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数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|Iterative Soft Thresholding
We now derive an algorithm using a classical technic of surrogate function minimization. We aim at minimizing
$$
f(x) \stackrel{\text { def. }}{=} \frac{1}{2}|y-A x|^2+\lambda \mid x |_1
$$
and we introduce for any fixed $x^{\prime}$ the function
$$
f_\tau\left(x, x^{\prime}\right) \stackrel{\text { def. }}{=} f(x)-\frac{1}{2}\left|A x-\left.A x^{\prime}\right|^2+\frac{1}{2 \tau}\right| x-x^{\prime} |^2
$$
We notice that $f_\tau(x, x)=0$ and one the quadratic part of this function reads
$$
K\left(x, x^{\prime}\right) \stackrel{\text { def. }}{=}-\frac{1}{2}\left|A x-A x^{\prime} |^2+\frac{1}{2 \tau}\right| x-x^{\prime} \mid=\frac{1}{2}\left\langle\left(\frac{1}{\tau} \operatorname{Id}N-A^{\top} A\right)\left(x-x^{\prime}\right), x-x^{\prime}\right\rangle . $$ This quantity $K\left(x, x^{\prime}\right)$ is positive if $\lambda{\max }\left(A^{\top} A\right) \leqslant 1 / \tau$ (maximum eigenvalue), i.e. $\tau \leqslant 1 /|A|_{\mathrm{op}}^2$, where we recall that $|\left. A\right|{\text {op }}=\sigma{\max }(A)$ is the operator (algebra) norm. This shows that $f_\tau\left(x, x^{\prime}\right)$ is a valid surrogate functional, in the sense that
$$
f(x) \leqslant f_\tau\left(x, x^{\prime}\right), \quad f_\tau\left(x, x^{\prime}\right)=0, \quad \text { and } \quad f(\cdot)-f_\tau\left(\cdot, x^{\prime}\right) \text { is smooth. }
$$
We also note that this majorant $f_\tau\left(\cdot, x^{\prime}\right)$ is convex. This leads to define
$$
x_{k+1} \stackrel{\text { def. }}{=} \underset{x}{\operatorname{argmin}} f_\tau\left(x, x_k\right)
$$
which by construction satisfies
$$
f\left(x_{k+1}\right) \leqslant f\left(x_k\right)
$$
数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|Minimizing Sums and Expectation
A large class of functionals in machine learning can be expressed as minimizing large sums of the form
$$
\min {x \in \mathbb{R}^P} f(x) \stackrel{\text { def. }}{=} \frac{1}{n} \sum{i=1}^n f_i(x)
$$
or even expectations of the form
$$
\min {x \in \mathbb{R}^p} f(x) \stackrel{\text { def. }}{=} \mathbb{E}{\mathbf{z} \sim \pi}(f(x, \mathbf{z}))=\int_{\mathcal{Z}} f(x, z) \mathrm{d} \pi(z) .
$$
Problem (42) can be seen as a special case of (43), when using a discrete empirical uniform measure $\pi=$ $\sum_{i=1}^n \delta_i$ and setting $f(x, i)=f_i(x)$. One can also viewed (42) as a discretized “empirical” version of (43) when drawing $\left(z_i\right)_i$ i.i.d. according to $\mathbf{z}$ and defining $f_i(x)=f\left(x, z_i\right)$. In this setup, (42) converges to (43) as $n \rightarrow+\infty$.
A typical example of such a class of problems is empirical risk minimization for linear model, where in these cases
$$
f_i(x)=\ell\left(\left\langle a_i, x\right\rangle, y_i\right) \text { and } f(x, z)=\ell(\langle a, x\rangle, y)
$$
for $z=(a, y) \in \mathcal{Z}=\left(\mathcal{A}=\mathbb{R}^P\right) \times \mathcal{Y}$ (typically $\mathcal{Y}=\mathbb{R}$ or $\mathcal{Y}={-1,+1}$ for regression and classification), where $\ell$ is some loss function. We illustrate below the methods on binary logistic classification, where
$$
L(s, y) \stackrel{\text { def }}{=} \log (1+\exp (-s y))
$$
But this extends to arbitrary parametric models, and in particular deep neural networks.
