# 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|MATH3303

## 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Galois extension of complete discrete valuation fields

We keep the notation of the previous section. Let $L / K$ be a finite Galois extension of Galois group $G$ such that the residue extension $k_L / k$ is separable. Denote by $L_0 / K$ the maximal unramified sub-extension. We have seen in Corollary $9.2 .2$ that $L_0 / K$ is a Galois extension. By Theorem 9.2.1(1), the residue extension $k_L / k$ is also Galois. The restriction to $L_0$ defines a natural surjective map
$$G \rightarrow \operatorname{Gal}\left(L_0 / K\right) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Gal}\left(k_L / k\right),$$
where the second isomorphism uses Theorem 9.2.1. We define the inertia subgroup of $G$, denoted by $I_{L / K}$ or simply $I$ when no confusions arise, as the kernel of this map, or equivalently
(9.4.0.2) $I=\left{\sigma \in G \mid \sigma(x) \equiv x \bmod \mathfrak{m}_L\right}$.
It is clear that $I$ is normal in $G$, and $I \cong \operatorname{Gal}\left(L / L_0\right)$ by (9.4.0.1).
In the rest of this section, we suppose that $L / K$ is totally ramified, i.e. $G=I$. Denote by $v_L$ the normalized additive valuation on $L$ so that $v_L\left(L^{\times}\right)=\mathbb{Z}$.

Lemma 9.4.1. – Let $\sigma \in G$. For any integer $n \geq 1$, the following two conditions are equivalent:
(1) For any $x \in \mathcal{O}L$, we have $v_L(\sigma(x)-x) \geq n+1$ (2) We have $v_L\left(\sigma\left(\pi_L\right)-\pi_L\right) \geq n+1$, for any uniformizer $\pi_L$ of $L$. Proof. – (1) $\Rightarrow(2)$ is trivial. We prove now that (2) $\Rightarrow$ (1). Indeed, every $x \in \mathcal{O}_L$ writes as $$x=\sum{i=0}^{+\infty} a_i \pi_L^i, \text { with } a_i \in \mathcal{O}K .$$ It follows that $$\sigma(x)-x=\sum{i=1}^{+\infty} a_i\left(\sigma\left(\pi_L\right)^i-\pi_L^i\right),$$
which is divisible by $\sigma\left(\pi_L\right)-\pi_L$. Assertion (2) now follows immediately.

## 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Norms and places on number fields

In this section, we will classify the norms on a number field. We start with $\mathbb{Q}$. Let $|\cdot|_{\infty}$ denote the usual real norm on $\mathbb{Q}$. For any rational prime $p$, let $|\cdot|_p$ denote the $p$-adic norm discussed in Subsection 8.1.4. A fundamental fact for norms on $\mathbb{Q}$ is the following

Theorem 10.1.1 (Ostrowski). – The norm $|\cdot|_p$ is not equivalent to $|\cdot|_q$ if $p \neq q$ with $p, q \leq \infty$. Every nontrivial norm $|\cdot|$ on $\mathbb{Q}$ is equivalent to $|\cdot|_p$ for some prime $p$ or for $p=\infty$.

Proof. – If one of $p, q$ is $\infty$ (and the other one is finite), then it is clear that $|\cdot|_p$ is not equivalent to $|\cdot|_q$. If both $p$ and $q$ are finite primes, then $|p|_p=p^{-1}$ and $|p|_q=1$. Therefore, $|\cdot|_p$ and $|\cdot|_q$ can not be equivalent.

