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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Geometric spatial methods
Monti et al. [Mon $+17$ ] propose MoNet, a general framework that works particularly well when the node features lie in a geometric space, such as 3D point clouds or meshes. MoNet learns attention patches using parametric functions in a pre-defined spatial domain (e.g. spatial coordinates), and then applies convolution filters in the resulting graph domain.
MoNet generalizes spatial approaches which introduce constructions for convolutions on manifolds, such as the Geodesic CNN (GCNN) [Mas+15] and the Anisotropic CNN (ACNN) [Bos+16]. Both GCNN and ACNN use fixed patches that are defined on a specific coordinate system and therefore eannot generalize to graph-struetured data. However, the MoNet framework is more general; any pseudo-coordinates (i.e. node features) can be used to induce the patches. More formally, if $\mathbf{U}^s$ are pseudo-coordinates and $\mathbf{H}^{\ell}$ are features from another domain, the MoNet layer can be expressed in our notation as:
$$
\mathbf{H}^{\ell+1}=\sigma\left(\sum_{k=1}^K\left(\mathbf{W} \odot g_k\left(\mathbf{U}^s\right)\right) \mathbf{H}^{\ell} \Theta_k^{\ell}\right),
$$
where $g_k\left(U^s\right)$ are the learned parametric patches, which are $N \times N$ matrices. In practice, MoNet uses Gaussian kernels to learn patches, such that:
$$
g_k\left(\mathbf{U}^s\right)=\exp \left(-\frac{1}{2}\left(\mathbf{U}^s-\boldsymbol{\mu}_k\right)^{\top} \boldsymbol{\Sigma}_k^{-1}\left(\mathbf{U}^s-\boldsymbol{\mu}_k\right)\right),
$$
where $\boldsymbol{\mu}_k$ and $\boldsymbol{\Sigma}_k$ are learned parameters, and $\boldsymbol{\Sigma}_k$ is restricted to be diagonal.
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Non-Euclidean Graph Convolutions
As we discussed in Section 23.3.3, hyperbolic geometry enables learning of shallow embeddings of hierarchical graphs which have smaller distortion than Euclidean embeddings. However, one major downside of shallow embeddings is that they do not generalize well (if at all) across graphs. On the other hand, Graph Neural Networks, which leverage node features, have achieved good results on many inductive graph embedding tasks.
It is natural then, that there has been recent interest in extending Graph Neural Networks to learn non-Euclidean embeddings. One major challenge in doing so again revolves around the nature of convolution itself. How should we perform convolutions in a non-Euclidean space, where standard operations such as inner products and matrix multiplications are not defined?
Hyperbolic Graph Convolution Networks (HGCN) [Cha+19a] and Hyperbolic Graph Neural Networks (HGNN) [LNK19] apply graph convolutions in hyperbolic space by leveraging the Euclidean tangent space, which provides a first-order approximation of the hyperbolic manifold at a point. For every graph convolution step, node embeddings are mapped to the Euclidean tangent space at the origin, where convolutions are applied, and then mapped back to the hyperbolic space. These approaches yield significant improvements on graphs that exhibit hierarchical structure (Figure 23.6).
机器学习代考
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Geometric spatial methods
蒙蒂等。[我的 $+17$ ] 提出 MoNet，这是一个通用框架，当节点特征位于几何空间（例如 $3 D$ 点云或网 格) 时，该框架特别有效。MoNet 在预定义的空间域（例如空间坐标) 中使用参数函数学习注意力块， 然后在生成的图形域中应用卷积滤波㖾。
MoNet 概括了引入流形卷积构造的空间方法，例如贬地线 CNN (GCNN) [Mas+15] 和各向异性 CNN (ACNN) [Bos+16]。GCNN 和 ACNN 都使用在特定坐标系上定义的固定补丁，因此不能泛化到图结构数 据。然而，MoNet 框架更通用；可以使用任何伪坐标（即节点特征) 来诱导补丁。更正式地说，如果 $\mathbf{U}^s$ 是伪坐标和 $\mathbf{H}^{\ell}$ 是来自另一个领域的特征，MoNet 层可以用我们的符号表示为:
$$
\mathbf{H}^{\ell+1}=\sigma\left(\sum_{k=1}^K\left(\mathbf{W} \odot g_k\left(\mathbf{U}^s\right)\right) \mathbf{H}^{\ell} \Theta_k^{\ell}\right),
$$
在哪里 $g_k\left(U^s\right)$ 是学习到的参数块，它们是 $N \times N$ 矩阵。在实践中，MoNet 使用高斯内核来学习补丁， 这样:
$$
g_k\left(\mathbf{U}^s\right)=\exp \left(-\frac{1}{2}\left(\mathbf{U}^s-\boldsymbol{\mu}_k\right)^{\top} \boldsymbol{\Sigma}_k^{-1}\left(\mathbf{U}^s-\boldsymbol{\mu}_k\right)\right)
$$
在哪里 $\boldsymbol{\mu}_k$ 和 $\boldsymbol{\Sigma}_k$ 是学习参数，并且 $\boldsymbol{\Sigma}_k$ 被限制为对角线。
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Non-Euclidean Graph Convolutions
正如我们在第 23.3.3 节中讨论的那样，双曲几何可以学习层次图的浅层嵌入，它比欧几里德嵌入具有更小的失真。然而，浅嵌入的一个主要缺点是它们不能很好地泛化（如果有的话）跨图。另一方面，利用节点特征的图神经网络在许多归纳图嵌入任务上取得了良好的效果。
那么很自然，最近人们对扩展图形神经网络以学习非欧几里德嵌入产生了兴趣。这样做的一个主要挑战再次围绕着卷积本身的性质。我们应该如何在非欧几里德空间中执行卷积，其中未定义标准操作，例如内积和矩阵乘法？
双曲图卷积网络 (HGCN) [Cha+19a] 和双曲图神经网络 (HGNN) [LNK19] 通过利用欧几里得正切空间在双曲空间中应用图卷积，欧几里德正切空间提供了双曲流形在一个点的一阶近似. 对于每个图形卷积步骤，节点嵌入被映射到原点的欧几里得正切空间，在那里应用卷积，然后映射回双曲空间。这些方法对展示层次结构的图产生了显着的改进（图 23.6）。
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