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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Row Equivalence
Consider $A=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \ 1 & 2\end{array}\right]$ and $B=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \ 0 & 0\end{array}\right]$. Since it only takes one type-3 elementary row operation to get from $A$ to $B$, we see that $A \tilde{\mathrm{r}} B$ and that $\operatorname{rank} A=\operatorname{rank} B=$ 1. Notice, though, that $\operatorname{Col} A=\operatorname{Span}{(1,1)}$ while $\operatorname{Col} B=\operatorname{Span}{(1,0)}$. Row equivalent matrices have the same rank, but typically they have different column spaces. They do not, however, have different null spaces.
Lemma 4.17. Row equivalent matrices have identical null spaces.
Proof. Let $A$ belong to $M_{m, n}(\mathbb{F})$ and let $P$ the product of $m \times m$ elementary matrices over $\mathbb{F}$. Since $P$ is invertible, $A \mathbf{u}=\mathbf{0}$ if and only if
$$
P A \mathbf{u}=P \mathbf{0}=\mathbf{0} .
$$
This is enough to prove the lemma.
The null space of a matrix is the set of vectors with coordinates that list the coefficients in a dependence relation on the columns of the matrix. In particular, if $A=\left[\begin{array}{lll}\mathbf{a}1 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{array}\right]$ belongs to $M{m, n}(\mathbb{F})$, then
$$
u_1 \mathbf{a}_1+\cdots+u_n \mathbf{a}_n=\mathbf{0}_m
$$
if and only if $\mathbf{u}=\left(u_1, \ldots, u_n\right)$ is in $\operatorname{Nul} A$.
This is what we mean by the following important theorem.
Theorem 4.18. Row equivalence preserves dependence relations on the columns of a matrix.
Example 4.19. Consider $A=\left[\begin{array}{rrrr}1 & 2 & -1 & 0 \ -1 & 1 & 2 & 1 \ -2 & 0 & 3 & -1\end{array}\right]$ over $\mathbb{R}$. The reduced row echelon form for $A$ is
$$
B=\left[\begin{array}{rrrr}
1 & 0 & 0 & 11 \
0 & 1 & 0 & -2 \
0 & 0 & 1 & 7
\end{array}\right]
$$
The following dependence relation on the columns of $B$ is immediately evident:
$$
(11,-2,7)=11(1,0,0)-2(0,1,0)+7(0,0,1)
$$
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|An Early Use of the Determinant
Students learn to hand calculate determinants for $2 \times 2$ and $3 \times 3$ matrices in precalculus courses but may wonder what a determinant actually measures and how it came to be an object worthy of attention. In this section, we consider the work of Gabriel Cramer (1704-1752), who described and applied determinants to find a formula for the solution of a so-called nonsingular $n \times n$ system of linear equations over $\mathbb{R}$. There are other definitions of the determinant that we look at in later chapters and Cramer’s work was not the first known reference to determinants. It was an important influence, though, and it suggests some historical context for what can seem to be a puzzling object.
A determinant, in mathematics, is a number associated to a square matrix. A determinant, in English, is a deciding factor for something: The cost of feeding a dairy cow is a determinant in the price of butter. The determinant of an $n \times n$ system of linear equations is the deciding factor in whether the system has a uniquely determined – that is, well-defined – solution. A system with nonzero determinant has a solution set containing a single vector. Its solution is thus uniquely determined. A system with zero determinant has a solution set that is empty or that contains more than one vector. In either case, its solution is not uniquely determined.
Another curious technical word arises here. An $n \times n$ system of linear equations that has a unique solution may be called nonsingular. The coefficient matrix of a nonsingular system of linear equations is also said to be nonsingular. When applied to a matrix, nonsingular is a synonym for invertible. When applied to a system of linear equations, nonsingular means having a single solution. On the face of it, this may seem peculiar, less so if we dig a little deeper.
Singular means rare, or unexpected: The Big Bang was a singular event. Usage of the word nonsingular in the context of $n \times n$ systems of linear equations suggests that running across an $n \times n$ system of linear equations with no solutions, or more than one solution, would be a singular event. In some regard, this is not unreasonable.
Consider a $2 \times 2$ system of linear equations over $\mathbb{R}$. Each equation in the system represents a line in the $x y$-plane. The lines intersect in a unique point if and only if the system has exactly one solution. This is the nonsingular case. When the lines do not intersect, they are parallel, and the solution set is empty. When the two equations represent the same line $-x+y=1$ and $2 x+2 y=2$, for instance each point on the line is a solution, so the solution set is infinite. In the latter two settings, the lines have the same slope. This is the singular case.
