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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Störungen der Zielfunktion

Im Folgenden untersuchen wir, wie ein primal-dual nichtdegenerierter primal optimaler Punkt $x^$ mit Optimalwert $z^$ auf kleine Störungen von $c$ reagiert. Für Beispiel $1.2$ ist dies in Abbildung $2.1$ illustriert. Störungen von $c$ bei Problemen im $\mathbb{R}^2$ führen zu Verschiebung und Drehung der Höhenlinien der Zielfunktion $f(x)=c^{\boldsymbol{\top}} x$. Aus der Geometrie des Problems in Abbildung $2.1$ ist zunächst anschaulich klar, dass der eindeutige optimale Punkt $x^=(300,150)^{\top}$ unter kleinen Störungen von $c$ seine Position nicht verändert. Bezeichnet man die Menge der optimalen Punkte des Problems zu gestörtem $c$ mit $M_P^(c)$, so gilt also
$$
M_P^(c)=\left{x^\right}
$$
für hinreichend kleine Störungen von $c$.
Für höhere Dimensionen lässt sich dasselbe Resultat mit Hilfe von Stetigkeitsargumenten erzielen, die sich wie folgt grob skizzieren lassen: Ist $\left(x^, y^\right)$ eine primal-dual nichtdegenerierte Basislösung, so hängen sowohl $x^(c)$ als auch $y^(c)$ stetig von $c$ ab. Da alle Basisvariablen von $x^$ positiv sind, bleiben sie es aufgrund der Stetigkeit auch im Punkt $x^(c)$, wenn die Störung in $c$ hinreichend klein ist. Somit besitzen $x^$ und $x^(c)$ auch dieselben Nichtbasisvariablen, so dass in beiden Fällen derselbe Punkt definiert wird. Für eine ausführlichere Beweisführung (für den allgemeineren nichtlinearen Fall) verweisen wir auf [51].

Während der optimale Punkt $x^(c)$ unter kleinen Störungen von $c$ unverändert bleibt, ändert sich allerdings der optimale Wert, denn es gilt $$ z^(c)=c^{\top} x^(c)=c^{\top} x^ .
$$
Beispiel 2.2 (Beispiel 1.2 – Fortsetzung 13).
Der optimale Punkt $x^=(300,150,0,0,50)^{\top}$ besitzt den optimalen Wert $z^=1500$. Während der optimale Punkt sich unter kleinen Störungen von $c$ nicht verändert, lautet der optimale Wert dann
$$
z^(c)=c^{\top} x^=300 c_1+150 c_2+50 c_5 .
$$
Damit hat beispielsweise eine Störung im Zielfunktionskoeffizienten $c_1$ eine doppelt so große Auswirkung auf den optimalen Wert wie eine Störung in $c_2$.

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Störungen der rechten Seite

Aus ökonomischer Sicht sehr wichtig sind die analogen Aussagen zur Reaktion von $x^$ und $z^$ auf Änderungen des Vektors $b$ der rechten Seiten. In Beispiel 1.2 modellieren sie Störungen der Kapazitätsbeschränkungen an Maschinenstunden, Rohstoffen und verfügbarer Arbeitszeit, wie Abbildung $2.2$ veranschaulicht.

Im Gegensatz zu Störungen von $c$ verschiebt sich der optimale Punkt $x^(b)$ unter Störungen von $b$. Wie angekündigt wollen wir die Abhängigkeit des optimalen Punktes aber nicht vertiefen, sondern konzentrieren uns auf die Abhängigkeit des optimalen Wertes $z^$ von $b$.

Aus der Formel $z^(b)=c^{\top} x^(b)$ ist dazu zunächst wenig zu entnehmen. Allerdings gilt nach dem starken Dualitätssatz (Satz 1.20) die Beziehung
$$
z^(b)=c^{\boldsymbol{\top}} x^(b)=b^{\boldsymbol{\top}} y^(b), $$ wobei $y^(b)$ den gestörten dual optimalen Punkt bezeichnet. Die entscheidende Beobachtung ist, dass für Störungen von $b$ im Dualproblem genau die Situation vorliegt, die wir in Abschnitt 2.1.2 für das Primalproblem bei Störungen von $c$ untersucht haben, denn $b^{\top} y$ ist die Zielfunktion des Dualproblems. Für eine primal-dual nichtdegenerierte zulässige Basislösung $\left(x^, y^\right)$ bleibt also $y^(b)$ unter Störungen von $b$ unverändert, und wir erhalten folgendes Ergebnis: Satz 2.3. Für eine primal-dual nichtdegenerierte zulässige Basislösung $\left(x^, y^\right)$ verhält der optimale Wert sich unter hinreichend kleinen Störungen von b nach der Formel $$ z^(b)=b^{\boldsymbol{\top}} y^* .
$$
Beispiel $2.3$ (Beispiel $1.2$ – Fortsetzung 14).
Der optimale Punkt $x^=(300,150,0,0,50)^{\top}$ besitzt den optimalen Wert $z^=$ 1500 , und der dual optimale Punkt lautet $y^=(1 / 2,3 / 10,0,0,0)^{\top}$. Unter kleinen Störungen von $b$ lautet der optimale Wert nach Satz $2.3$ also $$ z^(b)=b^{\top} y^*=\frac{1}{2} b_1+\frac{3}{10} b_2
$$