机器学习中的优化理论代考
数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|Iterative Soft Thresholding
我们现在使用代理函数最小化的经典技术推导出一个算法。我们的目标是最小化
$$
f(x) \stackrel{\text { def. }}{=} \frac{1}{2}|y-A x|^2+\lambda|x|1 $$ 我们介绍任何固定的 $x^{\prime}$ 功能 $$ f\tau\left(x, x^{\prime}\right) \stackrel{\text { def. }}{=} f(x)-\frac{1}{2}\left|A x-A x^{\prime}\right|^2+\frac{1}{2 \tau}\left|x-x^{\prime}\right|^2
$$
我们注意到 $f_\tau(x, x)=0$ 这个函数的二次部分是
$$
K\left(x, x^{\prime}\right) \stackrel{\text { def. }}{=}-\frac{1}{2}\left|A x-A x^{\prime}\right|^2+\frac{1}{2 \tau}\left|x-x^{\prime}\right|=\frac{1}{2}\left\langle\left(\frac{1}{\tau} \operatorname{Id} N-A^{\top} A\right)\left(x-x^{\prime}\right), x-x^{\prime}\right\rangle
$$
$|A| \mathrm{op}=\sigma \max (A)$ 是运算符 (代数) 范数。这表明 $f_\tau\left(x, x^{\prime}\right)$ 是一个有效的替代功能，在这个意义上 $f(x) \leqslant f_\tau\left(x, x^{\prime}\right), \quad f_\tau\left(x, x^{\prime}\right)=0, \quad$ and $\quad f(\cdot)-f_\tau\left(\cdot, x^{\prime}\right)$ is smooth.
我们还注意到这个专业 $f_\tau\left(\cdot, x^{\prime}\right)$ 是凸的。这导致定义
$$
x_{k+1} \stackrel{\text { def. }}{=} \underset{x}{\operatorname{argmin}} f_\tau\left(x, x_k\right)
$$
通过构造满足
$$
f\left(x_{k+1}\right) \leqslant f\left(x_k\right)
$$
数学代写|机器学习中的优化理论代写OPTIMIZATION FOR MACHINE LEARNING代考|Minimizing Sums and Expectation
机器学习中的一大类泛函可以表示为最小化形式的大和
$$
\min x \in \mathbb{R}^P f(x) \stackrel{\text { def. }}{=} \frac{1}{n} \sum i=1^n f_i(x)
$$
甚至对形式的期望
$$
\min x \in \mathbb{R}^p f(x) \stackrel{\text { def. }}{=} \mathbb{E} \mathbf{z} \sim \pi(f(x, \mathbf{z}))=\int_{\mathcal{Z}} f(x, z) \mathrm{d} \pi(z) .
$$
问题 (42) 可以看作是 (43) 的一个特例，当使用离散经验统一测度时 $\pi=\sum_{i=1}^n \delta_i$ 和设置 $f(x, i)=f_i(x)$ – 在绘制时，还可以将 (42) 视为 (43) 的离散化”经验”版本 $\left(z_i\right)_i$ 根据 $\mathbf{z}$ 并定义 $f_i(x)=f\left(x, z_i\right)$. 在这个设 置中， (42) 收敛到 (43) 作为 $n \rightarrow+\infty$.
此类问题的典型示例是线性模型的经验风险最小化，在这些情况下
$$
f_i(x)=\ell\left(\left\langle a_i, x\right\rangle, y_i\right) \text { and } f(x, z)=\ell(\langle a, x\rangle, y)
$$
为了 $z=(a, y) \in \mathcal{Z}=\left(\mathcal{A}=\mathbb{R}^P\right) \times \mathcal{Y}$ (通常 $\mathcal{Y}=\mathbb{R}$ 或者 $\mathcal{Y}=-1,+1$ 用于回归和分类)，其中 $\ell$ 是一 些损失函数。我们在下面说明二元逻辑分类的方法，其中
$$
L(s, y) \stackrel{\text { def }}{=} \log (1+\exp (-s y))
$$
但这扩展到任意参数模型，尤其是深度神经网络。
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