerson Method:
• Find a path from $s$ to $t$
• Push as much flow through this path as possible
• Find another path from s to $t$ with free capacity on all the edges
• Push as much flow through….
• We have to be careful in implementing this idea! (What does “free capacity” mean?)
• A flow $f$ in $G$ defines a residual network $G_f$ $c_f(u, v)$ represents the amount of additional flow that could be sent through $(u, v)$ without violating the capacity constraint
• $c_f(u, v)=c(u, v)-f(u, v)$
• Only edges w/ positive capacity appear in $G_f$

# 算法分析代考

## 计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Maximum Flow

• 航空公司拥有城市到城市的航线网络
• 每条路线标有 $w / \max$ 每天可发送的乘㟯数量
• 问: 每天可以从西雅图运送多少乘客到华盛顿?
• 输入: “流网络” (有向图) $G=(V, E, c)$
• $V$ – 顶点
• $E \subseteq V \times V$ – 边缘
• $C: E \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$- 容量函数
• 两个不同的顶点 $s, t \in V$
(资源 $s ，$ 下沉 $t$ )
• $c(u, v)=$ 材料可以”流动”的速率 $u$ 至 $v$
• 问题: 材料流出的最大速率是多少 $s$ 至 $t$ ?
• 将此问题建模为流网络:
• 1 个流量单位 $=1$ 赢
• $c(s$, Min-Chi $)=$ #(Minnesota-Chicago) 场比塞
• $c($ 花费， $t)=$ 芝加哥的最大# 允许获胜
• 如果克利夫兰有机会，那么最大。flow 应该是 8 (所有胜利都被分配并且没有团队获得太多)

## 计算机代写|算法分析作业代写Introduction to Algorithms代考|Formal Definition of Flow

• $f: V \times V \rightarrow \mathbb{Z}^{+}$如果满足以下条件，则为合法流程:
• 容量限制:
$$f(u, v) \leq c(u, v) \quad(c(u, v)=0 \text { if }(u, v) \notin E)$$
• 流量守恒:
适用于所有人 $u \in V-s, t$
$$\left.\sum_{(x, u) \in E} f(x, u)=\sum_{(u, x) \in E} f(u, x) \text { (flow into } \mathbf{u}=\text { flow out of } u\right)$$
$v(f)=$ 总流量离开 $s=$ 总流量进入 $t$
• 福特-富尔克菻方法:
• 从中寻找路径 $s$ 至 $t$
• 尽可能多地推动流经此路径
• 找到从 $\mathrm{s}$ 到的另一条路径 $t$ 在所有边缘都有空闲容量
• 推动尽可能多的流量.
• 我们必须小心实施这个想法!（”可用容量”是什么意思?）
• 一个流 $f$ 在 $G$ 定义残差网络 $G_f c_f(u, v)$ 表示可以通过发送的额外流量 $(u, v)$ 在不违反容量约束 的情况下
• $c_f(u, v)=c(u, v)-f(u, v)$
• 只有带正容量的边出现在 $G_f$

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