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数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|The Kolmogorov length scale
The only length scale that can be constructed from the dissipation rate $\epsilon$ and the kinematic viscosity $\nu$, called the Kolmogorov length scale, is
$$
\eta=\left(\frac{\nu^3}{\epsilon}\right)^{1 / 4} \text {. }
$$
The K41 theory implies that the dissipation length scale is of the order $\eta$.
If the energy dissipation rate is the same at all length scales, then, neglecting order one factors, we have
$$
\epsilon=\frac{U^3}{L}
$$
where $L, U$ are the integral length and velocity scales. Denoting by $\mathrm{R}_L$ the Reynolds number based on these scales,
$$
\mathrm{R}_L=\frac{U L}{\nu},
$$
it follows that
$$
\frac{L}{\eta}=\mathrm{R}_L^{3 / 4} .
$$
Thus, according to this dimensional analysis, the ratio of the largest (integral) length scale and the smallest (dissipation) length scale grows like $\mathrm{R}_L^{3 / 4}$ as $\mathrm{R}_L \rightarrow \infty$.
In order to resolve the finest length scales of a three-dimensional flow with integral-scale Reynolds number $\mathrm{R}_L$, we therefore need on the order of
$$
N_L=\mathrm{R}_L^{9 / 4}
$$
independent degrees of freedom (for example, $N_L$ Fourier coefficients of the velocity components). The rapid growth of $N_L$ with $\mathrm{R}_L$ limits the Reynolds numbers that can be attained in direct numerical simulations of turbulent flows.
数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Validity of the five-thirds law
Experimental observations, such as those made by Grant, Stewart and Moilliet (1962) in a tidal channel between islands off Vancouver, agree well with the fivethirds law for the energy spectrum, and give $C \approx 1.5$ in (2.27). The results of DNS on periodic ‘boxes’, using up to $4096^3$ grid points, are also in reasonable agreement with this prediction.
Although the energy spectrum predicted by the K41 theory is close to what is observed, there is evidence that it is not exactly correct. This would imply that there is something wrong with its original assumptions.
Kolmogorov and Oboukhov proposed a refinement of Kolmogorov’s original theory in 1962. It is, in particular, not clear that the energy dissipation rate $\epsilon$ should be assumed constant, since the energy dissipation in a turbulent flow itself varies over multiple length scales in a complicated fashion. This phenomenon, called ‘intermittency,’ can lead to corrections in the five-thirds law [23]. All such turbulence theories, however, depend on some kind of initial assumptions whose validity can only be checked by comparing their predictions with experimental or numerical observations.
As the above examples from fluid mechanics illustrate, dimensional arguments can lead to surprisingly powerful results, even without a detailed analysis of the underlying equations. All that is required is a knowledge of the quantities on which the problem being studied depends together with their dimensions. This does mean, however, one has to know the basic laws that govern the problem, and the dimensional constants they involve. Thus, contrary to the way it sometimes appears, dimensional analysis does not give something for nothing; it can only give what is put in from the start.
This fact cuts both ways. Many of the successes of dimensional analysis, such as Kolmogorov’s theory of turbulence, are the result of an insight into which dimensional parameters play an crucial role in a problem and which parameters can be ignored. Such insights typical depend upon a great deal of intuition and experience, and they may be difficult to justify or prove. 2
Conversely, it may happen that some dimensional parameters that appear to be so small they can be neglected have a significant effect, in which case scaling laws derived on the basis of dimensional arguments that ignore them are likely to be incorrect.
应用数学代考
数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|The Kolmogorov length scale
唯一可以从耗散率构建的长度尺度 $e$ 和运动粘度 $\nu$ ，称为 Kolmogorov 长度尺度，是
$$
\eta=\left(\frac{\nu^3}{\epsilon}\right)^{1 / 4} .
$$
K41 理论意味着耗散长度标度为 $\eta$.
如果能量耗散率在所有长度尺度上都相同，那么忽略一阶因嫊，我们有
$$
\epsilon=\frac{U^3}{L}
$$
在哪里 $L, U$ 是积分长度和速度尺度。表示为 $\mathrm{R}_L$ 基于这些尺度的雷诺数，
$$
\mathrm{R}_L=\frac{U L}{\nu},
$$
它逻循
$$
\frac{L}{\eta}=\mathrm{R}_L^{3 / 4} .
$$
因此，根据这个量纲分析，最大 (积分) 长度尺度和最小 (耗散) 长度尺度之比增长为 $\mathrm{R}_L^{3 / 4}$ 作为 $\mathrm{R}_L \rightarrow \infty$
为了解决具有积分尺度雷诺数的三维流动的最细长度尺度 $\mathrm{R}_L$ ，因此我们需要按顺序
$$
N_L=\mathrm{R}_L^{9 / 4}
$$
独立的自由度 (例如， $N_L$ 速度分量的傅立叶系数) 。的快速增长 $N_L$ 和 $\mathrm{R}_L$ 限制了在湍流的直接数值模 拟中可以获得的雷诺数。
数学代写|应用数学代写applied mathematics代考|Validity of the five-thirds law
实验观察，例如 Grant、Stewart 和 Moilliet (1962) 在温哥华附近岛屿之间的潮汐通道中所做的观察，非常符合能谱的五分之三定律，并给出C≈1.5在（2.27）中。DNS 在周期性“盒子”上的结果，最多使用40963网格点，也与该预测合理一致。
虽然 K41 理论预测的能谱与观测到的很接近，但有证据表明它并不完全正确。这意味着它最初的假设有问题。
Kolmogorov 和 Oboukhov 在 1962 年提出了对 Kolmogorov 原始理论的改进。ε应该假定为常数，因为湍流本身的能量耗散在多个长度尺度上以复杂的方式变化。这种称为“间歇性”的现象可以导致三分之五定律的修正 [23]。然而，所有这些湍流理论都依赖于某种初始假设，其有效性只能通过将它们的预测与实验或数值观察进行比较来检验。
正如上面流体力学的例子所说明的，即使没有对基础方程进行详细分析，尺寸论证也可以得出令人惊讶的强大结果。所需要的只是了解正在研究的问题所依赖的数量及其维度。然而，这确实意味着人们必须知道支配该问题的基本法则，以及它们涉及的尺寸常数。因此，与它有时出现的方式相反，维度分析并不是无偿提供的；它只能提供从一开始就放入的内容。
这个事实是双向的。量纲分析的许多成功，例如 Kolmogorov 的湍流理论，都是洞察到哪些量纲参数在问题中起着至关重要的作用，哪些参数可以忽略的结果。这种洞察力通常取决于大量的直觉和经验，而且它们可能难以证明或证明。2个
相反，可能会发生一些看起来很小以至于可以忽略的维度参数会产生重大影响，在这种情况下，基于忽略它们的维度参数推导出的标度定律可能是不正确的。
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