Assume first that $|\cdot|$ is archimedean. By Proposition $8.2 .5,|\cdot|$ must be unbounded on $\mathbb{Z}$. Let $n_0 \geq 1$ be the first integer such that $\left|n_0\right|>1$. Let $c \in \mathbb{R}_{>0}$ be such that $\left|n_0\right|=n_0^c$. We have to prove that $|n|=n^c$ for any positive integer $n$. Write
$$n=a_0+a_1 n_0+\cdots+a_s n_0^s, \quad \text { with } 0 \leq a_in \geq n_0^s. # 代数数论代考 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Galois extension of complete discrete valuation fields 我们保留上一节的符号。让 L / K 是伽罗瓦群的有限伽罗瓦扩张 G 这样残差扩展 k_L / k 是可分离的。表示 为 L_0 / K 最大末分支子扩展。我们在推论中看到 9.2 .2 那 L_0 / K 是伽罗瓦扩展。根据定理 9.2.1(1)，留数 扩展 k_L / k 也是伽罗瓦。的限制 L_0 定义自然满射映射$$
G \rightarrow \operatorname{Gal}\left(L_0 / K\right) \stackrel{\sim}{\longrightarrow} \operatorname{Gal}\left(k_L / k\right),
$$其中第二个同构使用定理 9.2.1。我们定义惯性子群 G, 表示为 I_{L / K} 或者简单地 I 当没有出现混淆时，作为 这个映射的内核，或者等同于 很清楚 I 是正常的 G ， \quad 和 I \cong \operatorname{Gal}\left(L / L_0\right) 通过 (9.4.0.1)。 在本节的其余部分，我们假设 L / K 是完全分支的，即 G=I. 表示为 v_L 的归一化附加估值 L 以便 v_L\left(L^{\times}\right)=\mathbb{Z}. 引理 9.4.1。-让 \sigma \in G. 对于任何整数 n \geq 1 ，以下两个条件是等价的: (1) 对于任何 x \in \mathcal{O} L ， 我们有 v_L(\sigma(x)-x) \geq n+1 (2) 我们有 v_L\left(\sigma\left(\pi_L\right)-\pi_L\right) \geq n+1, 对于任何 均化器 \pi_L 的 L. 证明。 -(1) \Rightarrow(2) 是微不足道的。我们现在证明 (2) \Rightarrow(1). 的确，每一个 x \in \mathcal{O}_L 写成$$
x=\sum i=0^{+\infty} a_i \pi_L^i, \text { with } a_i \in \mathcal{O} K .
$$官迺循$$
\sigma(x)-x=\sum i=1^{+\infty} a_i\left(\sigma\left(\pi_L\right)^i-\pi_L^i\right),
$$可被整除 \sigma\left(\pi_L\right)-\pi_L. 断言 (2) 现在紧随其后。 ## 数学代写|代数数论代写Algebraic number theory代考|Norms and places on number fields 在本节中，我们将对数字字段上的范数进行分类。我们从戈. 让| \left.\right|{\infty} 表示通常的实范数 \mathbb{Q}. 对于任何有理 嗉数 p ， 让 |\cdot|_p 表示 p-adic 范数在 8.1.4 小节中讨论。关于规范的一个基本事实 \mathbb{Q} 是以下 定理 10.1.1 (奧斯特洛夫斯基) 。 – 常态 |\cdot|_p 不等于 |\cdot|_q 如果 p \neq q 和 p, q \leq \infty. 每个不平凡的规范 |\cdot| 上 \mathbb{Q} 相当于 |\cdot|_p 对于一些质数 p 或为了 p=\infty. 证明。 如果其中之一 p, q 是 \infty (而另一个是有限的)，那么很明显 |\cdot|_p 不等于 |\cdot|_q. 如果两者 p 和 q 是有 限嫊数，那么 |p|_p=p^{-1} 和 |p|_q=1. 所以， |\cdot|_p 和 |\cdot|_q 不能等价。 苜先假设 |\cdot| 是阿基米德。通过提议 8.2 .5,|\cdot| 必须不受限制吕. 让 n_0 \geq 1 是第一个整数 \left|n_0\right|>1. 让 c \in \mathbb{R}{>0} 是这样的 \left|n_0\right|=n_0^c. 我们必须证明 |n|=n^c 对于任何正整数 n. 写 \ \$$
$\mathrm{n}=a_{-} 0+a_{-} 1 \mathrm{n}0 0+\backslash$ cdots $+a{-} \mathrm{s} \mathrm{n}{-} 0^{\wedge} \mathrm{s}$, \quad $\backslash$ text ${$ with $} 0 \backslash$ leq a_in $\backslash$ geq $\mathrm{n}{-} 0^{\wedge} \mathrm{s} \$\$ 。

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