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数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Schattenpreise
Wie in diesem Beispiel lässt sich der Wert $y_i^*$ stets als ,Wichtigkeit” der Restriktion $i$ für den optimalen Wert interpretieren. Aus diesem Grund nennt man die Werte der dual optimalen Lösung auch Schattenpreise der Restriktionen oder Opportunitätskosten.
Schattenpreise lassen sich also zur Unterstützung der Entscheidung heranziehen, in welche Restriktion (geringe) Investitionsmittel fließen sollten, um eine möglichst hohe Auswirkung auf den optimalen Wert (z.B. den Gewinn) zu erzielen. Hierbei ist allerdings darauf zu achten, dass die einzelnen Restriktionen häufig in unterschiedlichen Einheiten gemessen werden, die nicht direkt vergleichbar sind. In Beispiel 1.2 kann etwa die Investition in eine Einheit der Maschinenstunden erheblich teurer sein als in eine Einheit der Rohstoffmenge:
Beispiel 2.4 (Beispiel 1.2 – Fortsetzung 15).
Der Preis für eine Maschinenstunde sei $50 €$, der Preis für eine Rohstoffeinheit betrage $10 €$. Mit Investitionsmitteln in Höhe von $100 €$ lassen sich demnach entweder die Maschinenkapazität um 2 Stunden ausbauen oder die verfügbare Rohstoffmenge um 10 Einheiten. Die Auswirkungen auf den Gewinn sind
$$
z^(b)-z^=\frac{1}{2}(1200+2)+\frac{3}{10} 3000-1500=\frac{1}{2} \cdot 2=1
$$
bei Investition in die Maschinenstunden und
$$
z^(b)-z^=\frac{1}{2} 1200+\frac{3}{10}(3000+10)-1500=\frac{3}{10} \cdot 10=3
$$
bei Investition in die Rohstoffmenge. Obwohl die Schattenpreise $1 / 2>3 / 10$ erfüllen, ist also eine Investition in die Rohstoffmenge sinnvoll.
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Parametrische lineare Optimierung
Die parametrische lineare Optimierung umfasst die in Abschnitt $2.1$ diskutierte Sensitivitätsanalyse, macht zudem aber auch Aussagen über große Änderungen der Eingangsdaten $A, b$ und $c$. Die Unterscheidung zwischen großen und kleinen Änderungen ist dadurch bedingt, dass hinreichend kleine Änderungen für eine primaldual nichtdegenerierte zulässige Basislösung keinen Basiswechsel verursachen. Aus geometrischer Sicht bedeutet dies für Beispiel 1.2, dass unter kleinen Störungen von $c$ der optimale Punkt $x^*$ unverändert bleibt, und dass er sich unter kleinen Störungen von $b$ zwar verschiebt, aber als Schnittpunkt derselben Restriktionsgeraden definiert bleibt (vgl. Abb. 2.2).
Große Änderungen in den Eingangsdaten können dazu führen, dass sich auch die Basis des optimalen Punktes ändert. Wir untersuchen im Folgenden wieder nur den Einfluss von Änderungen in $b$ und $c$, im Gegensatz zu Abschnitt $2.1$ aber sowohl auf optimale Werte als auch auf optimale Punkte.
Anstatt beliebige Änderungen in allen Einträgen von $b$ zuzulassen, konzentrieren wir uns auf große Änderungen in einem Eintrag von $b$ oder (etwas allgemeiner) auf eindimensionale Änderungen der Form
$$
b(t)=b+t \beta
$$
mit einem konstanten Vektor $\beta \in \mathbb{R}^m$ und dem eindimensionalen Parameter $t \in \mathbb{R}$. Wählt man für $\beta$ speziell einen Einheitsvektor $e_i$, so erhält man
$$
b(t)=\left(b_1, \ldots, b_{i-1}, b_i+t, b_{i+1}, \ldots, b_m\right)^{\top},
$$
also gerade eine Änderung des Eintrags $b_i$ um $t$. Wir unterstreichen, dass $\beta$ allerdings nicht notwendigerweise als Einheitsvektor gewählt werden muss.
Beispiel $2.5$ (Beispiel 1.2 – Fortsetzung 16).