线性代数代考
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Row Equivalence
考虑 $A=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 2\end{array}\right]$ 和 $B=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 0 & 0\end{array}\right]$. 因为它只需要一个 type-3 基本行操作 就可以从 $A$ 至 $B$ ， 我们看到 $A \tilde{r} B$ 然后rank $A=\operatorname{rank} B=1$. 但是请注意，
$\operatorname{Col} A=\operatorname{Span}(1,1)$ 尽管 $\operatorname{Col} B=\operatorname{Span}(1,0)$. 行等效矩阵具有相同的秩，但通常 它们具有不同的列空间。但是，它们没有不同的零空间。
引理 4.17。行等效矩阵具有相同的零空间。
证明。让 $A$ 属于 $M_{m, n}(\mathbb{F})$ 然后让 $P$ 的产物 $m \times m$ 初等矩阵 $\mathbb{F}$. 自从 $P$ 是可逆的， $A \mathbf{u}=\mathbf{0}$ 当且仅当
$$
P A \mathbf{u}=P \mathbf{0}=\mathbf{0} .
$$
这足以证明引理。
矩阵的零空间是一组向量，其坐标列出了与矩阵列相关的系数。特别是，如果 $A=\left[\begin{array}{lll}\mathbf{a} 1 & \cdots & \mathbf{a}_n\end{array}\right]$ 属于 $M m, n(\mathbb{F})$ ， 然后
$$
u_1 \mathbf{a}_1+\cdots+u_n \mathbf{a}_n=\mathbf{0}_m
$$
当且仅当 $\mathbf{u}=\left(u_1, \ldots, u_n\right)$ 在 $\operatorname{Nul} A$.
这就是我们所说的以下重要定理。
定理 4.18。行等价保留对矩阵列的依赖关系。
例 4.19。考虑 $A=\left[\begin{array}{llllllllllll}1 & 2 & -1 & 0 & -1 & 1 & 2 & 1 & -2 & 0 & 3 & -1\end{array}\right]$ 超过农. 简 化的行阶梯形式为 $A$ 是
列的依赖关系如下 $B$ 立即显而易见:
$$
(11,-2,7)=11(1,0,0)-2(0,1,0)+7(0,0,1)
$$
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|An Early Use of the Determinant
学生学习手算行列式2×2和3×3微积分课程中的矩阵，但可能想知道行列式实际测量的是什么以及它如何成为一个值得关注的对象。在本节中，我们将考虑 Gabriel Cramer（1704-1752）的工作，他描述并应用行列式来找到解决所谓非奇异问题的公式n×n线性方程组R. 我们将在后面的章节中看到行列式的其他定义，而 Cramer 的著作并不是已知的第一个对行列式的引用。不过，这是一个重要的影响，它为这个看似令人费解的物体提供了一些历史背景。
在数学中，行列式是与方阵相关联的数字。行列式，在英语中，是决定某事的因素：饲养奶牛的成本是黄油价格的决定因素。的决定因素n×n线性方程组是系统是否具有唯一确定（即明确定义）解的决定性因素。具有非零行列式的系统具有包含单个向量的解集。因此它的解是唯一确定的。行列式为零的系统的解集为空或包含多个向量。在任何一种情况下，其解决方案都不是唯一确定的。
这里出现了另一个奇怪的技术词。一个n×n具有唯一解的线性方程组可以称为非奇异的。非奇异线性方程组的系数矩阵也称为非奇异矩阵。当应用于矩阵时，非奇异是可逆的同义词。当应用于线性方程组时，非奇异意味着具有单一解。从表面上看，这可能看起来很奇怪，但如果我们深入挖掘就不那么奇怪了。
奇异意味着罕见或出乎意料：大爆炸是一个奇异的事件。在上下文中使用非奇异一词n×n线性方程组表明，跨越n×n没有解或有多个解的线性方程组将是一个奇异事件。在某些方面，这并非没有道理。
考虑一个2×2线性方程组R. 系统中的每个方程代表系统中的一条线X是-飞机。当且仅当系统只有一个解时，这些线才相交于一个唯一的点。这是非特例。当直线不相交时，它们是平行的，解集为空。当两个方程表示同一条直线时−X+是=1和2X+2是=2，例如线上的每个点都是一个解，所以解集是无限的。在后两种设置中，线条具有相同的斜率。这是个例。
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