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数学代写|线性代数代写linear algebra代考|LU-Factorization
LU-factorization is a technique that can be applied to solving systems of linear equations, inverting matrices, and calculating determinants. In this section, we consider the ideas that support LU-factorization and we look at a few low-rank examples.
The optimal setting for solving a system of linear equations is one in which we can get the solution either by back-substitution or by forward-substitution. While this does not make an enormous difference for small systems of equations that we solve by hand, the computational savings this setting affords is magnified considerably in large systems of equations solved using machines. This is the driving idea behind LU-factorization. LU-factorization can be applied anytime we have a coefficient matrix that can be put into row echelon form using only downward pivoting. Some terminology helps facilitate our discussion.
A matrix $A=\left[a_{i j}\right]$ in $M_n(\mathbb{F})$ is lower triangular provided $a_{i j}=0$ for $ij, A$ is upper triangular. The matrix $A$ is a diagonal matrix if it is both upper and lower triangular: $a_{i j}=0$ if $i \neq j$.
The following matrices are, respectively, lower triangular, upper triangular, and diagonal:
$$
\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \
2 & 4 & 0 \
1 & 2 & 3
\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3 \
0 & 1 & 4 \
0 & 0 & 3
\end{array}\right], \quad\left[\begin{array}{lll}
2 & 0 & 0 \
0 & 5 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$
When the coefficient matrix for a system of linear equations is upper triangular, we can solve the system using back-substitution. When the coefficient matrix for a system of linear equations is lower triangular, we can solve the system using forward-substitution.
Example 4.33. Let $A=\left[\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \ 0 & 1 & 4 \ 0 & 0 & 3\end{array}\right]$ and let $\mathbf{b}=(-1,1,2)$. We solve $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ for $\mathbf{x}=(x, y, z)$. The last equation in the system of linear equations associated to $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ is $3 z=2$ so $z=2 / 3$. Back-substituting into $y+4 z=1$, we get $y=-5 / 3$. Back-substituting into the first equation, we get
$$
x+2 y+3 z=x+(2)(-5 / 3)+(3)(2 / 3)=-1
$$
so $x=1 / 3$.
A square matrix in row echelon form is upper triangular. An arbitrary matrix $A=\left[a_{i j}\right]$ in row echelon form may not be upper triangular, but it still has the property that $a_{i j}=0$ when $i>j$ and it is still the case that solving an associated system of linear equations only requires back-substitution.
Upper and lower triangular matrices have nice mathematical properties, as well.
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Dual Spaces
We have already discussed the vector space of linear transformations from one vector space to another. Perhaps counterintuitively, the mappings from a vector space into its scalar field are particularly interesting. They are called linear functionals.
Example 5.1. Let $V=C([0,1])$ where $[0,1] \subseteq \mathbb{R}$. We leave it as an exercise to verify that
$$
f \mapsto \int_0^1 f(t) d t
$$
defines a linear functional on $V$.
The set of all linear functionals on a vector space is its dual space. We denote the dual space of $V$ by $V^$. Since $V^=\mathcal{L}(V, \mathbb{F})$, where $\mathbb{F}$ is the scalar field for $V$, Corollary $3.28$ tells us that if $\operatorname{dim} V=n$, then $\operatorname{dim} V^*=n$, as well.
When $V$ is infinite-dimensional, it may not be the case that $V \cong V^$. In that setting, $V^$ may be called the algebraic dual or the full algebraic dual of $V$ and “dual space” may refer to a proper subspace of $V^*$.
Since a linear mapping $\mathbb{F}^n \rightarrow \mathbb{F}$ is effected by premultiplication by an $n \times 1$ matrix, the following is immediate.
Theorem 5.2. The dual space of $\mathbb{F}^n$ is $\mathbb{F}_n$.
