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计算机代写|数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法代写Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning代考|Understanding Convergence
- Gradient descent can be viewed as successive approximation.
- Approximate the function as
$$
f\left(\boldsymbol{x}^t+\boldsymbol{d}\right) \approx f\left(\boldsymbol{x}^t\right)+\nabla f\left(\boldsymbol{x}^t\right)^T \boldsymbol{d}+\frac{1}{2 \alpha}|\boldsymbol{d}|^2
$$ - We can show that the $\boldsymbol{d}$ that minimizes $f\left(\boldsymbol{x}^t+\boldsymbol{d}\right)$ is $\boldsymbol{d}=-\alpha \nabla f\left(\boldsymbol{x}^t\right)$.
- This suggests: Use a quadratic function to locally approximate $f$.
- Converge when curvature $\alpha$ of the approximation is not too big.
- Gradient descent is useful because
- Simple to implement (compared to ADMM, FISTA, etc)
- Low computational cost per iteration (no matrix inversion)
- Requires only first order derivative (no Hessian)
- Gradient is available in deep networks (via back propagation)
- Most machine learning has built-in (stochastic) gradient descents
- Welcome to implement your own, but you need to be careful
- Convex non-differentiable problems, e.g., $\ell_1$-norm
- Non-convex problem, e.g., ReLU in deep network
- Trap by local minima
- Inappropriate step size, a.k.a. learning rate
- Consider more “transparent” algorithms such as CVX when
- Formulating problems. No need to worry about algorithm.
- Trying to obtain insights.
计算机代写|数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法代写Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning代考|Smoothing the Landscape
Analyzing SGD is an active research topic. Here is one by Kleinberg et al. (https://arxiv.org/pdf/1802.06175.pdf ICML 2018)
- The SGD step can be written as GD + noise:
$$
\boldsymbol{x}^{t+1}=\boldsymbol{x}^t-\eta\left(\nabla f\left(\boldsymbol{x}^t\right)+\boldsymbol{w}^t\right) \quad=\underbrace{\boldsymbol{x}^t-\eta \nabla f\left(\boldsymbol{x}^t\right)}_{\overline{\overline{\mathrm{d}} \boldsymbol{y}} \boldsymbol{y}^t}-\eta \boldsymbol{w}^t .
$$ - $\boldsymbol{y}^t$ is the “ideal” location returned by GD.
- Let us analyze $y^{t+1}$.
$$
\boldsymbol{y}^{t+1} \stackrel{\text { def }}{=} \boldsymbol{x}^{t+1}-\eta \nabla f\left(\boldsymbol{x}^{t+1}\right) \quad=\left(\boldsymbol{y}^t-\eta \boldsymbol{w}^t\right)-\eta \nabla f\left(\boldsymbol{y}^t-\eta \boldsymbol{w}^t\right)
$$ - Assume $\mathbb{E}[\boldsymbol{w}]=0$, then
$$
\mathbb{E}\left[\boldsymbol{y}^{t+1}\right]=\boldsymbol{y}^t-\eta \nabla \mathbb{E}\left[\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{y}^t-\boldsymbol{\eta} \boldsymbol{w}^t\right)\right]
$$
机器学习中的矩阵方法代考
计算机代写|数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法代写Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning代考|Understanding Convergence
- 梯度下降可以看作是逐次逼近。
- 将函数近似为
$$
f\left(\boldsymbol{x}^t+\boldsymbol{d}\right) \approx f\left(\boldsymbol{x}^t\right)+\nabla f\left(\boldsymbol{x}^t\right)^T \boldsymbol{d}+\frac{1}{2 \alpha}|\boldsymbol{d}|^2
$$ - 我们可以证明 $\boldsymbol{d}$ 最小化 $f\left(\boldsymbol{x}^t+\boldsymbol{d}\right)$ 是 $\boldsymbol{d}=-\alpha \nabla f\left(\boldsymbol{x}^t\right)$.
- 这表明: 使用二次函数局部近似 $f$.
- 曲率时收敛 $\alpha$ 的近似值不是太大。
- 梯度下降很有用，因为
- 易于实施 (与 ADMM、FISTA 等相比)
- 每次迭代的计算成本低 (无矩阵求逆)
- 仅需要一阶导数 (无 Hessian)
- 梯度在深度网络中可用 (通过反向传播)
- 大多数机器学习都有内置的 (随机的) 梯度下降
- 欢迎实现你自己的，但你需要小心
- 凸不可微的问题，例如， $\ell_1$-规范
- 非凸问题，例如深度网络中的 ReLU
- 局部最小值陷阱
- 步长不合适，也就是学习率
- 考虑更“釆明”的算法，例如 CVX
- 制定问题。无需担心算法。
- 试图获得洞察力。
计算机代写|数据分析信号处理和机器学习中的矩阵方法代写Matrix Methods In Data Analysis, Signal Processing, And Machine Learning代考|Smoothing the Landscape
分析 SGD 是一个活跃的研究课题。这是 Kleinberg 等人的作品。 (https://arxiv.org/pdf/1802.06175.pdf ICML 2018)
- SGD 步骤可以写成 GD + 噪声:
$$
\boldsymbol{x}^{t+1}=\boldsymbol{x}^t-\eta\left(\nabla f\left(\boldsymbol{x}^t\right)+\boldsymbol{w}^t\right)=\underbrace{\boldsymbol{x}^t-\eta \nabla f\left(\boldsymbol{x}^t\right)}_{\overline{\overline{\mathrm{d}} \boldsymbol{y} y^t}}-\eta \boldsymbol{w}^t .
$$ - $\boldsymbol{y}^t$ 是 GD 返回的”理想”位置。
- 让我们分析一下 $y^{t+1}$.
$$
\boldsymbol{y}^{t+1} \stackrel{\text { def }}{=} \boldsymbol{x}^{t+1}-\eta \nabla f\left(\boldsymbol{x}^{t+1}\right)=\left(\boldsymbol{y}^t-\eta \boldsymbol{w}^t\right)-\eta \nabla f\left(\boldsymbol{y}^t-\eta \boldsymbol{w}^t\right)
$$ - 认为 $\mathbb{E}[\boldsymbol{w}]=0$ ，然后
$$
\mathbb{E}\left[\boldsymbol{y}^{t+1}\right]=\boldsymbol{y}^t-\eta \nabla \mathbb{E}\left[\boldsymbol{f}\left(\boldsymbol{y}^t-\boldsymbol{\eta} \boldsymbol{w}^t\right)\right]
$$
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