Die Wahl $\beta=1000 e_2$ führt auf
$$
b(t)=b+t \beta=\left(\begin{array}{l}
1200 \
3000+1000 t \
125
\end{array}\right)
$$
also auf die Änderung der verfügbaren Rohstoffmenge um $1000 t$. Geometrisch führt die Variation von $t$ zu einer Parallelverschiebung der zur Rohstoffrestriktion gehörenden Restriktionsgeraden, während sowohl die anderen Restriktionen als auch die Zielfunktion unverändert bleiben. Insbesondere verändert sich die Gestalt der zulässigen Menge $\mathbb{M}(t)$ in Abhängigkeit von $t$, wobei $\mathbb{M}(0)=\mathbb{M}$ gilt. Abbildung $2.3$ illustriert, dass hinreichend große Änderungen $t$ von $b_2$ zu Basiswechseln beim optimalen Punkt bzw. zu einer leeren zulässigen Menge $\mathbb{M}(t)$ führen.
运筹学代考
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Schattenpreise
在这个例子中，值 $y_i^*$ 总是作为限制的”重要性” $i$ 解释为最优值。因此，对偶最优解的值也称为限制的影子 价格或机会成本。
因此，影子价格可用于支持决定应流入哪些限制（小） 投资资金，以实现对最优价值（例如利润）的最 大可能影响。然而，应该注意的是，个别限制通常是用不同的单位来衡量的，这些单位不能直接比较。 例如，在示例 $1.2$ 中，单位机器工时的投资可能比单位原材料的投资要昂贵得多： 示例 $2.4$ (示例 $1.2$ – 续 15)。
一个机器小时的价格是 $50 € ，$ 一单位原材料的价格 $10 €$. 投资资金为 $100 €$ 要么机器产能可以增加 2 小 时，要么原材料的可用数量增加 10 单位。对利润的影响是 $\$ \$$
$z^{\wedge}(b)-z^{\wedge}=\backslash$ frac ${1}{2}(1200+2)+\backslash \operatorname{frac}{3}{10} 3000-1500=\backslash$ frac ${1}{2} \backslash$ 乘以 $2=1$
beiInvestitionindieMaschinenstundenund
$z^{\wedge}(b)-z^{\wedge}=\backslash \operatorname{frac}{1}{2} 1200+\backslash \operatorname{frac}{3}{10}(3000+10)-1500=\backslash \operatorname{frac}{3}{10} \backslash c \cot 10=3$
$\$ \$$
投资原材料数量时。虽然影子价格 $1 / 2>3 / 10$ 满足，对原材料数量的投资是有意义的。
数学代写|运筹学作业代写operational research代考|Parametrische lineare Optimierung
参数线性优化包括那些在第 $2.1$ 讨论了敏感性分析，但也对输入数据的大变化做出了陈述 $A, b$ 和 $c$. 大变化 和小变化之间的区别是由于原始对偶非退化可行基本解的足够小的变化不会引起基的变化。从几何的角 度来看，这意味着例如 $1.2$ 在 的小扰动下 $c$ 最佳点 $x^*$ 保持不变，并且他受到小的干扰b移动，但仍定义为 同一限制线的交点（参见图 2.2）。
输入数据的大变化也会导致最佳点的基数发生变化。下面我们只考察变化的影响 $b$ 和 $c$ ，而不是部分 $2.1$ 但 都达到最佳值和最佳点。
而不是任意更改的所有条目 $b$ 允许，让我们关注条目中的重大变化 $b$ 或 (更一般地说) 形状的一维变化
$$
b(t)=b+t \beta
$$
有一个常数向量 $\beta \in \mathbb{R}^m$ 和一维参数 $t \in \mathbb{R}$.一票赞成 $\beta$ 特别是一个单位向量 $e_i$, 所以你得到
$$
b(t)=\left(b_1, \ldots, b_{i-1}, b_i+t, b_{i+1}, \ldots, b_m\right)^{\top},
$$
所以只需更改条目 $b_i$ 一个 $t$. 我们强调 $\beta$ 然而，不一定必须选择作为单位向量。
例子 $2.5$ (示例 $1.2$ – 续 16 ) 。
可选的 $\beta=1000 e_2$ 施行
$$
b(t)=b+t \beta=(12003000+1000 t 125)
$$
即可用原材料数量的变化 $1000 t$. 在几何上，变化的 $t$ 平行移动属于原材料限制的限制线，而其他限制和目 标函数都保持不变。特别是，允许数量的形状发生变化 $\mathbb{M}(t)$ 依赖于 $t$ ，由此 $\mathbb{M}(0)=\mathbb{M}$ 适用。揷图 $2.3$ 说 明足够大的变化 $t$ 从 $b_2$ 以最佳点或空可行集为基础进行更改 $\mathbb{M}(t)$ 领导。
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