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数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|General polynomial bases
In the search for a basis for $\mathcal{P}n$ that will avoid the numerical difficulties, let the structure of the equation $\mathbf{G c}=\mathbf{b}$ be our guide. What choice of basis would make the matrix $G$, written out in (2.15), as simple as possible? If the basis vectors are orthogonal, i.e., $$ \left\langle\phi_j, \phi_k\right\rangle \begin{cases}\neq 0, & j=k \ =0, & j \neq k\end{cases} $$ then $\mathbf{G}$ only has nonzeros on the main diagonal, giving the system $$ \left[\begin{array}{cccc} \left\langle\phi_0, \phi_0\right\rangle & 0 & \cdots & 0 \ 0 & \left\langle\phi_1, \phi_1\right\rangle & \ddots & \vdots \ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \ 0 & \cdots & 0 & \left\langle\phi_n, \phi_n\right\rangle \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} c_0 \ c_1 \ \vdots \ c_n \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c} \left\langle f, \phi_0\right\rangle \ \left\langle f, \phi_1\right\rangle \ \vdots \ \left\langle f, \phi_n\right\rangle \end{array}\right] . $$ This system decouples into $n+1$ scalar equations $\left\langle\phi_j, \phi_j\right\rangle c_j=\left\langle f, \phi_j\right\rangle$ for $j=0, \ldots, n$. Solve these scalar equations to get $$ c_j=\frac{\left\langle\phi_j, \phi_j\right\rangle}{\left\langle f, \phi_j\right\rangle}, \quad j=0, \ldots, n . $$ Thus, with respect to the orthogonal basis the least squares approximation to $f$ is given by $$ P*(x)=\sum_{j=0}^n c_j \phi_j(x)=\sum_{j=0}^n \frac{\left\langle f, \phi_j\right\rangle}{\left\langle\phi_j, \phi_j\right\rangle} \phi_j(x) .
$$
The formula (2.17) has an outstanding property: if we wish to extend approximation from $\mathcal{P}n$ one degree higher to $\mathcal{P}{n+1}$, we simply add in one more term. If we momentarily use the notation $P_{, k}$ for the least squares approximation from $\mathcal{P}k$, then $$ P{, n+1}(x)=P_{*, n}(x)+\frac{\left\langle f, \phi_{n+1}\right\rangle}{\left\langle\phi_{n+1}, \phi_{n+1}\right\rangle} \phi_{n+1}(x) .
$$
In contrast, to increase the degree of the least squares approximation in the monomial basis, one would need to extend the $G$ matrix by one row and column, and re-solve form $\mathrm{Gc}=\mathbf{b}$ : increasing the degree changes all the old coefficients in the monomial basis.
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Coda: Connection to discrete least squares
Studies of numerical linear algebra inevitably address the discrete least squares problem: Given $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ and $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ with $m \geq n$, solve
$(2.19)$
$$
\min {\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n}|\mathbf{A x}-\mathbf{b}|_2, $$ using the Euclidean norm $|\mathbf{v}|_2=\sqrt{\mathbf{v}^* \mathbf{v}}$. One can show that the minimizing $\mathbf{x}$ solves the linear system $$ \mathbf{A}^* \mathbf{A x}=\mathbf{A}^* \mathbf{b}, $$ which are called the normal equations. If $\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n$ (i.e., the columns of $\mathbf{A}$ are linearly independent), then $\mathbf{A}^* \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ is invertible, and $$ \mathbf{x}=\left(\mathbf{A}^* \mathbf{A}\right)^{-1} \mathbf{A}^* \mathbf{b} . $$ One learns that, for purposes of numerical stability, it is preferable to compute the $Q R$ factorization $$ \mathbf{A}=\mathbf{Q R}, $$ where the columns of $\mathbf{Q} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ are orthonormal, $\mathbf{Q}^* \mathbf{Q}=\mathbf{I}$, and $\mathbf{R} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ is upper triangular $\left(r{j, k}=0\right.$ if $\left.j>k\right)$ and invertible if the columns of $\mathbf{A}$ are linearly independent. Substituting QR for A reduces the solution formula $(2.21)$ to
$$
\mathbf{x}=\mathbf{R}^{-1} \mathbf{Q}^* \mathbf{b} .
$$
How does this “least squares problem” relate to the polynomial approximation problem in this section? We consider two perspectives.
