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数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|A point source solution
Consider a solution $h(x, t)$ of the porous medium equation (2.30) that approaches an initial point source:
$$
h(x, t) \rightarrow I \delta(x), \quad t \rightarrow 0^{+},
$$
where $\delta(x)$ denotes the Dirac delta ‘function.’ Explicitly, this means that we require
$$
\begin{aligned}
&h(x, t) \rightarrow 0 \quad \text { as } t \rightarrow 0^{+} \text {if } x \neq 0 \
&\lim {t \rightarrow 0^{+}} \int{-\infty}^{\infty} h(x, t) d x=I
\end{aligned}
$$
The delta-function is a distribution, rather than a function. We will not discuss distribution theory here (see [44] for an introduction and [27] for a detailed account). Instead, we will define the delta-function formally as a ‘function’ $\delta$ with the properties that
$$
\begin{aligned}
&\delta(x)=0 \quad \text { for } x \neq 0 \
&\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) d x=f(0)
\end{aligned}
$$
for any continuous function $f$.
The solution of the porous medium with the initial data (2.31) describes the development of of wetting front due to an instantaneous ‘flooding’ at the origin by a volume of water $I$. It provides the long time asymptotic behavior of solutions of the porous medium equation with a concentrated non-point source initial condition $h(x, t)=h_0(x)$ where $h_0$ is a compactly supported function with integral $I$.
The dimensional parameters at our disposal in solving this problem are $k$ and I. A fundamental system of units is $L, T, H$ where $H$ is a unit for the pressure head. Since we measure the pressure head $h$ in units of length, it is reasonable to ask why we should use different units for $h$ and $x$. The explanation is that the units of vertical length used to measure the head play a different role in the model than the units used to measure horizontal lengths, and we should be able to rescale $x$ and $z$ independently.
Equating the dimension of different terms in $(2.30)$, we find that
$$
[k]=\frac{L^2}{H T}, \quad[I]=L H
$$
数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|A pedestrian derivation
Let us consider an alternative method for finding the point source solution that does not require dimensional analysis, but is less systematic.
First, we remove the constants in (2.30) and (2.31) by rescaling the variables. Defining
$$
u(x, \bar{t})=\frac{1}{I} h(x, t), \quad \bar{t}=k I t,
$$
and dropping the bars on $\bar{t}$, we find that $u(x, t)$ satisfies
$$
u_t=\left(u u_x\right)_x
$$
The initial condition (2.31) becomes
$$
\begin{aligned}
&u(x, t) \rightarrow 0 \quad \text { as } t \rightarrow 0^{+} \text {if } x \neq 0 \
&\lim {t \rightarrow 0^{+}} \int{-\infty}^{\infty} u(x, t) d x=1
\end{aligned}
$$
We seek a similarity solution of (2.36)-(2.37) of the form
$$
u(x, t)=\frac{1}{t^m} f\left(\frac{x}{t^n}\right)
$$
for some exponents $m, n$. In order to obtain such a solution, the PDE for $u(x, t)$ must reduce to an ODE for $f(\xi)$. As we will see, this is the case provided that $m$, $n$ are chosen appropriately.
Remark 2.12. Equation (2.38) is a typical form of a self-similar solution that is invariant under scaling transformations, whether or not they are derived from a change in units. Dimensional analysis of this problem allowed us to deduce that the solution is self-similar. Here, we simply seek a self-similar solution of the form (2.38) and hope that it works.
应用数学代考
数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|A point source solution
考虑一个解决方案 $h(x, t)$ 接近初始点源的多孔介质方程 $(2.30)$ :
$$
h(x, t) \rightarrow I \delta(x), \quad t \rightarrow 0^{+},
$$
在哪里 $\delta(x)$ 表示 Dirac delta“函数”。明确地，这意味着我们需要
$$
h(x, t) \rightarrow 0 \quad \text { as } t \rightarrow 0^{+} \text {if } x \neq 0 \quad \lim t \rightarrow 0^{+} \int-\infty^{\infty} h(x, t) d x=I
$$
delta 函数是一个分布，而不是一个函数。我们不会在这里讨论分布理论（参见 [44] 的介绍和 [27] 的详 细说明) 。相反，我们将 delta 函数正式定义为“函数“ $\delta$ 具有以下属性
$$
\delta(x)=0 \quad \text { for } x \neq 0 \quad \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \delta(x) d x=f(0)
$$
对于任何连续函数 $f$.
具有初始数据 (2.31) 的多孔介质的解描述了由于大量水在原点处的瞬时”泛滥”而导致的润湿前沿的发展 $I$. 它提供了具有集中非点源初始条件的多孔介质方程解的长期渐近行为 $h(x, t)=h_0(x)$ 在哪里 $h_0$ 是具有 积分的紧支撑函数 $I$.
我们在解决这个问题时可以使用的尺寸参数是 $k \mathrm{l}$. 一个基本的单位制是 $L, T, H$ 在哪里 $H$ 是压头的单位。 由于我们测量压头 $h$ 在长度单位中，问为什么我们应该使用不同的单位是合理的 $h$ 和 $x$. 解释是用于测量头 部的垂直长度单位在模型中的作用与用于测量水平长度的单位不同，我们应该能够重新缩放 $x$ 和 $z$ 独立 地。
将不同项的维数等同于 $(2.30)$ ，我们发现
$$
[k]=\frac{L^2}{H T}, \quad[I]=L H
$$
数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|A pedestrian derivation
让我们考虑另一种寻找点源解决方案的替代方法，它不需要量纲分析，但系统性较差。
首先，我们通过重新缩放变量来删除 (2.30) 和 (2.31) 中的常量。定义
$$
u(x, \bar{t})=\frac{1}{I} h(x, t), \quad \bar{t}=k I t,
$$
并放下酒吧 $\bar{t}$ ，我们发现 $u(x, t)$ 满足
$$
u_t=\left(u u_x\right)_x
$$
初始条件 (2.31) 变为
$$
u(x, t) \rightarrow 0 \quad \text { as } t \rightarrow 0^{+} \text {if } x \neq 0 \quad \lim t \rightarrow 0^{+} \int-\infty^{\infty} u(x, t) d x=1
$$
我们寻求形式为 (2.36)-(2.37) 的相似解
$$
u(x, t)=\frac{1}{t^m} f\left(\frac{x}{t^n}\right)
$$
对于一些指数 $m, n$. 为了获得这样的解决方案，PDE 为 $u(x, t)$ 必须简化为 $\operatorname{ODE} f(\xi)$. 正如我们将要看到 的那样，前提是 $m, n$ 被适当地选择。
备注 2.12。方程 (2.38) 是自相似解的一种典型形式，它在尺度变换下是不变的，无论它们是否源自单位 的变化。这个问题的量纲分析使我们能够推断出解是自相似的。在这里，我们只是寻求形式 (2.38) 的自 相似解并苃望它有效。
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