相信许多留学生对数学代考都不陌生，国外许多大学都引进了网课的学习模式。网课学业有利有弊，学生不需要到固定的教室学习，只需要登录相应的网站研讨线上课程即可。但也正是其便利性，线上课程的数量往往比正常课程多得多。留学生课业深重，时刻名贵，既要学习知识，又要结束多种类型的课堂作业，physics作业代写，物理代写，论文写作等；网课考试很大程度增加了他们的负担。所以，您要是有这方面的困扰，不要犹疑，订购myassignments-help代考渠道的数学代考服务，价格合理，给你前所未有的学习体会。

我们的数学代考服务适用于那些对课程结束没有掌握，或许没有满足的时刻结束网课的同学。高度匹配专业科目，按需结束您的网课考试、数学代写需求。担保买卖支持，100%退款保证，免费赠送Turnitin检测报告。myassignments-help的Math作业代写服务，是你留学路上忠实可靠的小帮手！

---

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Oscillation Theorem

The previous example hints that the points at which the error $f-p_*$ attains its maximum magnitude play a central role in the theory of minimax approximation. The Theorem of de la Vallée Poussin is a first step toward such a result. We include its proof to give a flavor of how such results are established.

Before proving this result, look at Figure $2.2$ for an illustration of the theorem. Suppose we wish to approximate $f(x)=\mathrm{e}^x$ with some quintic polynomial, $r \in \mathcal{P}5$ (i.e., $n=5$ ). This polynomial is not necessarily the minimax approximation to $f$ over the interval $[0,1]$. However, in the figure it is clear that for this $r$, we can find $n+2=7$ points at which the sign of the error $f(x)-r(x)$ oscillates. The red curve shows the error for the optimal minimax polynomial $p$ (whose computation is discussed below). This is the point of de la Vallée Poussin’s theorem: Since the error $f(x)-r(x)$ oscillates sign $n+2$ times, the minimax error $\pm\left|f-p_\right|_{\infty}$ exceeds $\left|f\left(x_j\right)-r\left(x_j\right)\right|$ at one of the points $x_j$ that give the oscillating sign. In other words, de la Vallée Poussin’s theorem gives a nice mechanism for developing lower bounds on $\left|f-p_*\right|_{\infty}$.

Proof. Suppose we have $n+2$ ordered points, $\left{x_j\right}_{j=0}^{n+1} \subset[a, b]$, such that $f\left(x_j\right)-r\left(x_j\right)$ alternates sign at consecutive points, and let $p_$ denote the minimax polynomial, $$ \left|f-p_\right|_{\infty}=\min {p \in \mathfrak{P}_n}|f-p|{\infty .}
$$
We will prove the result by contradiction. Thus suppose
(2.3) $\quad\left|f-p_*\right|_{\infty}<\left|f\left(x_j\right)-r\left(x_j\right)\right|, \quad$ for all $j=0, \ldots, n+1$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Optimal Interpolation Points via Chebyshev Polynomials

As an application of the minimax approximation procedure, we consider how best to choose interpolation points $\left{x_j\right}_{j=0}^n$ to minimize
$$
\left|f-p_n\right|_{\infty},
$$
where $p_n \in \mathcal{P}n$ is the interpolant to $f$ at the specified points. Recall the interpolation error bound developed in Section 1.6: If $f \in C^{n+1}[a, b]$, then for any $x \in[a, b]$ there exists some $\xi \in[a, b]$ such that $$ f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} \prod{j=0}^n\left(x-x_j\right) .
$$
Taking absolute values and maximizing over $[a, b]$ yields the bound
$$
\left|f-p_n\right|_{\infty}=\max {\delta \in[a, b]} \frac{\left|f^{(n+1)}(\xi)\right|}{(n+1) !} \max {\mathrm{r} \in[a, h]}\left|\prod_{j=0}^n\left(x-x_j\right)\right| .
$$
For Runge’s example, $f(x)=1 /\left(1+x^2\right)$ for $x \in[-5,5]$, we observed that $\left|f-p_n\right|_{\infty} \rightarrow \infty$ as $n \rightarrow \infty$ if the interpolation points $\left{x_j\right}$ are uniformly spaced over $[-5,5]$. However, Marcinkiewicz’s theorem (Section 1.6) guarantees there is always some scheme for assigning the interpolation points such that $\left|f-p_n\right|_{\infty} \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$. While there is no fail-safe a priori system for picking interpolations points that will yield uniform convergence for all $f \in C[a, b]$, there is a distinguished choice that works exceptionally well for just about every function you will encounter in practice. We determine this set of interpolation points by choosing those $\left{x_j\right}_{j=0}^n$ that minimize the error bound (which is distinct from – but hopefully akin to – minimizing the error itself, $\left|f-p_n\right|_{\infty}$ ). That is, we want to solve
$$
\min {x_0, \ldots, x_n} \max {x \in[a, b]}\left|\prod_{j=0}^n\left(x-x_j\right)\right| .
$$

