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数学代写|微积分代写Calculus代写|How Can a Limit Fail to Exist
We have seen that a limit fails to exist at a number $a$ if the left- and right-hand limits are not equal (as in Example 4). The next two examples illustrate additional ways that a limit can fail to exist.
EXAMPLE 5 Investigate $\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{\pi}{x}$.
SOLUTION Notice that the function $f(x)=\sin (\pi / x)$ is undefined at 0 . Evaluating the function for some small values of $x$, we get
$$
\begin{array}{rrrl}
f(1)=\sin \pi=0 & f\left(\frac{1}{2}\right) & =\sin 2 \pi=0 \
f\left(\frac{1}{3}\right) & =\sin 3 \pi=0 & f\left(\frac{1}{4}\right) & =\sin 4 \pi=0 \
f(0.1) & =\sin 10 \pi=0 & f(0.01) & =\sin 100 \pi=0
\end{array}
$$
Similarly, $f(0.001)=f(0.0001)=0$. On the basis of this information we might be tempted to guess that the limit is 0 , but this time our guess is wrong. Note that although $f(1 / n)=\sin n \pi=0$ for any integer $n$, it is also true that $f(x)=1$ for infinitely many values of $x$ (such as $2 / 5$ or 2/101) that approach 0 . You can see this from the graph of $f$ shown in Figure 8 .
The dashed lines near the $y$-axis indicate that the values of $\sin (\pi / x)$ oscillate between 1 and $-1$ infinitely often as $x$ approaches 0 .
Since the values of $f(x)$ do not approach a fixed number as $x$ approaches 0 ,
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{\pi}{x} \text { does not exist }
$$
Examples 3 and 5 illustrate some of the pitfalls in guessing the value of a limit. It is easy to guess the wrong value if we use inappropriate values of $x$, but it is difficult to know when to stop calculating values. And, as the discussion after Example 1 shows, sometimes calculators and computers give the wrong values. In the next section, however, we will develop foolproof methods for calculating limits.
Another way a limit at a number $a$ can fail to exist is when the function values grow arbitrarily large (in absolute value) as $x$ approaches $a$.
数学代写|微积分代写Calculus代写|Calculating Limits Using the Limit Laws
In Section $2.2$ we used calculators and graphs to guess the values of limits, but we saw that such methods don’t always lead to the correct answers. In this section we use the following properties of limits, called the Limit Laws, to calculate limits.
These five laws can be stated verbally as follows:
- The limit of a sum is the sum of the limits.
- The limit of a difference is the difference of the limits.
- The limit of a constant times a function is the constant times the limit of the function.
- The limit of a product is the product of the limits.
- The limit of a quotient is the quotient of the limits (provided that the limit of the denominator is not 0 ).
It is easy to believe that these properties are true. For instance, if $f(x)$ is close to $L$ and $g(x)$ is close to $M$, it is reasonable to conclude that $f(x)+g(x)$ is close to $L+M$. This gives us an intuitive basis for believing that Law 1 is true. In Section $2.4$ we give a precise definition of a limit and use it to prove this law. The proofs of the remaining laws are given in Appendix F.
EXAMPLE 1 Use the Limit Laws and the graphs of $f$ and $g$ in Figure 1 to evaluate the following limits, if they exist.
