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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Inner products for function spaces

To facilitate the development of least squares approximation theory, we introduce a formal structure for $C[a, b]$. First, recognize that $C[a, b]$ is a linear space: any linear combination of continuous functions on $[a, b]$ must itself be continuous on $[a, b]$.

Definition 2.2. The inner product of the functions $f, g \in C[a, b]$ is
$$
\langle f, g\rangle=\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x .
$$
The inner product satisfies the following basic axioms:

• $\langle\alpha f+g, h\rangle=\alpha\langle f, h\rangle+\langle g, h\rangle$ for all $f, g, h \in C[a, b]$ and all $\alpha \in \mathbb{R}$;
• $\langle f, g\rangle=\langle g, f\rangle$ for all $f, g \in C[a, b] ;$
• $\langle f, f\rangle \geq 0$ for all $f \in C[a, b]$.
  With this inner product we associate the norm
  $$
  |f|_2:=\langle f, f\rangle^{1 / 2}=\left(\int_a^b f(x)^2 \mathrm{~d} x\right)^{1 / 2} .
  $$
  This is often called the ‘ $L^2$ norm,’ where the superscript ‘ 2 ‘ in $L^2$ refers to the fact that the integrand involves the square of the function $f$; the $L$ stands for Lebesgue, coming from the fact that this inner product can be generalized from $C[a, b]$ to the set of all functions that are square-integrable, in the sense of Lebesgue integration. By restricting our attention to continuous functions, we dodge the measuretheoretic complexities.

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Least squares minimization via calculus

We are now ready to solve the least squares problem. We shall call the optimal polynomial $P_* \in \mathcal{P}n$, i.e., $$ \left|f-P\right|_2=\min {p \in \mathcal{P}_n}|f-p|_2 . $$ We can solve this minimization problem using basic calculus. Consider this example for $n=1$, where we optimize the error over polynomials of the form $p(x)=c_0+c_1 x$. The polynomial that minimizes $|f-p|_2$ will also minimize its square, $|f-p|_2^2$. For any given $p \in \mathcal{P}_1$, define the error function $$ \begin{aligned} E\left(c_0, c_1\right):=\left|f(x)-\left(c_0+c_1 x\right)\right|{L^2}^2 &=\int_a^b\left(f(x)-c_0-c_1 x\right)^2 \mathrm{~d} x \
&=\int_a^b\left(f(x)^2-2 f(x)\left(c_0+c_1 x\right)+\left(c_0^2+2 c_0 c_1 x+c_1^2\right.\right.\
&=\int_a^b f(x)^2 \mathrm{~d} x-2 c_0 \int_a^b f(x) \mathrm{d} x-2 c_1 \int_a^b x f(x) \mathrm{d} x \
& \quad+c_0^2(b-a)+c_0 c_1\left(b^2-a^2\right)+\frac{1}{3} c_1^2\left(b^3\right.
\end{aligned}
$$
To find the optimal polynomial, $P_$, optimize $E$ over $c_0$ and $c_1$, i.e., find the values of $c_0$ and $c_1$ for which
$$
\frac{\partial E}{\partial c_0}=\frac{\partial E}{\partial c_1}=0 .
$$
First, compute
$$
\begin{aligned}
&\frac{\partial E}{\partial c_0}=-2 \int_a^b f(x) \mathrm{d} x+2 c_0(b-a)+c_1\left(b^2-a^2\right) \
&\frac{\partial E}{\partial c_1}=-2 \int_a^b x f(x) \mathrm{d} x+c_0\left(b^2-a^2\right)+c_1 \frac{2}{3}\left(b^3-a^3\right) .
\end{aligned}
$$
Setting these partial derivatives equal to zero yields
$$
\begin{aligned}
2 c_0(b-a)+c_1\left(b^2-a^2\right) &=2 \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \
c_0\left(b^2-a^2\right)+c_1 \frac{2}{3}\left(b^3-a^3\right) &=2 \int_a^b x f(x) \mathrm{d} x
\end{aligned}
$$

数值分析代考

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Inner products for function spaces

为了促进最小二乘近似理论的发展，我们引入了一个正式的结构 $C[a, b]$. 首先，认识到 $C[a, b]$ 是一个线 性空间：连续函数的任何线性组合 $[a, b]$ 本身必须是连续的 $[a, b]$.
定义 $2.2$ 。函数的内积 $f, g \in C[a, b]$ 是
$$
\langle f, g\rangle=\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x
$$
内积满足以下基本公理:

• $\langle\alpha f+g, h\rangle=\alpha\langle f, h\rangle+\langle g, h\rangle$ 对所有人 $f, g, h \in C[a, b]$ 和所有 $\alpha \in \mathbb{R}$;
• $\langle f, g\rangle=\langle g, f\rangle$ 对所有人 $f, g \in C[a, b] ;$
• $\langle f, f\rangle \geq 0$ 对所有人 $f \in C[a, b]$.
  有了这个内积，我们将规范联系起来
  $$
  |f|_2:=\langle f, f\rangle^{1 / 2}=\left(\int_a^b f(x)^2 \mathrm{~d} x\right)^{1 / 2}
  $$
  这通常被称为 ‘ $L^2$ 范数，’其中上标’ 2 ‘在 $L^2$ 指的是被积函数涉及函数的平方 $f$; 这 $L$ 代表 Lebesgue，因 为这个内积可以从 $C[a, b]$ 在勒贝格积分的意义上，所有平方可积函数的集合。通过将我们的注意力限 制在连续函数上，我们避开了测度论的复杂性。

数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Least squares minimization via calculus

我们现在准备解决最小二乘问题。我们称最优多项式 $P_* \in \mathcal{P} n$ ，那是，
$$
|f-P|_2=\min p \in \mathcal{P}_n|f-p|_2 .
$$
我们可以使用基本微积分来解决这个最小化问题。考虑这个例子 $n=1$ ，我们在这里优化形式多项式的 误差 $p(x)=c_0+c_1 x$. 最小化的多项式 $|f-p|_2$ 也会最小化它的平方， $|f-p|_2^2$. 对于任何给定的 $p \in \mathcal{P}_1$ ，定义误差函数
$$
E\left(c_0, c_1\right):=\left|f(x)-\left(c_0+c_1 x\right)\right|{L^2}^2=\int_a^b\left(f(x)-c_0-c_1 x\right)^2 \mathrm{~d} x \quad=\int_a^b\left(f(x)^2-2 f(x)\left(c_0+c_1 x\right)\right.
$$
要找到最佳多项式， $\mathrm{P}$ 、，优化 $E$ 超过 $c_0$ 和 $c_1$ ，即找到值 $c_0$ 和 $c_1$ 为了哪个
$$
\frac{\partial E}{\partial c_0}=\frac{\partial E}{\partial c_1}=0 .
$$
首先，计算
$$
\frac{\partial E}{\partial c_0}=-2 \int_a^b f(x) \mathrm{d} x+2 c_0(b-a)+c_1\left(b^2-a^2\right) \quad \frac{\partial E}{\partial c_1}=-2 \int_a^b x f(x) \mathrm{d} x+c_0\left(b^2-a^2\right)+c_1 \frac{2}{3}(b
$$
将这些偏导数设置为零收益率
$$
2 c_0(b-a)+c_1\left(b^2-a^2\right)=2 \int_a^b f(x) \mathrm{d} x c_0\left(b^2-a^2\right)+c_1 \frac{2}{3}\left(b^3-a^3\right) \quad=2 \int_a^b x f(x) \mathrm{d} x
$$

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