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计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Message passing GNNs
The original graph neural network (GNN) model of [GMS05; Sca $+09$ ] was the first formulation of deep learning methods for graph-structured data. It views the supervised graph embedding problem as an information diffusion mechanism, where nodes send information to their neighbors until some stable equilibrium state is reached. More concretely, given randomly initialized node embeddings $\mathbf{Z}^0$, it applies the following recursion:
$$
\mathbf{Z}^{t+1}=\operatorname{ENC}\left(\mathbf{X}, \mathbf{W}, \mathbf{Z}^t ; \Theta^E\right),
$$
where parameters $\Theta^E$ are reused at every iteration. After convergence $(t=T)$, the node embeddings $\mathbf{Z}^T$ are used to predict the final output such as node or graph labels:
$$
\hat{y}^S=\operatorname{DEC}\left(\mathbf{X}, \mathbf{Z}^T ; \Theta^S\right) .
$$
This process is repeated several times and the GNN parameters $\Theta^E$ and $\Theta^D$ are learned with backpropagation via the Almeda-Pineda algorithm [Alm87; Pin88]. By Banach’s fixed point theorem, this process is guaranteed to converge to a unique solution when the recursion provides a contraction mapping. In light of this, Scarselli et al. [Sca $+09]$ explore maps that can be expressed using message passing networks:
$$
\mathbf{Z}i^{t+1}=\sum{j \mid\left(v_i, v_j\right) \in E} f\left(\mathbf{X}_i, \mathbf{X}_j, \mathbf{Z}_j^t ; \Theta^E\right)
$$
where $f(\cdot)$ is a multi-layer perception (MLP) constrained to be a contraction mapping. The decoder function, however, has no constraints and can be any MLP.
Li et al. [Li+15] propose Gated Graph Sequence Neural Networks (GGSNNs), which remove the contraction mapping requirement from GNNs. In GGSNNs, the recursive algorithm in Equation $23.22$ is relaxed by applying mapping functions for a fixed number of steps, where each mapping function is a gated recurrent unit [Cho+14a] with parameters shared for every iteration. The GGSNN model outputs predictions at every step, and so is particularly useful for tasks which have sequential stručture (such ås temmporal grạphs).
Gilmer et al. [Gil+17] provide a framework for graph neural networks called message passing neural networks (MPNNs), which encapsulates many recent models. In contrast with the GNN model which runs for an indefinite number of iterations, MPNNs provide an abstraction for modern approaches, which consist of multi-layer neural networks with a fixed number of layers.
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Spectral Graph Convolutions
Spectral methods define graph convolutions using the spectral domain of the graph Laplacian matrix. These methods broadly fall into two categories: spectrum-based methods, which explicitly compute an eigendecomposition of the Laplacian (e.g., spectral CNNs [Bru+14]) and spectrum-free methods, which are motivated by spectral graph theory but do not actually perform a spectral decomposition (e.g., Graph convolutional networks or GCN [KW16a]).
A major disadvantage of spectrum-based methods is that they rely on the spectrum of the graph Laplacian and are therefore domain-dependent (i.e. cannot generalize to new graphs). Moreover, computing the Laplacian’s spectral decomposition is computationally expensive. Spectrum-free methods overcome these limitations by utilizing approximations of these spectral filters. However, spectrum-free methods require using the whole graph $\mathbf{W}$, and so do not scale well.
For more details on spectral approaches, see e.g., [Bro $+17 \mathrm{~b}$; Cha $+21]$.
Spectrum-based methods have an inherent domain dependency which limits the application of a model trained on one graph to a new dataset. Additionally, spectrum-free methods (e.g. GCNs) require using the entire graph $\mathbf{A}$, which can quickly become unfeasible as the size of the graph grows.
To overcome these limitations, another branch of graph convolutions (spatial methods) borrow ideas from standard CNNs – applying convolutions in the spatial domain as defined by the graph topology. For instance, in computer vision, convolutional filters are spatially localized by using fixed rectangular patches around each pixel. Combined with the natural ordering of pixels in images (top, left, bottom, right), it is possible to reuse filters’ weights at every location. This process significantly reduces the total number of parameters needed for a model. While such spatial convolutions cannot directly be applied in graph domains, spatial graph convolutions take inspiration from them. The core idea is to use neighborhood sampling and attention mechanisms to create fixed-size graph patches, overcoming the irregularity of graphs.