数值分析代考
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|General polynomial bases
在寻找基础 $\mathcal{P} n$ 这将避免数值困难，让方程的结构 $\mathbf{G} \mathbf{c}=\mathbf{b}$ 做我们的向导。选择什么基础会使矩阵 $G$ ，写 在 (2.15) 中，越简单越好? 如果基向量是正交的，即
$$
\left\langle\phi_j, \phi_k\right\rangle{\neq 0, \quad j=k=0, \quad j \neq k
$$
然后 $\mathbf{G}$ 只有主对角线上有非䨒点，给系统
该系统解耦为 $n+1$ 标量方程 $\left\langle\phi_j, \phi_j\right\rangle c_j=\left\langle f, \phi_j\right\rangle$ 为了 $j=0, \ldots, n$. 求解这些标量方程得到
$$
c_j=\frac{\left\langle\phi_j, \phi_j\right\rangle}{\left\langle f, \phi_j\right\rangle}, \quad j=0, \ldots, n .
$$
因此，关于正交基，最小二乘近似为 $f$ 是 (谁) 给的
$$
P (x)=\sum_{j=0}^n c_j \phi_j(x)=\sum_{j=0}^n \frac{\left\langle f, \phi_j\right\rangle}{\left\langle\phi_j, \phi_j\right\rangle} \phi_j(x) . $$ 公式 (2.17) 有一个突出的性质：如果我们茏望将近似值从 $\mathcal{P} n$ 高一个学位 $\mathcal{P} n+1$ ，我们只需再添加一 项。如果我们暂时使用符号 $P_{, k}$ 对于最小二乘近似 $\mathcal{P} k$ ，然后 $$ P, n+1(x)=P_{, n}(x)+\frac{\left\langle f, \phi_{n+1}\right\rangle}{\left\langle\phi_{n+1}, \phi_{n+1}\right\rangle} \phi_{n+1}(x) .
$$
相反，为了增加单项式基础中最小二乘近似的次数，需要扩展 $G$ 一行一列的矩阵，再求解形式Gc $=\mathbf{b}$ : 增加次数会改变单项式基础中的所有旧系数。
数学代写|数值分析代写numerical analysis代考|Coda: Connection to discrete least squares
数值线性代数的研究不可避免地要解决离散最小二乘问题: 给定 $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 和 $\mathbf{b} \in \mathbb{R}^m$ 和 $m \geq n$ ，解决 $(2.19)$
$$
\min \mathbf{x} \in \mathbb{R}^n|\mathbf{A} \mathbf{x}-\mathbf{b}|_2
$$
使用欧几里得范数 $|\mathbf{v}|_2=\sqrt{\mathbf{v}^* \mathbf{v}}$. 可以证明最小化 $\mathbf{x}$ 求解线性系统
$$
\mathbf{A}^* \mathbf{A} \mathbf{x}=\mathbf{A}^* \mathbf{b}
$$
称为正规方程。如果 $\operatorname{rank}(\mathbf{A})=n$ (即，列 $\mathbf{A}$ 是线性独立的)，那么 $\mathbf{A}^* \mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是可逆的，并且
$$
\mathbf{x}=\left(\mathbf{A}^* \mathbf{A}\right)^{-1} \mathbf{A}^* \mathbf{b} \text {. }
$$
人们了解到，为了数值稳定性的目的，最好计算 $Q R$ 分解
$$
\mathbf{A}=\mathbf{Q R} \text {, }
$$
其中的列 $\mathbf{Q} \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 是正交的， $\mathbf{Q}^* \mathbf{Q}=\mathbf{I}$ ， 和 $\mathbf{R} \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是上三角 $(r j, k=0$ 如果 $j>k)$ 并且如果列 是可逆的 $\mathbf{A}$ 是线性独立的。将 $A$ 替换为 $Q R$ 可简化求解公式 $(2.21)$ 至
$$
\mathbf{x}=\mathbf{R}^{-1} \mathbf{Q}^* \mathbf{b}
$$
这个”最小二乘问题”与本节中的多项式逼近问题有何关系? 我们考虑两种观点。
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