运筹学代考

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Störungen der Zielfunktion

在下文中，我们将研究原始对偶非退化原始最佳点 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 具有最优值 $\mathrm{z}^{\wedge}$ 对小干扰 $c$ 反应过来了例如 $1.2$ 这是 在图中吗 $2.1$ 揷图。来自的干扰 $c$ 万一出现问题 $\mathbb{R}^2$ 导致目标函数轮廓线的位移和旋转 $f(x)=c^{\top} x$. 从图中 问题的几何学2.1首先直观地清楚，独特的最佳点 $x^{=}(300,150)^{\top}$ 在小的干扰下 $c$ 没有改变它的位置。表 示要扰动的问题的最优点集 $\left(\right.$ 和 $\left.M_P^{(} c\right)$, 所以它是有效的
$$
M_{-} P^{\wedge}(c)=\backslash l \text { eft }\left{x^{\wedge} \backslash \text { right }\right}
$$
对于足够小的扰动 $c$.
对于更高的维度，使用连续性参数可以得到相同的结果，大致可以概括如下: $\backslash$ 左 $\left(x^{\wedge}, y^{\wedge} \backslash\right.$ 右) 原始对偶非 退化基本解，则两者都取决于 $x^{(}(c)$ 也 $\left.y^{(} c\right)$ 稳定从 $c$ 离开。由于所有基变量 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 是积极的，他们仍然是因为 定义了相同的点。对于更详细的证明（对于更一般的非线性情况），我们参考 [51]。
而最佳点 $x(c)$ 在小的干扰下 $c$ 保持不变，但是，最佳值发生变化，因为它是有效的
$$
\left.\left.z^{(} c\right)=c^{\top} x^{(} c\right)=c^{\top} x
$$
示例 $2.2$ (示例 $1.2$ – 续 13)。
$$
\left.z^{\prime} c\right)=c^{\top} x^{=} 300 c_1+150 c_2+50 c_5 .
$$
因此，例如，目标函数系数的扰动 $c_1$ 对最优值的影响是干扰的两倍 $c_2$.

数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Störungen der rechten Seite

从经济的角度来看，关于反应的类似陈述 $\mathrm{x}^{\wedge}$ 和 $\mathrm{z}^{\wedge}$ 向量的变化 $b$ 右侧。在示例 $1.2$ 中，他们模拟了产能约 束对机器工时、原材料和可用劳动时间的扰动，如图所示 $2.2$ 揷图。
与干扰相比 $c$ 移动最佳点 $\left.x^{\prime} b\right)$ 受到干扰 $b$. 然而正如所宣布的那样，我们不想加深最优点的依赖性，而是专 注于最优值的依赖性 $\mathrm{z}^{\wedge}$ 从 $b$.
从公式 $\left.\left.z^{(} b\right)=c^{\top} x^{(} b\right)$ 一开始对此几乎无话可说。然而，根据强对偶性定理（定理 1.20），该关系成立
$$
\left.\left.\left.z^{(} b\right)=c^{\top} x^{(} b\right)=b^{\top} y^{(} b\right),
$$
由此 $y(b)$ 表示扰动的对偶最优点。关键的观察是，对于 $b$ 对偶问题中的情况正是我们在第 $2.1 .2$ 节中针对 扰动情况下的原始问题所发现的情况 $c$ 检查过，因为 $b^{\top} y$ 是对偶问题的目标函数。对于原始对偶非退化基 本可行解 左( $\left(\wedge^{\wedge}, y^{\wedge} \backslash\right.$ 右) 所以留下来 $\left.y^{(} b\right)$ 受到干扰 $b$ 不变，得到如下结果： 定理 2.3。对于原始对偶非退化 基本可行解 $\backslash$ 左 $\left(x^{\wedge}, y^{\wedge} \backslash\right.$ 右 $)$ 最佳值根据 b 足够小的扰动的公式表现
$$
\left.z^{(} b\right)=b^{\top} y^* .
$$
例子 $2.3$ (例子 $1.2$ – 继续 14). 中 $b$ 是定理的最优值 $2.3$ 还
$$
\left.z^{(} b\right)=b^{\top} y^*=\frac{1}{2} b_1+\frac{3}{10} b_2
$$

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