机器学习代考
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Message passing GNNs
[GMS05;的原始图神经网络 (GNN) 模型；斯卡 $+09$ ] 是针对图结构数据的深度学习方法的第一个公式。
它将监督图嵌入问题视为一种信息扩散机制，其中节点向其邻居发送信息，直到达到某种稳定的平衡状 态。更具体地说，给定随机初始化的节点嵌入 $\mathbf{Z}^0$ ，它应用以下递归:
$$
\mathbf{Z}^{t+1}=\operatorname{ENC}\left(\mathbf{X}, \mathbf{W}, \mathbf{Z}^t ; \Theta^E\right)
$$
其中参数 $\Theta^E$ 在每次迭代中重复使用。收敛后 $(t=T)$, 节点嵌入 $\mathbf{Z}^T$ 用于预测最終输出，例如节点或图形 标签:
$$
\hat{y}^S=\operatorname{DEC}\left(\mathbf{X}, \mathbf{z}^T ; \Theta^S\right) .
$$
这个过程重复几次，GNN 参数 $\Theta^E$ 和 $\Theta^D$ 通过 Almeda-Pineda 算法 [Alm87；Pin88]. 根据 Banach 不动点 定理，当递归提供收缩映射时，此过程保证收敛到唯一解。鉴于此，Scarselli 等人。[SCA+09]探索可以 使用消息传递网络表达的地图:
$$
\mathbf{Z} t^{t+1}=\sum j \mid\left(v_i, v_j\right) \in E f\left(\mathbf{X}_i, \mathbf{X}_j, \mathbf{Z}_j^t ; \Theta^E\right)
$$
在哪里 $f(\cdot)$ 是约束为收缩映射的多层感知（MLP) 。然而，解码器功能没有限制，可以是任何 MLP。
李等。[Li+15] 提出了门控图序列神经网络 (GGSNNs)，它消除了 GNN 的收缩映射要求。在 GGSNNs 中，方程式中的递归算法 $23.22$ 通过对固定数量的步骤应用映射函数来放宽，其中每个映射函数是一个 门控循环单元 [Cho+14a]，每次迭代都共享参数。GGSNN 模型在每一步都输出预测，因此对于具有顺序 结构的任务 (例如 ås temmporal grạphs) 特别有用。
吉尔默等人。[Gil+17] 为称为消息传递神经网络 (MPNN) 的图神经网络提供了一个框架，它封装了许多 最近的模型。与运行无限次迭代的 GNN 模型相比，MPNN 为现代方法提供了抽象，它由具有固定层数 的多层神经网络组成。
计算机代写|机器学习代写machine learning代考|Spectral Graph Convolutions
谱方法使用图拉普拉斯矩阵的谱域定义图卷积。这些方法大致分为两类：基于谱的方法，显式计算拉普拉斯算子的特征分解（例如，谱 CNN [Bru+14]）和无谱方法，它们受谱图理论的启发但实际上并不执行频谱分解（例如，图形卷积网络或 GCN [KW16a]）。
基于谱的方法的一个主要缺点是它们依赖于图拉普拉斯算子的谱，因此依赖于域（即不能推广到新图）。此外，计算拉普拉斯算子的谱分解在计算上是昂贵的。无光谱方法通过利用这些光谱滤波器的近似值克服了这些限制。然而，无谱方法需要使用整个图在，所以不能很好地扩展。
有关光谱方法的更多详细信息，请参见例如 [Bro+17 b; 查+21].
基于频谱的方法具有固有的领域依赖性，这限制了在一个图上训练的模型在新数据集上的应用。此外，无频谱方法（例如 GCN）需要使用整个图一个，随着图形大小的增长，这很快就会变得不可行。
为了克服这些限制，图卷积的另一个分支（空间方法）借鉴了标准 CNN 的思想——在图拓扑定义的空间域中应用卷积。例如，在计算机视觉中，卷积滤波器通过在每个像素周围使用固定的矩形块来进行空间定位。结合图像中像素的自然排序（上、左、下、右），可以在每个位置重复使用过滤器的权重。此过程显着减少了模型所需的参数总数。虽然这种空间卷积不能直接应用于图域，但空间图卷积从中得到了启发。核心思想是利用邻域采样和注意力机制来创建固定大小的图块，克服图的不规则性。
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