(a) $\lim {x \rightarrow-2}[f(x)+5 g(x)]$ (b) $\lim {x \rightarrow 1}[f(x) g(x)]$
(c) $\lim {x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{g(x)}$ SOLUTION (a) From the graphs of $f$ and $g$ we see that $$ \lim {x \rightarrow-2} f(x)=1 \quad \text { and } \quad \lim {x \rightarrow-2} g(x)=-1 $$ Therefore we have $$ \begin{array}{rlr} \lim {x \rightarrow-2}[f(x)+5 g(x)] & =\lim {x \rightarrow-2} f(x)+\lim {x \rightarrow-2}[5 g(x)] \quad \text { (by Limit Law 1) } \
& =\lim {x \rightarrow-2} f(x)+5 \lim {x \rightarrow-2} g(x) \quad \text { (by Limit Law 3) } \
& =1+5(-1)=-4
\end{array}
$$
(b) We see that $\lim {x \rightarrow 1} f(x)=2$. But $\lim {x \rightarrow 1} g(x)$ does not exist because the left and right limits are different:
$$
\lim {x \rightarrow 1^{-}} g(x)=-2 \quad \lim {x \rightarrow 1^{+}} g(x)=-1
$$
微积分代考
数学代写|微积分代写Calculus代写|How Can a Limit Fail to Exist
我们已经看到极限不存在于一个数 $a$ 如果左右极限不相等 (如例 4 所示)。接下来的 两个示例说明了限制可能不存在的其他方式。
例 5 调查 $\lim {x \rightarrow 0} \sin \frac{\pi}{x}$. 解决方案 注意函数 $f(x)=\sin (\pi / x)$ 在 0 处末定义。评估函数的一些小值 $x$ ，我们得 到 $$ f(1)=\sin \pi=0 \quad f\left(\frac{1}{2}\right)=\sin 2 \pi=0 f\left(\frac{1}{3}\right)=\sin 3 \pi=0 \quad f\left(\frac{1}{4}\right)=\sin 4 \pi $$ 相似地， $f(0.001)=f(0.0001)=0$. 基于这些信息，我们可能会猜测极限是 $0 ，$ 但这次我们的猜测是错误的。请注意，虽然 $f(1 / n)=\sin n \pi=0$ 对于任何整数 $n$ ， 这也是真的 $f(x)=1$ 对于无穷多的值 $x$ （如 $2 / 5$ 或 2/101） 接近 0 。你可以从图表中 看到这一点 $f$ 如图8所示。 附近的虚线 $y$-轴表示的值 $\sin (\pi / x)$ 在 1 和 $-1$ 无限经常作为 $x$ 接近 0 。 由于值 $f(x)$ 不要接近一个固定的数字 $x$ 接近 0 ， $$ \lim {x \rightarrow 0} \sin \frac{\pi}{x} \text { does not exist }
$$
示例 3 和 5 说明了猜测极限值时的一些陷阱。如果我们使用不合适的值，很容易猜 错值 $x$ ，但很难知道何时停止计算值。而且，正如示例 1 之后的讨论所示，有时计算 器和计算机会给出错误的值。然而，在下一节中，我们将开发用于计算限制的万无一 失的方法。
另一种限制数字的方法 $a$ 可能不存在是当函数值增长任意大 (绝对值) 时 $x$ 方法 $a$.
数学代写|微积分代写Calculus代写|Calculating Limits Using the Limit Laws
在节 $2.2$ 我们使用计算器和图表来猜测极限值，但我们发现这些方法并不总能得出正 确答案。在本节中，我们使用极限的以下属性（称为极限定律）来计算极限。
这五法可用口述如下:
- 和的极限是极限的总和。
- 差异的极限是极限的差异。
- 常数乘以函数的极限是常数乘以函数的极限。
- 乘积的极限是极限的乘积。
- 商的极限是极限的商（前提是分母的极限不为 0 ）。
很容易相信这些属性是真实的。例如，如果 $f(x)$ 接近 $L$ 和 $g(x)$ 接近 $M$ ，可以合理 地得出结论 $f(x)+g(x)$ 接近 $L+M$. 这为我们提供了相信法则 1 为真的直觉基 础。在节 $2.4$ 我们给出一个极限的精确定义，并用它来证明这个定律。其余定律的 证明在附录 F 中给出。
示例 1 使用极限定律和图形 $f$ 和 $g$ 在图 1 中评估以下限制（如果存在）。
(一个) $\lim x \rightarrow-2[f(x)+5 g(x)]$ (乙) $\lim x \rightarrow 1[f(x) g(x)]$
(C) $\lim x \rightarrow 2 \frac{f(x)}{g(x)}$ 解决方案 (a) 从图表 $f$ 和 $g$ 我们看到
$$
\lim x \rightarrow-2 f(x)=1 \quad \text { and } \quad \lim x \rightarrow-2 g(x)=-1
$$
因此我们有
$$
\lim x \rightarrow-2[f(x)+5 g(x)]=\lim x \rightarrow-2 f(x)+\lim x \rightarrow-2[5 g(x)] \quad \text { (by Limit }
$$
(b) 我们看到 $\lim x \rightarrow 1 f(x)=2$. 但 $\lim x \rightarrow 1 g(x)$ 不存在，因为左右极限不同:
$$
\lim x \rightarrow 1^{-} g(x)=-2 \quad \lim x \rightarrow 1^{+} g(x)=-1
$$
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