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数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Term by Term Integration

A Fourier series of a piecewise smooth function $f(x)$ can always be integrated term by term and the result is a convergent infinite series that always converges to $\int_{-L}^L f(x) d x$ even if the original series has jumps.
Example 13
The Fourier series of $f(x)=1$ is
$$
1 \sim \frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3, \ldots} \frac{1}{n} \sin \frac{n \pi}{L} x
$$
Integrate term by term from 0 to $x$ gives
$$
\begin{aligned}
x-0 & \sim-\left.\frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3, \ldots} \frac{1}{n} \frac{L}{n \pi} \cos \frac{n \pi}{L} x\right|0 ^x \ &=-\frac{4}{\pi} \sum{n=1,3, \ldots} \frac{L}{n^2 \pi} \cos \frac{n \pi}{L} x+\frac{4}{\pi}\left[\frac{L}{1^2 \pi}+\frac{L}{3^2 \pi}+\frac{L}{5^2 \pi}+\cdots\right]
\end{aligned}
$$
The last sum is the constant term $(n=0)$ of the Fourier cosine series of $f(x)=x$, which is
$$
\frac{1}{L} \int_0^L x d x=\frac{L}{2} .
$$
Therefore
$$
x \sim \frac{L}{2}-\frac{4 L}{\pi^2} \sum_{n=1,3, \ldots} \frac{1}{n^2} \cos \frac{n \pi}{L} x .
$$
We have also found, as a by-product, the sum of the following infinite series
$$
\frac{4 L}{\pi^2}\left[\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots\right]=\frac{L}{2}
$$
or
$$
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8}
$$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Full solution of Several Problems

In this section we give the Fourier coefficients for each of the solutions in the previous chapter.
Example 14
$$
\begin{gathered}
u_t=k u_{x x}, \
u(0, t)=0, \
u(L, t)=0, \
u(x, 0)=f(x) .
\end{gathered}
$$
The solution given in the previous chapter is
$$
u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n e^{-k\left(\frac{n \pi}{L}\right)^2 t} \sin \frac{n \pi}{L} x .
$$
Upon substituting $t=0$ in (5.9.5) and using (5.9.4) we find that
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{n \pi}{L} x,
$$
that is $b_n$ are the coefficients of the expansion of $f(x)$ into Fourier sine series. Therefore
$$
b_n=\frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n \pi}{L} x d x .
$$
Example 15
$$
\begin{gathered}
u_t=k u_{x x}, \
u(0, t)=u(L, t), \
u_x(0, t)=u_x(L, t), \
u(x, 0)=f(x) .
\end{gathered}
$$
The solution found in the previous chapter is
$$
u(x, t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{2 n \pi}{L} x+b_n \sin \frac{2 n \pi}{L} x\right) e^{-k\left(\frac{2 n \pi}{L}\right)^2 t},
$$
As in the previous example, we take $t=0$ in (5.9.12) and compare with (5.9.11) we find that
$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{2 n \pi}{L} x+b_n \sin \frac{2 n \pi}{L} x\right) .
$$

偏微分方程代考

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Term by Term Integration

分段光滑函数的傅里叶级数 $f(x)$ 总是可以逐项积分，结果是一个收敛的无限级数，它总是收敛到 $\int_{-L}^L f(x) d x$ 即使原始系列有跳跃。
例 13
的傅里叶级数 $f(x)=1$ 是
$$
1 \sim \frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3 \ldots} \frac{1}{n} \sin \frac{n \pi}{L} x
$$
从 0 到 逐项积分 $x$ 给
$$
x-0 \sim-\frac{4}{\pi} \sum_{n=1,3, \ldots} \frac{1}{n} \frac{L}{n \pi} \cos \frac{n \pi}{L} x \mid 0^x \quad=-\frac{4}{\pi} \sum n=1,3, \ldots \frac{L}{n^2 \pi} \cos \frac{n \pi}{L} x+\frac{4}{\pi}\left[\frac{L}{1^2 \pi}+\frac{L}{3^2 \pi}\right.
$$
最后的和是常数项 $(n=0)$ 的傅立叶余弦级数 $f(x)=x ＼mathrm{~ ， ~ 这 是 ~}$
$$
\frac{1}{L} \int_0^L x d x=\frac{L}{2} .
$$
所以
$$
x \sim \frac{L}{2}-\frac{4 L}{\pi^2} \sum_{n=1,3, \ldots} \frac{1}{n^2} \cos \frac{n \pi}{L} x .
$$
作为副产品，我们还发现了以下无限级数的总和
$$
\frac{4 L}{\pi^2}\left[\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots\right]=\frac{L}{2}
$$
或者
$$
\frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{8}
$$

数学代写|偏微分方程代写partial difference equations代考|Full solution of Several Problems

在本节中，我们给出了前一章中每个解的傅里叶系数。
例 14
$$
u_t=k u_{x x}, u(0, t)=0, u(L, t)=0, u(x, 0)=f(x) .
$$
上一章给出的解决方案是
$$
u(x, t)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n e^{-k\left(\frac{n \pi}{L}\right)^2 t} \sin \frac{n \pi}{L} x .
$$
替换后 $t=0$ 在 (5.9.5) 中并使用 (5.9.4) 我们发现
$$
f(x)=\sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin \frac{n \pi}{L} x,
$$
那是 $b_n$ 是膨胀系数 $f(x)$ 转化为傅立叶正弦级数。所以
$$
b_n=\frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \frac{n \pi}{L} x d x .
$$
例 15
$$
u_t=k u_{x x}, u(0, t)=u(L, t), u_x(0, t)=u_x(L, t), u(x, 0)=f(x) .
$$
上一章找到的解决方案是
$$
u(x, t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{2 n \pi}{L} x+b_n \sin \frac{2 n \pi}{L} x\right) e^{-k\left(\frac{2 n \pi}{L}\right)^2 t}
$$
和前面的例子一样，我们取 $t=0$ 在 (5.9.12) 中与 (5.9.11) 比较我们发现
$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos \frac{2 n \pi}{L} x+b_n \sin \frac{2 n \pi}{L} x\right) .
$$

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