This is the interesting relationship between $\mathbb{F}^n$ and $\mathbb{F}_n$ that we promised in Section 1.2. It also suggests a deeper relationship between duality and matrix
线性代数代考
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|LU-Factorization
LU 分解是一种可用于求解线性方程组、求逆矩阵和计算行列式的技术。在本节中， 我们考虑支持 LU 分解的想法，并查看一些低秩示例。
求解线性方程组的最佳设置是我们可以通过反向代入或正向代入获得解的设置。虽然 这对于我们手动求解的小型方程组没有太大影响，但在使用机器求解的大型方程组 中，此设置所节省的计算量会大大增加。这是 LU 分解背后的驱动思想。LU 分解可以 在任何时候应用，只要我们有一个系数矩阵，可以仅使用向下旋转将其放入行梯形形 式。一些术语有助于促进我们的讨论。
矩阵 $A=\left[a_{i j}\right]$ 在 $M_n(\mathbb{F})$ 是下三角提供 $a_{i j}=0$ 为了 $i j, A$ 是上三角。矩阵 $A$ 如果它既 是上三角矩阵又是下三角矩阵，则它是对角矩阵: $a_{i j}=0$ 如果 $i \neq j$.
以下矩阵分别是下三角矩阵、上三角矩阵和对角矩阵:
当线性方程组的系数矩阵是上三角时，我们可以使用回代来求解该系统。当线性方程 组的系数矩阵是下三角时，我们可以使用正向代入来求解该系统。 $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 为了 $\mathbf{x}=(x, y, z)$. 相关联的线性方程组中的最后一个方程 $A \mathbf{x}=\mathbf{b}$ 是 $3 z=2$ 所以 $z=2 / 3$. 反代入 $y+4 z=1$ ，我们得到 $y=-5 / 3$. 回代入第一个方程， 我们得到
$$
x+2 y+3 z=x+(2)(-5 / 3)+(3)(2 / 3)=-1
$$
所以 $x=1 / 3$.
行阶梯形式的方阵是上三角矩阵。任意矩阵 $A=\left[a_{i j}\right]$ in row echelon form 可能不是 上三角，但它仍然具有以下性质 $a_{i j}=0$ 什么时候 $i>j$ 并且仍然是求解相关联的线性 方程组只需要反向代入的情况。
上三角矩阵和下三角矩阵也有很好的数学性质。
数学代写|线性代数代写linear algebra代考|Dual Spaces
我们已经讨论了从一个向量空间到另一个向量空间的线性变换的向量空间。也许违反 直觉，从向量空间到其标量场的映射特别有趣。它们被称为线性泛函。
示例 5.1。让 $V=C([0,1])$ 在哪里 $[0,1] \subseteq \mathbb{R}$. 我们将其作为练习来验证
$$
f \mapsto \int_0^1 f(t) d t
$$
定义一个线性泛函 $V$.
向量空间上所有线性泛函的集合是它的对偶空间。我们表示的对偶空间 $V$ 经过 $\mathrm{V}^{\wedge}$. 自 从 $V^{=} \mathcal{L}(V, \mathbb{F})$ ， 在哪里 $\mathbb{F}$ 是标量场 $V$ ，推论 $3.28$ 告诉我们如果 $\operatorname{dim} V=n$ ，然后 $\operatorname{dim} V^*=n$ ，还有。
什么时候 $V$ 是无限维的， $\$ \mathrm{~V} \backslash$ cong $\mathrm{V}^{\wedge}$ 可能不是这种情况. Inthatsetting, $V^{\wedge}$ maybecalledthealgebraicdualorthe fullalgebraicdualof 在 and”dualspace” mayre fertoapropersubspaceof $\mathrm{V}^{\wedge * \$ 。}$
定理 5.2。的双重空间 $\mathbb{F}^n$ 是 $\mathbb{F}_n$.
这就是有趣的关系 $\mathbb{F}^n$ 和 $\mathbb{F}_n$ 我们在 $1.2$ 节中承诺的。它还表明对偶性和矩阵之间存在 更深层次的关系
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