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Oscillation Theorem

前面的例子暗示了错误所在的点 $f-p_$ 达到其最大值在极小极大逼近理论中起着核心作用。 de la Vallée Poussin 定理是迈向这一结果的第一步。我们包括它的证明，以说明如何建立这些结果。 在证明这个结果之前，先看图2.2用于说明该定理。假设我们㳍望近似 $f(x)=\mathrm{e}^x$ 用一些五次多项式， $r \in \mathcal{P} 5$ (IE， $n=5$ ). 该多项式不一定是对的极小极大逼近 $f$ 在区间内 $[0,1]$. 然而，在图中很明显，对于 这个 $r$ ，我们可以找 $n+2=7$ 错误标志所在的点 $f(x)-r(x)$ 振荡。红色曲线显示最佳极小极大多项式 的误差 $p$ (其计算在下面讨论) 。这就是 de la Vallée Poussin 定理的要点：因为错误 $f(x)-r(x)$ 振荡符 号 $n+2$ 次，极小极大误差 $\backslash p m \backslash$ left|f-p_|right|@infty} $}$ 超过 $\left|f\left(x_j\right)-r\left(x_j\right)\right|$ 在其中一个点 $x_j$ 给出振芧信 号。换句话说，de la Vallée Poussin 的定理提供了一个很好的机制来开发下界 $\left|f-p\right|{\infty}$ 。 交替签名，让蝍表示极小极大多项式， \eft|f-p\right|{infty} $=\backslash \min \left{p \backslash\right.$ in $\left.\backslash \operatorname{mathfrak}\left{P{-} n\right}|f p| \bigwedge i n f t y.\right}$
我们将用反证法证明结果。因此假设
(2.3) $\left|f-p_*\right|_{\infty}<\left|f\left(x_j\right)-r\left(x_j\right)\right|$, 对所有人 $j=0, \ldots, n+1$.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Optimal Interpolation Points via Chebyshev Polynomials

作为 minimax 近似程序的应用，我们考虑如何最好地选择揷值点 $\backslash$ left ${x$ jright $}{j=0} \wedge n$ 最小化 $$ \left|f-p_n\right|{\infty}
$$
在哪里 $p_n \in \mathcal{P} n$ 是揷值到 $f$ 在指定点。回想一下 $1.6$ 节中提出的揷值误差界: 如果 $f \in C^{n+1}[a, b]$ ，那么 对于任何 $x \in[a, b]$ 存在一些 $\xi \in[a, b]$ 这样
$$
f(x)-p_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} \prod j=0^n\left(x-x_j\right) .
$$
取绝对值并最大化 $[a, b]$ 产生界限
$$
\left|f-p_n\right|{\infty}=\max \delta \in[a, b] \frac{\left|f^{(n+1)}(\xi)\right|}{(n+1) !} \operatorname{maxr} \in[a, h]\left|\prod{j=0}^n\left(x-x_j\right)\right| .
$$
对于龙格的例子， $f(x)=1 /\left(1+x^2\right)$ 为了 $x \in[-5,5]$ ，我们观察到 $\left|f-p_n\right|{\infty} \rightarrow \infty$ 作为 $n \rightarrow \infty$ 如 果揷值点左 ${x$ j右 $}$ 均匀分布在 $[-5,5]$. 然而，Marcinkiewicz 定理（第 $1.6$ 节) 保证总是有一些分配揷值 点的方案，使得 $\left|f-p_n\right|{\infty} \rightarrow 0$ 作为 $n \rightarrow \infty$. 虽然没有用于选择揷值点的故障安全先验系统，该系统将 为所有 $f \in C[a, b]$, 有一个独特的选择，它对您在实践中遇到的几乎所有功能都非常有效。我们通过选 择那些来确定这组揷值点 $\backslash$ left ${x$ j\right } } _ { – } j = 0 } ^ { \wedge } n \text { 最小化错误边界 (这不同于 – 但苃望类似于 – 最小化错误 } 本身， $\left.\left|f-p_n\right|{\infty}\right)$, 也就是说，我们要解决 $$ \min x_0, \ldots, x_n \max x \in[a, b]\left|\prod{j=0}^n\left(x-x_j\right)\right|
$$

myassignments-help数学代考价格说明

1、客户需提供物理代考的网址，相关账户，以及课程名称，Textbook等相关资料~客服会根据作业数量和持续时间给您定价~使收费透明，让您清楚的知道您的钱花在什么地方。

2、数学代写一般每篇报价约为600—1000rmb，费用根据持续时间、周作业量、成绩要求有所浮动(持续时间越长约便宜、周作业量越多约贵、成绩要求越高越贵)，报价后价格觉得合适，可以先付一周的款，我们帮你试做，满意后再继续，遇到Fail全额退款。

3、myassignments-help公司所有MATH作业代写服务支持付半款，全款，周付款，周付款一方面方便大家查阅自己的分数，一方面也方便大家资金周转，注意:每周固定周一时先预付下周的定金，不付定金不予继续做。物理代写一次性付清打9.5折。

Math作业代写、数学代写常见问题

留学生代写覆盖学科？

代写学科覆盖Math数学,经济代写，金融,计算机,生物信息，统计Statistics,Financial Engineering，Mathematical Finance，Quantitative Finance，Management Information Systems,Business Analytics,Data Science等。代写编程语言包括Python代写、Physics作业代写、物理代写、R语言代写、R代写、Matlab代写、C++代做、Java代做等。

数学作业代写会暴露客户的私密信息吗？

我们myassignments-help为了客户的信息泄露，采用的软件都是专业的防追踪的软件，保证安全隐私，绝对保密。您在我们平台订购的任何网课服务以及相关收费标准，都是公开透明，不存在任何针对性收费及差异化服务，我们随时欢迎选购的留学生朋友监督我们的服务，提出Math作业代写、数学代写修改建议。我们保障每一位客户的隐私安全。

留学生代写提供什么服务？

我们提供英语国家如美国、加拿大、英国、澳洲、新西兰、新加坡等华人留学生论文作业代写、物理代写、essay润色精修、课业辅导及网课代修代写、Quiz，Exam协助、期刊论文发表等学术服务，myassignments-help拥有的专业Math作业代写写手皆是精英学识修为精湛；实战经验丰富的学哥学姐！为你解决一切学术烦恼！

物理代考靠谱吗？

靠谱的数学代考听起来简单，但实际上不好甄别。我们能做到的靠谱，是把客户的网课当成自己的网课；把客户的作业当成自己的作业；并将这样的理念传达到全职写手和freelancer的日常培养中，坚决辞退糊弄、不守时、抄袭的写手！这就是我们要做的靠谱！

数学代考下单流程

提早与客服交流，处理你心中的顾虑。操作下单，上传你的数学代考/论文代写要求。专家结束论文，准时交给，在此过程中可与专家随时交流。后续互动批改

付款操作：我们数学代考服务正常多种支付方法，包含paypal，visa，mastercard，支付宝，union pay。下单后与专家直接互动。

售后服务：论文结束后保证完美经过turnitin查看，在线客服全天候在线为您服务。如果你觉得有需求批改的当地能够免费批改，直至您对论文满意为止。如果上交给教师后有需求批改的当地，只需求告诉您的批改要求或教师的comments，专家会据此批改。

保密服务：不需求提供真实的数学代考名字和电话号码，请提供其他牢靠的联系方法。我们有自己的工作准则，不会泄露您的个人信息。

myassignments-help擅长领域包含但不是全部:

myassignments-help服务请添加我们官网的客服或者微信/QQ，我们的服务覆盖：Assignment代写、Business商科代写、CS代考、Economics经济学代写、Essay代写、Finance金融代写、Math数学代写、report代写、R语言代考、Statistics统计学代写、物理代考、作业代写、加拿大代考、加拿大统计代写、北美代写、北美作业代写、北美统计代考、商科Essay代写、商科代考、数学代考、数学代写、数学作业代写、physics作业代写、物理代写、数据分析代写、新西兰代写、澳洲Essay代写、澳洲代写、澳洲作业代写、澳洲统计代写、澳洲金融代写、留学生课业指导、经济代写、统计代写、统计作业代写、美国Essay代写、美国代考、美国数学代写、美国统计代写、英国Essay代写、英国代考、英国作业代写、英国数学代写、英国统计代写、英国金融代写、论文代写、金融代考、金融作业代写。